1、第第 3 节节等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 考试要求1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式； 2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问 题；3.了解等比数列与指数函数的关系. 知 识 梳 理 1.等比数列的概念 (1)如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数， 那么这个数列叫做等比数列. 数学语言表达式： an an1q(n2，q 为非零常数). (2)如果三个数 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，其中 G ab. 2.等比数列的通项公式及前 n 项和公式 (1)若等
2、比数列an的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 ana1qn 1； 通项公式的推广：anamqn m. (2)等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sna1（1q n） 1q a 1anq 1q . 3.等比数列的性质 已知an是等比数列，Sn是数列an的前 n 项和. (1)若 klmn(k，l，m，nN*)，则有 akalaman. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak， akm，ak2m，仍是等比数列，公比为 qm. (3)当 q1，或 q1 且 n 为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等比数列， 其公比为 qn. 常用结论与
3、微点提醒 1.若数列an， bn(项数相同)是等比数列， 则数列can(c0)， |an|， a2n， 1 an， anbn， an bn也是等比数列. 2.由 an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证 a10. 3.在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q1 分类讨论，防止 因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)等比数列公比 q 是一个常数，它可以是任意实数.() (2)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2ac.() (3)数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项
4、和为 Sna（1a n） 1a .() (4)数列an为等比数列，则 S4，S8S4，S12S8成等比数列.() 解析(1)在等比数列中，q0. (2)若 a0，b0，c0 满足 b2ac，但 a，b，c 不成等比数列. (3)当 a1 时，Snna. (4)若 a11，q1，则 S40，S8S40，S12S80，不成等比数列. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 5P53T1 改编)已知an是等比数列，a416，公比 q2，则 a1等 于() A.2B.2C.1 2 D.1 2 解析由题意，得 a4a1q38a116，解得 a12. 答案A 3.(老教材必修 5P61T1 改编)
5、等比数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若S10 S5 31 32，则a n的通项公式 an_. 解析因为S10 S5 31 32，所以 S10S5 S5 1 32，因为 S 5，S10S5，S15S10成等比数列， 且公比为 q5，所以 q5 1 32，q 1 2，则 a n 1 2 n1 . 答案 1 2 n1 4.(2020青岛模拟)公比不为 1 的等比数列an满足 a5a6a4a718，若 a1am9， 则 m 的值为() A.8B.9C.10D.11 解析由题意得，2a5a618，a5a69，a1ama5a69， m10. 答案C 5.(2018北京卷)“十二平均律”是通用
6、的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法 计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度 音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与 它的前一个单音的频率的比都等于 12 2.若第一个单音的频率为 f，则第八个单音 的频率为() A. 3 2fB. 3 22f C. 12 25fD. 12 27f 解析由题意知十三个单音的频率依次构成首项为 f，公比为 12 2的等比数列，设 此数列为an，则 a8 12 27f，即第八个单音的频率为 12 27f. 答案D 6.(2019全国卷)设 Sn为等比数列an的前 n 项和.若 a11 3，a 2 4a
7、6，则 S5 _. 解析由 a24a6得(a1q3)2a1q5，整理得 q 1 a13. 所以 S5a1（1q 5） 1q 1 3（13 5） 13 121 3 . 答案 121 3 考点一等比数列基本量的运算 【例 1】(1)(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前 4 项和为 15， 且 a53a34a1，则 a3() A.16B.8C.4D.2 (2)(2020郴州一模)在数列an中，满足 a12，a2nan1an1(n2，nN*)，Sn 为an的前 n 项和，若 a664，则 S7的值为() A.126B.256C.255D.254 解析(1)设等比数列an的公比为 q，由
8、 a53a34a1得 q43q24，得 q24， 因为数列an的各项均为正数，所以 q2，又 a1a2a3a4a1(1qq2q3) a1(1248)15，所以 a11，所以 a3a1q24. (2)数列an中，满足 a2nan1an1(n2)， 则数列an为等比数列，设其公比为 q， 又由 a12，a664，得 q5a6 a132，则 q2， 则 S7a1（12 7） 12 282254. 答案(1)C(2)D 规律方法1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中 有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃 而解. 2.等比数列的前 n
9、 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q1 时，an的前 n 项和 Snna1；当 q1 时，an的前 n 项和 Sna1（1q n） 1q a1anq 1q . 【训练 1】 (1)等比数列an中各项均为正数，Sn是其前 n 项和，且满足 2S38a1 3a2，a416，则 S4() A.9B.15C.18D.30 (2)设等比数列an满足 a1a21，a1a33，则 a4_. 解析(1)设数列an的公比为 q(q0)， 则 2S32（a1a1qa1q2）8a13a1q， a1q316， 解得 q2，a12，所以 S42（12 4） 12 30. (2)由an为等比数列，设公比为 q.
