1、第第 4 节节三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 考试要求1.能画出三角函数 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数 的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在 0，2上，正切函数在 2， 2 上的性质. 知 识 梳 理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数 ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)， 2，1，(， 0)， 3 2 ，1 ，(2，0). (2)余弦函数 ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)， 2，0，(， 1)， 3 2 ，0 ，(2，1). 2.正弦、余弦、正
2、切函数的图象与性质(下表中 kZ) 函数ysin xycos xytan x 图象 定义域RR x|xR，且xk 2 值域1，11，1R 最小正周期22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 递增区间2k 2，2k 2 2k，2kk 2，k 2 递减区间2k 2，2k 3 2 2k，2k无 对称中心(k，0)k 2，0 k 2 ，0 对称轴方程xk 2 xk无 常用结论与微点提醒 1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期， 相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的 距离是半个周期. 2.三角函数中奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAt
3、an x 的形式，偶函数一般可 化为 yAcos xb 的形式. 3. 对 于 y tan x 不 能 认 为 其 在 定 义 域 上 为 增 函 数 ， 而 是 在 每 个 区 间 k 2，k 2 (kZ)内为增函数. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)余弦函数 ycos x 的对称轴是 y 轴.() (2)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数.() (3)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.() (4)ysin|x|是偶函数.() 解析(1)余弦函数 ycos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数 yta
4、n x 在每一个区间 k 2，k 2 (kZ)上都是增函数， 但在定义 域内不是单调函数，故不是增函数. (3)当 k0 时，ymaxk1；当 k0 时，ymaxk1. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(新教材必修第一册 P213T3 改编)下列函数中，是奇函数的是() A.y|cos x1|B.y1sin x C.y3sin(2x)D.y1tan x 解析选项 A 中的函数是偶函数，选项 B，D 中的函数既不是奇函数，也不是偶 函数；因为 y3sin(2x)3sin 2x，所以是奇函数，选 C. 答案C 3.(老教材必修 4P36T2 改编)函数 y3 2cos 1 2x 6 3 的最小正
5、周期为 T， 最大值 为 A，则() A.TA3 2 B.T 2 A9 2 C.T4A9 2 D.T2A3 2 解析T2 1 2 4，A3 23 9 2. 答案C 4.(2017全国卷)函数 f(x)1 5sin x 3 cos x 6 的最大值为() A.6 5 B.1C.3 5 D.1 5 解析cos x 6 cos 2 x 3 sin x 3 ，则 f(x)1 5sin x 3 sin x 3 6 5sin x 3 ，函数的最大值为6 5. 答案A 5.(2019北京卷)函数 f(x)sin22x 的最小正周期是_. 解析由降幂公式得 f(x)sin22x1cos 4x 2 1 2cos
