1、第第 1 节节任意角和弧度制及任意角的三角函数任意角和弧度制及任意角的三角函数 考试要求1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入 弧度制的必要性；2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 知 识 梳 理 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所成的图形. (2)分类 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (3)终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 S |k360，kZ. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
2、 1 弧度的角，弧度记作 rad. (2)公式 角的弧度数公式|l r(弧长用 l 表示) 角度与弧度的换算 1 180 rad；1 rad 180 弧长公式弧长 l|r 扇形面积公式S1 2lr 1 2|r 2 3.任意角的三角函数 (1)定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么 sin y， cos x，tan y x(x0). (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段 MP， OM，AT 分别叫做角的正弦线，余弦线和正切线. 常用结论与微点提醒 1.三角函数
3、值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.若 0， 2 ，则 tan sin . 3.角度制与弧度制可利用 180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量 制必须一致，不可混用. 4.区分两个概念 (1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角. (2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)小于 90的角是锐角.() (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.() (3)角的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关.() (4)若为第一象限角，则 sin cos 1.() 解析(1)
4、锐角的取值范围是 0， 2 . (2)第一象限角不一定是锐角. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第一册 P180T3 改编)已知角的终边过点 P(12， m)， cos 12 13， 则 m 的值为() A.5B.5C.5D.8 解析由三角函数的定义可知 cos 12 （12）2m2 12 13，解得 m5. 答案C 3.(老教材必修 4P4 例 1 改编)在7200范围内，所有与角45终边相同的 角构成的集合为_. 解析所有与角终边相同的角可表示为：45k360(kZ)，则令 72045k3600(kZ)，得765k36045(kZ). 解得 k2 或 k1，675或315.
5、答案675，315 4.(2020唐山模拟)已知角的顶点在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一 点 A(2sin ，3)(sin0)，则 cos () A.1 2 B.1 2 C. 3 2 D. 3 2 解析由三角函数定义得 tan 3 2sin ，即 sin cos 3 2sin ，得 3cos 2sin 22(1 cos2)，解得 cos 1 2或 cos 2(舍去).故选 A. 答案A 5.(2020重庆一中月考)若 sin 0，则角是() A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角 解析1cos 1，且 sin(cos )0，0cos 1，又 sin 0，角为第
6、四象限角，故选 D. 答案D 6.(2019日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆 心角(0，)的弧度数为_. 解析设圆半径为 r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3rr，所以 3. 答案3 考点一角的集合表示及象限角的判定 【例1】(1)设集合M x|xk 218045，kZ， N x|xk 418045，kZ， 那么() A.MNB.MN C.NMD.MN (2)若角是第二象限角，则 2是第_象限角. (3)终边在直线 y 3x 上，且在2，2)内的角的集合为_. 解析(1)由于 M 中，xk 218045k9045(2k1)45，2k1 是奇数； 而 N 中，
7、 xk 418045k4545(k1)45， k1 是整数， 因此必有 MN. (2)是第二象限角， 22k2k，kZ， 4k 2 2k，kZ. 当 k 为偶数时， 2是第一象限角； 当 k 为奇数时， 2是第三象限角. (3)终边在直线 y 3x 上的角的集合为 | 3k， 又由2，2)，即2 3k2， 解得 k2，1，0，1， 故满足条件的角构成的集合为 5 3 ，2 3 ， 3， 4 3 . 答案(1)B(2)一或三(3) 5 3， 2 3， 3， 4 3 规律方法1.确定 k， k(kN *)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角的范围，再写出 k或 k的范围，然后根据 k 的
