1、第第 7 节节解三角形应用举例解三角形应用举例 考试要求能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计 算有关的问题. 知 识 梳 理 1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角， 目标视线在水平视线上方叫仰 角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图 1). 2.方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如 B 点的方 位角为(如图 2). 3.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东 30，北偏西 45等. 4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 常用结论与微点提醒 1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内
2、角之间的关系弄混. 2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余 弦定理求解. 诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)东北方向就是北偏东 45的方向.() (2)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为 180.() (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 0， 2 .() (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关 系.() 解析(2)；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案(1)(2)(3)(4) 2.(老教材必修 5P11 例 1 改编)如图所示，设 A，B 两点
3、在河的 两岸，一测量者在 A 所在的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算 出 A，B 两点的距离为() A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 mD.25 2 2 m 解析在ABC 中，由正弦定理得 AB sinACB AC sin CBA， 又CBA1804510530， ABACsinACB sin CBA 50 2 2 1 2 50 2(m). 答案A 3.(新教材必修第二册 P51 练习 T2 改编)如图所示，D，C，B 三 点在地面的同一条直线上，DCa，从 C，D 两点测得 A 点的 仰角分别是 60，30，则 A 点
4、离地面的高度 AB_. 解析由已知得DAC30，ADC 为等腰三角形，AD 3a，所以 RtADB 中，AB1 2AD 3 2 a. 答案 3 2 a 4.(2020东营月考)如图， 两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距 离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的() A.北偏东 10B.北偏西 10 C.南偏东 80D.南偏西 80 解析由条件及图可知，ACBA40， 又BCD60，所以CBD30， 所以DBA10， 因此灯塔 A 在灯塔 B 的南偏西 80. 答案D 5.(2019长春期中)如图， 一座建筑物 AB 的高为(3
5、010 3)m， 在该建筑物的正东方向有一个通信塔 CD.在它们之间的地面 上的点 M(B，M，D 三点共线)处测得楼顶 A，塔顶 C 的仰角 分别是 15，60，在楼顶 A 处测得塔顶 C 的仰角为 30，则 通信塔 CD 的高为() A.30 mB.60 mC.30 3 mD.40 3 m 解析作 AECD，垂足为 E，则在AMC 中，AM AB sin 1520 6，AMC 105， ACM30， AC sin 105 20 6 sin 30， AC6020 3， CD3010 3 ACsin 3060(m).故选 B. 答案B 6.(2019天津和平区调研)如图，在ABC 中，已知点
6、D 在 BC 边上，ADAC，sin BAC2 2 3 ，AB3 2，AD3，则 BD 的长为_. 解析因为 sinBAC2 2 3 ，且 ADAC， 所以 sin 2BAD2 2 3 ， 所以 cosBAD2 2 3 ，在BAD 中，由余弦定理， 得 BD AB2AD22ABADcos BAD （3 2）23223 232 2 3 3. 答案3 考点一解三角形的实际应用多维探究 角度 1测量距离问题 【例 11】 如图，为了测量两座山峰上 P，Q 两点之间的距 离，选择山坡上一段长度为 300 3 m 且和 P，Q 两点在同一平 面内的路段 AB 的两个端点作为观测点，现测得PAB90， P
7、AQPBAPBQ60，则 P，Q 两点间的距离为_ m. 解析由已知，得QABPABPAQ30， 又PBAPBQ60， AQB30，ABBQ. 又 PB 为公共边， PABPQB， PQPA. 在 RtPAB 中，APABtan 60900， 故 PQ900， P，Q 两点间的距离为 900 m. 答案900 规律方法距离问题的类型及解法： (1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达. (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的 边长问题，从而利用正、余弦定理求解. 角度 2测量高度问题 【例 12】 如图，测量河对岸的塔高 AB 时可以
8、选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D， 测得BCD15， BDC 30，CD30，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60，则塔高 AB 等于() A.5 6B.15 3C.5 2D.15 6 解析在BCD 中，CBD1801530135. 由正弦定理得 BC sin 30 30 sin 135，所以 BC15 2. 在 RtABC 中， ABBCtan ACB15 2 315 6. 答案D 规律方法1.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一 铅垂面内，视线与水平线的夹角. 2.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图. 3.运用正、余弦定理，有序地解相关
