1、新人教版高中数学公开课新人教版高中数学公开课 精品课件精品课件 一一.复习引入复习引入 1.二项式定理及其特例：二项式定理及其特例： n ba)( 2.二项展开式的通项：二项展开式的通项： 1r T 3.二项式系数，依次为：二项式系数，依次为： nn n rrnr n n n n n n n bCbaCbaCbaCaC 222110 ), 2 , 1 , 0( nrbaC rrnr n n nnnn CCCC, 210 n x)1( nn n rr nnnn xCxCxCxCC 2210 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 (a+b)n 二二.新
2、授新授 计算计算(a+b)n展开式的二项式系数填入表格中展开式的二项式系数填入表格中 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 172135352171 (a+b)1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 此表叫作：此表叫作：二项式系数表二项式系数表 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 (a+b)n 01 11 C C 012 222 C C C 0123 3333 C C C C 01234 44444 C C C C C 012345 5555
3、55 C C C C C C 0123456 6666666 C C C C C C C 0121 . rnn nnnnnn C C CCCC 1 二二.新授新授 杨辉三角杨辉三角 人物介绍人物介绍 杨辉，杭州钱塘人，中国南宋时期杰出的数学家杨辉，杭州钱塘人，中国南宋时期杰出的数学家 和数学教育家。他编著的数学书共五种二十一卷。著有和数学教育家。他编著的数学书共五种二十一卷。著有 详解九章算法详解九章算法十二卷、十二卷、日用算法日用算法二卷、二卷、乘除通乘除通 变本末变本末三卷、三卷、田亩比类乘除捷法田亩比类乘除捷法二卷、二卷、续古摘续古摘 奇算法奇算法二卷。其中后三种合称二卷。其中后三种合称
4、杨辉算法杨辉算法，朝鲜、，朝鲜、 日本等国均有译本出版，流传世界。日本等国均有译本出版，流传世界。 早在早在1261年，年，“杨辉三角杨辉三角”在其编著的在其编著的详解九章算法详解九章算法 中出现，此书还说明了表内除中出现，此书还说明了表内除“一一”以外的每一个数都等于以外的每一个数都等于 它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于释锁释锁算书，算书， 且我国北宋数学家贾宪已经用过它，这表明我国发现这个且我国北宋数学家贾宪已经用过它，这表明我国发现这个 表不晚于表不晚于11世纪。世纪。 在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的在欧洲，这个表被认为是法国
5、数学家帕斯卡首先发现的 （1623-1662年），这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早年），这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早 500年左右，由此可见，我国古代数学的成就是非常值得年左右，由此可见，我国古代数学的成就是非常值得 中华民族自豪的。中华民族自豪的。 三三.探究成果展示探究成果展示 (a+b)1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 (a+b)n 01 11 C C 012 222 C C C 0123 3333 C C C C 0123
6、4 44444 C C C C C 012345 555555 C C C C C C 0123456 6666666 C C C C C C C 0121 . rnn nnnnnn C C CCCC 01 11 C C 012 222 C C C 0123 3333 C C C C 01234 44444 C C C C C r n 1 - r n r 1n CCC 每行两端都是每行两端都是1； 除除1以外的每一个数都等于它以外的每一个数都等于它“肩上肩上”的的 两个数的和两个数的和.即：即： 性质性质1. r n C 1 1 r n r n CC 1.(1+x)n+1展开式中展开式中xr项
7、的系数是项的系数是 (1+x)n (1+x)它的展开式中它的展开式中xr项的项的 系数可以表示为系数可以表示为 2.通过以上两个问题你通过以上两个问题你联想联想到了什么？到了什么？ 思考如下问题：思考如下问题： r n 1 - r n r 1n CCC n ba)( n nnnn CCCC, 210 展开式的二项式系数依次是：展开式的二项式系数依次是： r n C从函数角度看，从函数角度看， 可看成是以可看成是以r为自变量的函数为自变量的函数 其定义域是：其定义域是：, 2 , 1 , 0nr 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 369 f(r) O r f(r)= r 6 C
8、 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 369 f(r) O r 22 24 26 28 30 32 34 36 f(r)= r 7 C 01 11 C C 012 222 C C C 0123 3333 C C C C 01234 44444 C C C C C 012345 555555 C C C C C C 0123456 6666666 C C C C C C C 性质性质2.对称性对称性 在二项展开式中，与首末两端在二项展开式中，与首末两端“等距离等距离”的两的两 项的二项式系数相等项的二项式系数相等.即：即： rn n r n CC 1 1 1 2 1 1 3 3