8、 可能取值讨论确定 k或 k的终边所在位置. 2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的 所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角. 【训练 1】 (1)下列与角9 4 的终边相同的角的表达式中正确的是() A.2k45(kZ)B.k3609 4 (kZ) C.k360315(kZ)D.k5 4 (kZ) (2)已知角的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边 界)，则角用集合可表示为_. 解析(1)与9 4 的终边相同的角可以写成 2k9 4 (kZ)，但是 角度制与弧度制不能混用，排除 A、B，易知 D 错误，C 正确. (2)在0，2)内
9、，终边落在阴影部分角的集合为 4， 5 6， 所以，所求角的集合为 |2k 42k 5 6 ，kZ . 答案(1)C(2)|2k 40 且 a1)的图象过定点 P，且角的终边 过点 P，则 sin cos 的值为() A.7 5 B.6 5 C. 5 5 D.3 5 5 解析因为函数 yloga(x3)2 的图象过定点 P(4，2)，且角的终边过点 P， 设 P(x，y)，所以 x4，y2，r2 5，所以 sin 5 5 ，cos 2 5 5 ，所以 sin cos 5 5 2 5 5 3 5 5.故选 D. 答案D 角度 2由三角函数值求角或参数 【例 32】 (1)(2019北师大附中期中
10、考试)在平面直角坐标系中，角的顶点在 原点， 始边在 x 轴的正半轴上， 角的终边经过点 M cos 8，sin 8 ， 且 02， 则() A. 8 B.3 8 C.5 8 D.7 8 (2)已知角的终边过点 P(8m，6sin 30)，且 cos 4 5，则 m 的值为( ) A.1 2 B. 3 2 C.1 2 D. 3 2 解析(1)因为角的终边经过点 M cos 8，sin 8 ，且 00，解得 m1 2. 答案(1)D(2)C 角度 3三角函数值的符号 【例 33】 (1)使 lg(sin cos ) cos 有意义的为() A.第一象限角B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限
11、角 (2)(多选题)在平面直角坐标系 xOy 中， 角以 Ox 为始边， 终边经过点 P(1， m)(m 0)，则下列各式的值一定为负的是() A.sin cos B.sin cos C.sin cos D.sin tan 解析(1)由题意知 sin cos 0 且cos 0，由 sin cos 0，知为第一、三 象限角，又由cos 0，即 cos 0 知为第二、三象限角或在 x 轴的负半轴 上，所以可知为第三象限角.故选 C. (2)由已知得 r|OP| m21，则 sin m m210，cos 1 m210， tan m0， sin cos 的符号不确定， sin cos 0， sin c
12、os 0， sin tan cos 0.故选 CD. 答案(1)C(2)CD 规律方法1.三角函数定义的应用 (1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原 点的距离，确定这个角的三角函数值. (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程， 求参数的值. 2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根 据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那 就要进行分类讨论求解. 【训练 3】 (1)(角度 1)(2020荆门龙泉中学月考)已知角的顶点为坐标原点，始 边与 x 轴正半轴重合，终边上有一
13、点(3a，4a)(a0)，则 sin 2() A.24 25 B.4 5 C. 7 25 D.24 25 (2)(角度 2)已知角的终边经过点 P(4，m)，且 sin 3 5，则 m 等于( ) A.3B.3C.16 3 D.3 (3)(角度 3)若 sin tan 0，且cos tan 0 时，sin 4a 5a 4 5，cos 3a 5a 3 5， 则 sin 22sin cos 24 25； 当 a0，解得 m3. (3)由 sin tan 0 可知 sin ，tan 异号，则为第二或第三象限角；由cos tan 0 可 知 cos ，tan 异号，则为第三或第四象限角.综上可知，为第
14、三象限角. 答案(1)A(2)B(3)C A 级基础巩固 一、选择题 1.(多选题)下列四个命题正确的是() A.3 4 是第二象限角 B.4 3 是第三象限角 C.400是第四象限角 D.315是第一象限角 解析3 4 是第三象限角，故 A 错误.4 3 3，从而 4 3 是第三象限角，B 正确. 40036040，从而 C 正确.31536045，从而 D 正确. 答案BCD 2.若角同时满足 sin 0 且 tan 0，则角的终边一定位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 解析由 sin 0，可知的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与 y 轴的 负半轴重合.由