9、的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程 思想的运用. 角度 3测量角度问题 【例 13】 已知岛 A 南偏西 38方向，距岛 A3 海里的 B 处有 一艘缉私艇.岛 A 处的一艘走私船正以 10 海里/时的速度向岛屿 北偏西 22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好 用 0.5 小时能截住该走私船？ 参考数据：sin 385 3 14 ，sin 223 3 14 解如图，设缉私艇在 C 处截住走私船，D 为岛 A 正南方向上 一点，缉私艇的速度为每小时 x 海里，则 BC0.5x，AC5，依 题意， BAC1803822120， 由余弦定理可得 BC2AB2AC22ABACcos 1
10、20， 所以 BC249，所以 BC0.5x7，解得 x14. 又由正弦定理得 sinABCACsinBAC BC 5 3 2 7 5 3 14 ，所以ABC38， 又BAD38，所以 BCAD， 故缉私艇以每小时 14 海里的速度向正北方向行驶，恰好用 0.5 小时截住该走私 船. 规律方法1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的 图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最 后将解得的结果转化为实际问题的解. 2.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点 的方向角. 【训练 1】 (1)(角度 1)江岸边有一炮台高
11、 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在 同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为 45和 60，而且两条船与炮台底部 连线成 30角，则两条船相距_m. (2)(角度 2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路 北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西 偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m. (3)(角度 3)如图， 两座相距 60 m 的建筑物 AB， CD 的高度分别 为 20 m，50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建 筑物 CD 的张角CAD 等于() A.30B.45C
12、.60D.75 解析(1)如图，设炮台的顶部为 A，底部为 O，两只小船分别 为 M，N，则由题意得，OMAOtan 4530(m)， ONAOtan 30 3 3 3010 3(m)， 在MON 中，由余弦定理得， MN90030023010 3 3 2 30010 3(m). (2)由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，故ACB 45. 又 AB600 m，故由正弦定理得 600 sin 45 BC sin 30， 解得 BC300 2(m). 在 RtBCD 中，CDBCtan 30300 2 3 3 100 6(m). (3)依题意可得 AD20 10 m，AC30
13、 5 m， 又 CD50 m， 所以在ACD 中，由余弦定理得 cosCADAC 2AD2CD2 2ACAD （30 5） 2（20 10）2502 230 520 10 6 000 6 000 2 2 2 ， 又 0CAD180，所以CAD45， 所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45. 答案(1)10 3(2)100 6(3)B 考点二解三角形与三角函数的综合应用 【例 2】 (2019石家庄二模)已知函数 f(x)2sin x( 3cos xsin x)1，xR. (1)求曲线 yf(x)的对称中心； (2)在锐角三角形 ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，且
14、 f A 2 2，a 3，若 bcka 恒成立，求正整数 k 的最小值. 解(1)由题意得，f(x)2 3sin xcos x2sin2x1 3sin 2xcos 2x2sin 2x 6 . 令 2x 6k(kZ)，得 x 12 k 2 (kZ). 曲线 yf(x)的对称中心为 12 k 2 ，0 ，其中 kZ. (2)f A 2 2，2sin A 6 2，sin A 6 1， 又 6A 6 2 3 ，A 6 2，解得 A 3. 由正弦定理，得bc a sin Bsin C sin A 2 3 3 (sin Bsin C)2 3 3 sin(AC)sin C 2 3 3 3 2sin C 3
15、2 cos C 2sin C 6 . 在锐角三角形 ABC 中，C 6， 2 ， C 6 3， 2 3 ，sin C 6 3 2 ，1 . 于是bc a 2，k2，正整数 k 的最小值为 2. 规律方法解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：(1)利用三 角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象和性质 的综合应用. 【训练 2】 (2020湖南炎德、英才大联考)设 f(x)sin xsin x 6 cos x4 3 . (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间； (2)若锐角ABC 中，A，B， C 的对边分别为 a，b， c， 且 f(A) 2，a
16、2，b 6， 求角 C 及边 c. 解(1)f(x)sin xsin x 6 cos x4 3 sin x 3 2 sin x1 2cos x 1 2cos x 3 2 sin x sin xcos x 2sin x 4 . f(x)的最小正周期 T2. 由 2k 2x 42k 3 2 (kZ)， 解得 2k 4x2k 5 4 (kZ)， 故 f(x)的单调递减区间是 2k 4，2k 5 4 (kZ). (2)在锐角ABC 中，f(A) 2， 2sin A 4 2，即 sin A 4 1. 由 0A 2，得 A 4. a2，b 6， 由正弦定理得 sin Bbsin A a 3 2 . 由 0
17、B 2，得 B 3. 故 CAB 4 3 5 12. 则 c2a2b22abcos C4622 6cos 5 12 104 6 6 2 4 42 3，故 c 31. 考点三正、余弦定理在平面几何中的应用 【例 3】(2020河南、 河北重点中学联考)如图， 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c4， b2，2ccos Cb，D，E 分别为线段 BC 上的点，且 BDCD，BAECAE. (1)求线段 AD 的长； (2)求ADE 的面积. 解(1)因为 c4，b2，2ccos Cb， 所以 cos C b 2c 1 4. 由余弦定理得 cos Ca 2b2c2 2a