6、 4x 1 2，所以最小正周期 T 2 4 2. 答案 2 6.(2018江苏卷)已知函数 ysin(2x) 2 2的图象关于直线 x 3对称， 则 的值是_. 解析由函数 ysin(2x) 2 2 的图象关于直线 x 3对称， 得 sin 2 3 1.所以2 3 2k(kZ)，所以 6k(kZ)，又 20， cos x1 20， 即 sin x0， cos x1 2， 解得 2kx2k（kZ）， 32kx 32k（kZ）， 所以 2kx 32k(kZ)， 所以函数的定义域为 x|2kx 32k，kZ. 答案(1) x|x 4k，且 x 2k，kZ (2) x|2k0)图象的一个对称中心为 M
7、 9，0， 距离点 M 最近的一条对称轴为直线 x5 18，则_. 解析(1)因为函数 f(x)asin xcos x(a 为常数，xR)的图象关于直线 x 6 对 称， 所以 f(0)f 3 ，所以 1 3 2 a1 2，a 3 3 ， 所以 g(x)sin x 3 3 cos x2 3 3 sin x 6 ， 函数 g(x)的对称轴方程为 x 6k 2(kZ)，即 xk 3(kZ)，当 k0 时， 对称轴为直线 x 3，所以 g(x)sin xacos x 的图象关于直线 x 3对称. (2)函数 f(x)sin x 3cos x2sin x 3 ，因为图象的对称中心为 M 9，0， 距离
8、点 M 最近的一条对称轴为 x5 18，所以 5 18 9 T 4，即 T 2 3 .故2 T 3. 答案(1)C(2)3 规律方法1.对于可化为 f(x)Asin(x)形式的函数，如果求 f(x)的对称轴，只 需令x 2k(kZ)，求 x 即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 xk(kZ)，求 x 即可. 2.对于可化为 f(x)Acos(x)形式的函数，如果求 f(x)的对称轴，只需令x k(kZ)， 求 x； 如果求 f(x)的对称中心的横坐标， 只需令x 2k(kZ)， 求 x 即可. 【训练 3】 (1)(角度 1)已知函数 f(x)sin(x) 0，| 2 的最小正周期
9、为 4， 且xR，有 f(x)f 3 成立，则 f(x)图象的一个对称中心坐标是() A. 2 3 ，0 B. 3，0 C. 2 3 ，0 D. 5 3 ，0 (2)(角度 2)(2020武汉调研)设函数 f(x)sin 1 2x 3cos 1 2x | 2 的图象关 于 y 轴对称，则() A. 6 B. 6 C. 3 D. 3 解析(1)由 f(x)sin(x)的最小正周期为 4， 得1 2. 因为 f(x)f 3 恒成立，所以 f(x)maxf 3 ， 即1 2 3 22k(kZ)， 又| 2，所以 3，故 f(x)sin 1 2x 3 . 令 1 2x 3k(kZ)，得 x2k 2 3
10、 (kZ)， 故 f(x)图象的对称中心为 2k2 3 ，0 (kZ)， 当 k0 时，f(x)图象的对称中心坐标为 2 3 ，0 . (2)f(x)sin 1 2x 3cos 1 2x 2sin 1 2x 3 ， 由题意可得 f(0)2sin 3 2， 即 sin 3 1， 3 2k(kZ)， 5 6 k(kZ). | 2，k1 时， 6. 答案(1)A(2)A 考点四三角函数的单调性多维探究 角度 1求三角函数的单调区间 【例 41】 (1)(2020岳阳质检)函数 ysin x 2 3 ，x2，2的单调递增区 间是() A. 5 3 ， 3B. 5 6 ，7 6 C. 3，2D. 2 3
11、 ，4 3 (2)函数 f(x)tan 2x 3 的单调递增区间是_. 解析(1)由 2k 2 x 2 32k 2(kZ)得， 4k5 3 x4k 3(kZ)， 又 x2，2，所以5 3 x 3. 故 ysin x 2 3 ，x2，2的单调递增区间为 5 3 ， 3 .故选 A. (2)由 k 22x 3k 2(kZ)， 得k 2 5 12x0，函数 f(x)sin x 4 在 2，上单调递减，则的取值 范围是_. 解析由 2x0 得 2 4x 40，kZ， 得 k0，所以 1 2， 5 4 . 答案 1 2， 5 4 规律方法对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题， 首先， 明
12、确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调 区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法 求解更为简捷. 【训练 4】 (1)(角度 1)已知函数 f(x)2sin 42x，则函数 f(x)的单调递减区间为 () A. 3 8 2k，7 8 2k (kZ) B. 82k， 3 8 2k (kZ) C. 3 8 k，7 8 k (kZ) D. 8k， 3 8 k (kZ) (2)(角度 2)(2018全国卷)若 f(x)cos xsin x 在a，a是减函数，则 a 的最大 值是() A. 4 B. 2 C.3 4 D. 解析(1)函数的解析式