15、tan 0，可知的终边可能位于第二象限或第四象限，故的终边 只能位于第四象限. 答案D 3.已知扇形的面积为 2，扇形圆心角的弧度数是 4，则扇形的周长为() A.2B.4C.6D.8 解析设扇形的半径为 r， 弧长为 l， 则由扇形面积公式可得 21 2|r 21 24r 2， 解得 r1，lr4，所以所求扇形的周长为 2rl6. 答案C 4.若角与的终边关于 x 轴对称，则有() A.90 B.90k360，kZ C.2k180，kZ D.180k360，kZ 解析因为与的终边关于 x 轴对称，所以2k180，kZ.所以 2k180，kZ. 答案C 5.已知角的终边经过点( m， 3 m)
16、，若7 3 ，则 m 的值为() A.27B. 1 27 C.9D.1 9 解析tan 7 3 3 m mm 1 6 3，m 13327， m 1 27，故选 B. 答案B 6.已知角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y2x 上， 则 cos 2() A.4 5 B.3 5 C.3 5 D.4 5 解析由题意知，tan 2，即 sin 2cos . 将其代入 sin2cos21 中可得 cos21 5， 故 cos 22cos213 5. 答案B 7.集合 |k 4k 2，kZ中的角所表示的范围(阴影部分)是() 解析当 k2n(nZ)时，2n 42n 2，此时角的终边
17、在第一象限；当 k2n1(nZ)时，2n 42n 2，此时角的终边在第三象限，结 合图象知选 C. 答案C 8.已知点 P 3 2 ，1 2 在角的终边上，且0，2)，则的值为() A.5 6 B.2 3 C.11 6 D.5 3 解析因为点 P 3 2 ，1 2 在第四象限， 根据三角函数的定义可知 tan 1 2 3 2 3 3 ， 又0，2)，可得11 6 . 答案C 二、填空题 9.若1 560，角与终边相同，且3600，则实数 a 的取值 范围是_. 解析cos 0，sin 0， 角的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上. 3a90， a20， 2a3. 答案(2，3 B 级能力提升
18、 13.已知点 P(sin xcos x，3)在第三象限，则 x 所在的可能区间是() A. 2，B. 4， 3 4 C. 2， 2D. 3 4 ， 4 解析由已知，点 P(sin xcos x，3)在第三象限，可得 sin xcos x0，即 sin xcos x，所以3 4 2kx 42k，kZ.当 k0 时，x 所在的一个区间是 3 4 ， 4 . 答案D 14.(2018全国卷)已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边 上有两点 A(1，a)，B(2，b)，且 cos 22 3，则|ab|( ) A.1 5 B. 5 5 C.2 5 5 D.1 解析由题意可知 tan
19、ba 21ba， 又 cos 2cos2sin2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 1（ba）2 1（ba）2 2 3， 5(ba)21，得(ba)21 5，则|ba| 5 5 . 答案B 15.(2020菏泽模拟)已知角的终边经过点 P(4a，3a)(a0)，则 25sin 7tan 2的 值为_. 解析因为角的终边经过点 P(4a，3a)(a0)，所以 x4a，y3a，r （4a）2（3a）25a，所以 sin 3a 5a 3 5，tan 3a 4a 3 4，所以 tan 2 2tan 1tan2 23 4 1 3 4 2 24 7 ，所以 25sin 7tan
20、225 3 5 724 7 39. 答案39 16.(2019广东期末)如图，在 RtPBO 中，PBO90，以 O 为 圆心、OB 为半径作圆弧交 OP 于 A 点.若圆弧 AB 等分POB 的面 积，且AOB弧度，则 tan _. 解析设扇形的半径为 r，则扇形的面积为1 2r 2，在 RtPOB 中， PBrtan ，则POB 的面积为 1 2rrtan ，由题意得 1 2rrtan 2 1 2r 2，即 tan 2，所以 tan 1 2. 答案 1 2 C 级创新猜想 17.(多选题)如图，A，B 是单位圆上的两个质点，点 B 的坐标为(1， 0)，BOA60，质点 A 以 1 rad
21、/s 的角速度按逆时针方向在单位圆 上运动，质点 B 以 2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动， 则() A.经过 1 s 后，BOA 的弧度数为 3 3 B.经过 12 s 后，扇形 AOB 的弧长为7 12 C.经过 6 s 后，扇形 AOB 的面积为 3 D.经过5 9 s 后，A，B 在单位圆上第一次相遇 解析经过 1 s 后，质点 A 运动 1 rad，质点 B 运动 2 rad，此时BOA 的弧度数 为 33，故 A 正确； 经过 12 s 后，AOB 12 32 12 7 12，故扇形 AOB 的弧长为 7 121 7 12，故 B 正确； 经过 6 s 后， AO
22、B 6 32 6 5 6 ， 故扇形 AOB 的面积为 S1 2 5 6 125 12， 故 C 不正确； 设经过 t s 后，A，B 在单位圆上第一次相遇，则 t(12) 32，解得 t 5 9 s， 故 D 正确. 答案ABD 18.(多填题)某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点 O 旋转， 当时间 t0 时， 点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合， 将 A， B 两点的距离 d(单 位：cm)表示成 t(单位：s)的函数，则 d_(其中 t0，60)；d 的最大值 为_cm. 解析根据题意，得AOB t 602 t 30，故 d25sin AOB 2 10sint 60(t0， 60).t0，60， t 600，当 t30 时，d 最大为 10 cm. 答案10sint 60 10