18、b a 2416 4a 1 4， 所以 a4，即 BC4. 在ACD 中，CD2，AC2， 所以 AD2AC2CD22ACCDcosACD6， 所以 AD 6. (2)因为 AE 是BAC 的平分线， 所以S ABE SACE 1 2ABAEsin BAE 1 2ACAEsin CAE AB AC2， 又S ABE SACE BE EC，所以 BE EC2， 所以 CE1 3BC 4 3，DEDCEC2 4 3 2 3. 又因为 cos C1 4，所以 sin C 1cos 2C 15 4 . 又 SADESACDSACE 1 2ACCDsin C 1 2ACECsin C 1 2AC(CDE
19、C)sin C 1 2DEACsin C 15 6 .即ADE 的面积为 15 6 . 规律方法平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、 余弦定理求解. (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 提醒做题过程中， 要用到平面几何中的一些知识点， 如相似三角形的边角关系、 平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解 决问题. 【训练 3】 (2019广州一模)ABC 的内角 A，B，C 的对边 分别为 a，b，c，已知 ccos A 3csin Aba. (1)求角 C 的大小； (
20、2)若 D 在边 BC 上， 且 BD3DC， cos B11 14， S ABC10 3， 求 AD. 解(1)由已知及正弦定理，得 sin Ccos A 3sin Csin Asin Bsin A. 又 ABC，所以 sin Bsin(AC)， 所以 sin Ccos A 3sin Csin Asin(AC)sin A， 则 sin Ccos A 3sin Csin Asin Acos Ccos Asin Csin A， 即3sin Csin Asin Acos Csin A. 因为 sin A0，所以3sin Ccos C1，即 sin C 6 1 2. 因为 0C0). 因为 SABC
21、10 3， 所以 SABC1 2absin C 1 28t5t 3 2 10 3， 解得 t1，即 a8，b5，c7. 因为 BD3DC，所以 BD6，DC2. 在ADC 中，由余弦定理，得 AD2CD2CA22CDCAcos C19， 所以 AD 19. A 级基础巩固 一、选择题 1.在相距 2 km 的 A，B 两点处测量目标点 C，若CAB75，CBA60，则 A，C 两点之间的距离为() A. 6 kmB. 2 kmC. 3 kmD.2 km 解析如图，在ABC 中，由已知可得ACB45， AC sin 60 2 sin 45，AC2 2 3 2 6(km). 答案A 2.在ABC
22、中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若tan Atan B tan Atan B cb c ，则 这个三角形必含有() A.90的内角B.60的内角 C.45的内角D.30的内角 解 析由 tan Atan B tan Atan B cb c 得 2tan B tan Atan B b c 2sin Bcos A sin Acos Bsin Bcos A sin B sin Ccos A 1 2A60. 答案B 3.一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏
23、东 70， 在 B 处观察灯塔， 其方向是北偏东 65， 那么 B， C 两点间的距离是() A.102海里B.103海里 C.203海里D.202海里 解析如图所示，易知， 在 ABC 中，AB20，CAB30，ACB45， 在ABC 中， 根据正弦定理得 BC sin 30 AB sin 45， 解得 BC10 2(海里). 答案A 4.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知(abc)(abc) 3ab，且 c4，则ABC 面积的最大值为() A.8 3B.4 3C.2 3D. 3 解析由已知等式得 a2b2c2ab，则 cos Ca 2b2c2 2ab ab 2
24、ab 1 2.由 C(0， )，所以 sin C 3 2 .又 16c2a2b2ab2ababab，则 ab16，当且仅当 ab4 时等号成立， 所以 SABC1 2absin C 1 216 3 2 4 3.故 Smax4 3.故选 B. 答案B 5.如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，此 时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于() A.240( 31)mB.180( 21)m C.120( 31)mD.30( 31)m 解析如图，ACD30，ABD75，AD60 m， 在 RtACD 中，CD AD tanACD 60 tan 3060
25、3(m)， 在 RtABD 中，BD AD tanABD 60 tan 75 60 2 3 60(2 3)(m)， BCCDBD60 360(2 3)120( 31)(m). 答案C 二、填空题 6.(多填题)如图，在ABC 中，B45，D 是 BC 边上一点， AD5， AC7， DC3， 则 sin C_， AB_. 解析在ACD 中，由余弦定理可得 cos C49925 273 11 14， 则 sin C5 3 14 . 在ABC 中，由正弦定理可得 AB sin C AC sin B， 则 ABACsin C sin B 75 3 14 2 2 5 6 2 . 答案 5 3 14 5
26、 6 2 7.已知ABC 中，AC4，BC2 7，BAC60，ADBC 于点 D，则BD CD的值 为_. 解析在ABC 中，由余弦定理可得 BC2AC2AB22ACABcos BAC，即 2816AB24AB， 解得 AB6(AB2， 舍去)， 则 cos ABC283616 22 76 2 7 7 ，BDABcos ABC62 7 7 12 7 7 ，CDBCBD2 712 7 7 2 7 7 ， 所以BD CD6. 答案6 8.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，如果ABC 的面积等于 8，a5，tan B4 3，那么 abc sin Asin Bsin C_.