13、可化为 f(x)2sin 2x 4 . 由 2k 22x 42k 2(kZ)，得 8kx 3 8 k(kZ)，即函数 f(x)的 单调递减区间为 8k， 3 8 k (kZ). (2)f(x)cos xsin x 2cos x 4 ， 由题意得 a0，故a 40， 解得 00，当 k 0 时，min 6，故选 D. 答案D 4.若 f(x)为偶函数，且在 0， 2 上满足：对任意 x10， 则 f(x)可以为() A.f(x)cos x5 2B.f(x)|sin(x)| C.f(x)tan xD.f(x)12cos22x 解析f(x)cos x5 2 sin x 为奇函数，排除 A；f(x)t
14、an x 为奇函数， 排 除 C ； f(x) 1 2cos22x cos 4x 为 偶 函 数 ， 且 单 调 增 区 间 为 k 2 ，k 2 4 (kZ)，排除 D；f(x)|sin(x)|sin x|为偶函数，且在 0， 2 上单调 递增. 答案B 5.(2019昆明诊断)将函数 f(x)cos 2x 的图象向右平移 4个单位后得到函数 g(x)的 图象，则 g(x)具有性质() A.周期为，最大值为 1，图象关于直线 x 2对称，为奇函数 B.周期为，最大值为 1，图象关于点 3 8 ，0 对称，为奇函数 C.周期为，最大值为 1，在 3 8 ， 8 上单调递减，为奇函数 D.周期为
15、，最大值为 1，在 0， 4 上单调递增，为奇函数 解析将函数f(x)cos 2x的图象向右平移 4个单位后得到函数g(x)cos 2x 2 sin 2x 的图象，则函数 g(x)的周期为，最大值为 1，在 0， 4 上单调递增，且为奇 函数，故选 D. 答案D 二、填空题 6.函数 ycos 42x的单调递减区间为_. 解析由 ycos 42xcos 2x 4 ， 得 2k2x 42k(kZ)， 解得 k 8xk 5 8 (kZ)， 所以函数的单调递减区间为 k 8，k 5 8 (kZ). 答案 k 8，k 5 8 (kZ) 7.(2018北京卷)设函数 f(x)cos x 6 (0).若
16、f(x)f 4 对任意的实数 x 都成 立，则的最小值为_. 解析由于对任意的实数都有 f(x)f 4 成立，故当 x 4时，函数 f(x)有最大值， 故 f 4 1， 4 62k(kZ)，8k 2 3(kZ).又0， min2 3. 答案 2 3 8.(2020 合肥调 研) 已知函 数 f(x) |tan 1 2x 6|，则下 列说法正确的 是 _(填序号). f(x)的周期是 2； f(x)的值域是y|yR，且 y0； 直线 x5 3 是函数 f(x)图象的一条对称轴； f(x)的单调递减区间是 2k2 3 ，2k 3 ，kZ. 解析函数 f(x)的周期为 2，错；f(x)的值域为0，)
17、，错；当 x5 3 时， 1 2x 6 2 3 k 2 ，kZ，x5 3 不是 f(x)的对称轴，错；令 k 2 1 2x 6k， kZ ， 可 得 2k 2 3 0)的最小正周期为. (1)求函数 yf(x)的图象的对称轴方程； (2)讨论函数 f(x)在 0， 2 上的单调性. 解(1)f(x)sin xcos x 2sin x 4 ，且 T，2，f(x) 2sin 2x 4 . 令 2x 4k 2(kZ)，得 x k 2 3 8 (kZ)， 即函数 f(x)图象的对称轴方程为 xk 2 3 8 (kZ). (2) 令 2k 2 2x 4 2k 2 (kZ) ， 得 函 数 f(x) 的
18、单 调 递 增 区 间 为 k 8，k 3 8 (kZ).注意到 x 0， 2 ，所以令 k0，得函数 f(x)在 0， 2 上的 单调递增区间为 0，3 8 ；令 22k2x 4 3 2 2k(kZ)，得函数 f(x)的单调 递减区间为k3 8 ，k7 8 (kZ)，令 k0，得 f(x)在 0， 2 上的单调递减区间 为 3 8 ， 2 . B 级能力提升 11.(2020山东百日冲刺)已知函数 f(x) sin x，x 4， cos x，x 4， 则下列结论正确的是() A.f(x)是周期函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)的图象关于直线 x 4对称 D.f(x)在5 2 处取得最大