10、由 a1a21， a1a33，得 a1a1q1， a1a1q23， 显然 q1，a10， 得 1q3，即 q2，代入式可得 a 11， 所以 a4a1q31(2)38. 答案(1)D(2)8 考点二等比数列的判定与证明 【例 2】 设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a12a23a3nan(n1)Sn 2n(nN*). (1)求 a2，a3的值； (2)求证：数列Sn2是等比数列. (1)解因为 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)， 所以当 n1 时，a1212； 当 n2 时，a12a2(a1a2)4， 所以 a24； 当 n3 时，a12a23a32(a1a2a3)6，
11、所以 a38. 综上，a24，a38. (2)证明因为 a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)， 所以当 n2 时， a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1). ，得 nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn 2Sn12. 所以Sn2Sn120，即 Sn2Sn12， 所以 Sn22(Sn12). 因为 S1240，所以 Sn120，所以 Sn2 Sn122， 故Sn2是以 4 为首项，2 为公比的等比数列. 规律方法1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用 于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要
12、证明存在连续 三项不成等比数列即可. 2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对 n1 的情形进行验证. 【训练 2】 (2019长治二模)Sn为等比数列an的前 n 项和，已知 a49a2，S3 13，且公比 q0. (1)求 an及 Sn； (2)是否存在常数，使得数列Sn是等比数列？若存在，求的值；若不存在， 请说明理由. 解(1)易知 q1，由题意可得 a1q39a1q， a1（1q3） 1q 13， q0， 解得 a11，q3， an3n 1，Sn13n 13 3 n1 2 . (2)假设存在常数，使得数列Sn是等比数列， S11，S24，S313， (4)2(1)(13)，解得1
13、2， 此时 Sn1 2 1 23 n，则S n11 2 Sn1 2 1 23 n1 1 23 n 3， 故存在常数1 2，使得数列S n1 2是以 3 2为首项，3 为公比的等比数列. 考点三等比数列的性质及应用 【例 3】(1)(2020洛阳统考)等比数列an的各项均为正数， 且 a10a11a8a1364， 则 log2a1log2a2log2a20_. (2)(一题多解)(2020北京东城区模拟)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S10 20，S30140，则 S40() A.280B.300C.320D.340 解析(1)由等比数列的性质可得 a10a11a8a13， 所以
14、a10a11a8a132a10a1164， 所以 a10a1132，所以 log2a1log2a2log2a20log2(a1a2a3a20) log2(a1a20)(a2a19)(a3a18)(a10a11)log2(a10a11)10log2321050. (2)法一因为 S10200，所以 q1， 由等比数列性质得 S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，(S20S10)2 S10(S30S20)， 即(S2020)220(140S20)，解得 S2060， S20S10 S10 6020 20 2， S40S30S1023， S40S30S1023300.故选 B.