9、1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 369 f(r) O r f(r)= r 6 C 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 369 f(r) O r 22 24 26 28 30 32 34 36 f(r)= r 7 C 二项式系数的二项式系数的增减性及最大值增减性及最大值 6 6 5 6 4 6 3 6 2 6 1 6 0 6 1 6 15 20 15 6 1 CCCCCCC 7 7 6 7 5 7 4 7 3 7 2 7 1 7 0 7 1 7 21 35 35 21 7 1
10、 CCCCCCCC 性质性质3. r rn rnr n rnr n C C r n r n 1 )!1()!1( ! )!( ! ! 1 1 2 1 1 1 r n r n CC n r r rn 令令 即：当即：当 为偶数时，为偶数时， 最大为最大为 ，二项式系数，二项式系数 最大最大nr 2 n 2 n n C 二项式系数的二项式系数的增减性及最大值增减性及最大值 nr 2 1 n 2 1 n r 2 1 2 1 n n n n CC 当当 为奇数时，为奇数时， 最大为最大为 ，且当，且当 时时 二项式系数二项式系数 最大；最大； 性质性质3. 证明：证明： (P27)各二项式系数和各二项
11、式系数和 0n n C a 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则： 1ba n nnnn n CCCC2 210 这就是说，这就是说， 的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系 数的和等于数的和等于： n ba)( n 2 11n n C ab rrnr n baC * () nn n C b nN()nab ?CCCC 210 n nnnn 对恒等式的字母进行对恒等式的字母进行赋值，赋值，可得一些重要性质可得一些重要性质 赋值法赋值法(是数学中一种常用方法是数学中一种常用方法). 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 2
12、0 15 6 1 1 )(ba 2 )(ba 3 )(ba 4 )(ba 5 )(ba 6 )(ba 性质性质4.二项式系数的和二项式系数的和 4 2 2 2 3 2 1 2 5 2 2 4 8 16 32 nn nnnn 2CCCC 210 (奇数奇数项项 的二项式系数和的二项式系数和) (偶数偶数项项 的二项式系数和的二项式系数和) 解：解： 0123 (1 1)( 1), nrnn nnnnnn CCCCCC 0213 0()(), nnnn CCCC 02131 2, n nnnn CCCC 令令x= -1得得 nn n rr nnnn n xCxCxCxCCx 2210 )1( 拓展
13、：在拓展：在 展开式中，奇数项的二项式系展开式中，奇数项的二项式系 数和等于偶数项的二项式系数和，请证明。数和等于偶数项的二项式系数和，请证明。 n ba)( (温故知新温故知新) 设集合设集合 中有中有 个元素，则该集合的子集个数为个元素，则该集合的子集个数为 . 请结合本章知识给予合理解释。请结合本章知识给予合理解释。 , 321n aaaaA n n 2 ., 10n n r nnn CCCC 解：按子集中元素的个数分类，解：按子集中元素的个数分类， 元素个数分别为元素个数分别为0,1,2,3，n个。个。 对应子集个数依次有：对应子集个数依次有： 故子集个数故子集个数.2 10nn n
14、r nnn CCCCN 2 2、在、在(a-2b)(a-2b)11 11展开式中，二项式系数最大 展开式中，二项式系数最大 的项是的项是( ).( ). C 热身小练习热身小练习: A.A.第第6 6项项 B.B.第第7 7项项 C.C.第第6 6项和第项和第7 7项项 D.D.第第5 5项和第项和第6 6项项 此种类型的题目应该先找准此种类型的题目应该先找准r r的值，的值， 然后再确定第几项。然后再确定第几项。 注： 1 1、在、在(a(a2b)2b)11 11展开式中，与第五项二项式 展开式中，与第五项二项式 系数相同的项是系数相同的项是( ).( ). A.A.第第6 6项项 B.B.
15、第第7 7项项 C.C.第第8 8项项 D.D.第第9 9项项 C 一般地，一般地， 展开式的二项式系数展开式的二项式系数 有如下性质：有如下性质： n ba)( （1 1） rn n r n CC （3 3）先增后减，中间项最大；）先增后减，中间项最大； （4 4） （赋值法）（赋值法） nn nnn CCC2 10 课堂小结：课堂小结： （2 2） r n r n r n CCC 1 1 如果二项式的幂指数如果二项式的幂指数 n 是：是： 偶数，则中间一项的二项式系数偶数，则中间一项的二项式系数 最大。最大。 奇数，则中间两项的二项式系数奇数，则中间两项的二项式系数 最大。最大。 2 n n C 2 1 2 1 n n n n CC 观察观察-归纳归纳-论证论证 1 -531420 2 n nnnnnn CCCCCC 二项式系数性质，杨辉三角告诉你；二项式系数性质，杨辉三角告诉你； 左右两边相对称，先增后减中间大；左右两边相对称，先增后减中间大； 观察归纳再论证，数学学习真有趣！观察归纳再论证，数学学习真有趣！ 分类讨论时时记，赋值求和很有效；分类讨论时时记，赋值求和很有效； 谢谢大家！谢谢大家！