19、值 解析作出函数 f(x)的图象，如图所示，由图象可知函数 f(x)不是周期函数，所以 A 不正确；同时图象不关于原点对称，所以不是奇函数，所以 B 不正确； 若 x0，则 f 4xcos 4x 2 2 (cos xsin x)， f 4xsin 4x 2 2 (cos xsin x)， 此时 f 4xf 4x； 若 x0，则 f 4xsin 4x 2 2 (cos xsin x)， f 4xcos 4x 2 2 (cos xsin x)， 此时 f 4xf 4x，综上，恒有 f 4xf 4x，即图象关于直线 x 4对称， 所以 C 正确；当 x5 2 时，f 5 2 cos 5 2 0 不是
20、函数的最大值，所以 D 错误， 故选 C. 答案C 12.(2019长沙模拟)已知 P(1，2)是函数 f(x)Asin(x)(A0，0)图象的一个 最高点，B，C 是与 P 相邻的两个最低点，设BPC，若 tan 2 3 4，则 f(x)图 象的对称中心可以是() A.(0，0)B.(1，0) C. 3 2，0D. 5 2，0 解析由已知作出图形，连接 BC，过 P 作 BC 的垂线，如图所示. 由题意知 A2.又BPC， 所以 tan 2 1 2BC 22 3 4， 解得 BC6， 所以 T6 2 |， 又0，解得 3.所以 f(x)2sin 3x.将点 P(1，2)的坐标代入函数解析式，
21、 得 2sin 32， 解得 62k(kZ).令 k0， 得 6， 所以 f(x)2sin 3x 6 . 令 3x 6m(mZ)，解得 x3m 1 2(mZ).令 m1，得 x 5 2，即 f(x)图象的对 称中心可以是 5 2，0.故选 D. 答案D 13.若函数 g(x)sin 2x 6 在区间 0，a 3 和 4a，7 6 上均单调递增，则实数 a 的取 值范围是_. 解析由 2k 22x 62k 2(kZ)， 可得 k 3xk 6(kZ)， g(x)的单调递增区间为 k 3，k 6 (kZ). 又函数 g(x)在区间 0，a 3 和 4a，7 6 上均单调递增， a 3 6， 4a2
22、3 ， 4a7 6 ， 解得 6a 7 24. 答案 6， 7 24 14.已知函数 f(x)sin 2xsin x 3cos2x 3 2 . (1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值； (2)若方程 f(x)2 3在(0，)上的解为 x 1，x2，求 cos(x1x2)的值. 解(1)f(x)cos xsin x 3 2 (2cos2x1) 1 2sin 2x 3 2 cos 2xsin 2x 3 . 当 2x 3 22k(kZ)，即 x 5 12k(kZ)时，函数 f(x)取最大值，且最大值 为 1. (2)由(1)知，函数 f(x)图象的对称轴为 x 5 12k(kZ)， 当
23、x(0，)时，对称轴为 x 5 12. 又方程 f(x)2 3在(0，)上的解为 x 1，x2. x1x25 6，则 x 15 6x 2， cos(x1x2)cos 5 62x 2 sin 2x2 3 ， 又 f(x2)sin 2x2 3 2 3， 故 cos(x1x2)2 3. C 级创新猜想 15.(多选题)已知函数 f(x)sin4xcos4x，则下列说法正确的是() A.f(x)的最小正周期为 B.f(x)的最大值为 2 C.f(x)的图象关于 y 轴对称 D.f(x)在区间 4， 2 上单调递增 解析f(x)sin4xcos4xsin2xcos2xcos 2x，函数 f(x)的最小正
24、周期 T ，f(x)的最大值为 1.f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，f(x)为偶函数， 其图象关于 y 轴对称.ycos 2x 在 4， 2 上单调递减，f(x)cos 2x 在 4， 2 上单调递增.故选 ACD. 答案ACD 16.(开放题)已知函数 f(x) 3sin 2x2cos2x1，将 f(x)的图象上所有点的横坐标 缩短到原来的1 2，纵坐标保持不变，再把所得图象向上平移 1 个单位长度，得到函 数 yg(x)的图象，若 g(x1)g(x2)9，则|x1x2|的值可以是_(答案不唯一， 写出一个即可). 解析f(x) 3sin 2x2cos2x1 3sin 2xcos 2x2sin 2x 6 ，将函数 f(x)的 图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2， 纵坐标不变， 则所得图象对应的解析式为 y2sin 4x 6 ，再将所得的函数图象向上平移 1 个单位长度，得到函数 g(x) 2sin 4x 6 1 的图象， 则函数 g(x)的值域为1， 3， 又 g(x1)g(x2)9， 所以 g(x1) g(x2)g(x)max3，则|x1x2|nT(nN，T 为 g(x)的最小正周期)，又 T 2，故 |x1x2|n 2 (nN)，故可填 2. 答案 2(答案不唯一)