15、 法二设等比数列an的公比为 q，由题意易知 q1， 所以a 1（1q10） 1q 20，a 1（1q30） 1q 140， 两式相除得1q 30 1q107，化简得 q 20q1060， 解得 q102， 所以 S40S30S10q30140160300，故选 B. 答案(1)50(2)B 规律方法1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质， 特别是性质“若 mnpq，则 amanapaq”，可以减少运算量，提高解题速 度. 2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形. 此外，解题时注意设而不求思想的运用. 【训练 3】 (1)(2020贵阳质
16、检)在等比数列an中，若 a3，a7是方程 x24x2 0 的两根，则 a5的值是() A.2B. 2C. 2D. 2 (2)(多选题)设等比数列an的公比为 q，其前 n 项和为 Sn，前 n 项积为 Tn，并且 满足条件 a11，a7a81，a71 a810.则下列结论正确的是( ) A.0q1B.a7a91 C.Sn的最大值为 S9D.Tn的最大值为 T7 解析(1)根据根与系数之间的关系得 a3a74， a3a72，由 a3a740， 所以 a30，a70，即 a51 的 n 的最小值为() A.4B.5C.6D.7 解析数列an是各项均为正数的等比数列，且 a2a4a3，a23a3，
17、a31. 又q1，a1a21(n3)，TnTn1(n4，nN*)，T11，T2a1a21， T3a1a2a3a1a2T21，T4a1a2a3a4a11，故 n 的最小值为 6. 答案C 13.(2020华大新高考联盟质检)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a3a112a25， 且 S4S12S8，则_. 解析数列an是等比数列，a3a112a25， a272a25，q42， S4S12S8，a1（1q 4） 1q a1（1q 12） 1q a1（1q 8） 1q ， 1q41q12(1q8)， 将 q42 代入计算可得8 3. 答案 8 3 14.(开放题)(2020山东全省模考)在b
18、1b3a2， a4b4， S525 这三个条 件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 k 存在，求 k 的值；若 k 不存在， 说明理由. 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，bn是等比数列，_，b1a5，b23， b581，是否存在 k，使得 SkSk1，且 Sk1Sk1，则只需 SkSkak1， 即 ak10，同理，若 Sk1Sk2， 则只需 Sk10. 若选：b1b3a2时，a21910， an3n16. 当 k4 时，a50，SkSk1，且 Sk1Sk2成立. 若选：a4b427，a51， an为递减数列，故不存在 ak10， 即不存在 k，使得 SkSk1，且 Sk1Sk2成立
19、. 若选：S525，S55（a1a5） 2 5a325， a35.an2n11. 当 k4 时，a50，SkSk1，且 Sk1Sk2成立. C 级创新猜想 15.(新情境题)(2019宁德质检)某市利用第十六届省运会的契机，鼓励全民健身， 从 2018 年 7 月起向全市投放 A，B 两种型号的健身器材.已知 7 月份投放 A 型健 身器材 300 台，B 型健身器材 64 台，计划从 8 月起，A 型健身器材每月的投放 量均为 a 台，B 型健身器材每月的投放量比上一月多 50%，若 12 月底该市 A，B 两种健身器材投放总量不少于 2 000 台，则 a 的最小值为() A.243B.1
20、72C.122D.74 解析将每个月的投放量列表如下： 月份 投放量(台) 789101112 A300aaaaa B64641.5641.52641.53641.54641.55 则有 64(1.51.521.531.541.55)643005a2 000，解得 a74，所以 a 的最小值为 74，故选 D. 答案D 16.(多选题)(2020烟台调研)设等比数列an的公比为 q，则下列结论正确的是 () A.数列anan1是公比为 q2的等比数列 B.数列anan1是公比为 q 的等比数列 C.数列anan1是公比为 q 的等比数列 D.数列 1 an是公比为1 q的等比数列 解析对于 A，由anan 1 an1anq 2(n2)知数列anan 1是公比为 q2的等比数列；对于 B，当 q1 时，数列anan1的项中有 0，不是等比数列；对于 C，若 q1 时，数列anan1的项中有 0，不是等比数列；对于 D， 1 an1 1 an an an1 1 q，所以数 列 1 an是公比为1 q的等比数列，故选 AD. 答案AD