27、解析tan B4 3，sin B 4 5，cos B 3 5， 又 SABC1 2acsin B2c8， c4，b a2c22accos B 65， abc sin Asin Bsin C b sin B 5 65 4 . 答案 5 65 4 三、解答题 9.(2020长沙检测)已知向量 m(cos x，1)，n sin x， 3 2 . (1)当 mn 时，求sin x 3cos x 3sin xcos x的值； (2)已知钝角三角形 ABC 中，A 为钝角，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 c2asin(AB).若函数 f(x)m2n2，求 f(A)的值. 解(1)当 mn 时
28、，有 3 2 cos xsin x0，即 tan x 3 2 . 所以sin x 3cos x 3sin xcos x tan x 3 3tan x1 3 2 3 3 3 2 1 3 3. (2)因为在ABC 中，c2asin(AB)， 所以由正弦定理及诱导公式，得 sin C2sin Asin C. 又 C(0，)，所以 sin C0，所以 sin A1 2. 又 A 为钝角，所以 A5 6 . 因为函数 f(x)m2n2cos2x1sin2x3 4cos 2x 1 4， 所以 f(A)cos 5 3 1 4 1 2 1 4 3 4. 10.如图，在锐角ABC 中，sin BAC24 25，
29、sin ABC 4 5， BC6，点 D 在边 BC 上，且 BD2DC，点 E 在边 AC 上， 且 BEAC，BE 交 AD 于点 F. (1)求 AC 的长； (2)求 cos DAC 及 AF 的长. 解(1)在锐角ABC 中，sin BAC24 25， sin ABC4 5，BC6， 由正弦定理可得 AC sin ABC BC sin BAC， 所以 ACBCsin ABC sin BAC 64 5 24 25 5. (2)由 sin BAC24 25，sin ABC 4 5， 可得 cos BAC 7 25，cos ABC 3 5， 所以 cos Ccos(BACABC) cos
30、BACcos ABCsin BACsin ABC 7 25 3 5 24 25 4 5 3 5. 因为 BEAC，AC5， 所以 CEBCcos C63 5 18 5 ，AEACCE7 5. 在ACD 中，AC5，CD1 3BC2，cos C 3 5， 由余弦定理可得 AD AC2DC22ACDCcos C 25412 17， 所以 cosDACAD 2AC2CD2 2ADAC 17254 10 17 19 17 85 . 由 BEAC，得 AFcos DACAE， 所以 AF 7 5 19 17 85 7 17 19 . B 级能力提升 11.在ABC 中，a2b2c22 3absin C，
31、则ABC 的形状是() A.不等腰的直角三角形 B.等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.正三角形 解析易知 a2b2c2a2b2a2b22abcos C2 3absin C，即 a2b2 2absin C 6 ， 由 于 a2 b22ab ， 当 且 仅 当 a b 时 取 等 号 ， 所 以 2absin C 6 2ab，sin C 6 1，故只能 ab 且 C 6 2，所以ABC 为正 三角形. 答案D 12.(2020安徽 A10 联盟联考)如图，在ABC 中，BDsin BCDsin C，BD2DC2 2，AD2，则ABC 的面 积为() A.3 3 2 B.3 7 2 C.3 3D.
32、3 7 解析过点 D 分别作 AB 和 AC 的垂线，垂足分别为 E，F. 由 BDsin BCDsin C 得 DEDF， 则 AD 为BAC 的平分线，AB AC BD DC2， 又 cos ADBcos ADC0， 即84AB 2 222 2 24AC2 22 2 ，解得 AC2，则 AB4. 在ABC 中，cos BAC4 222（3 2）2 242 1 8， sin BAC3 7 8 ， SABC1 2ABACsin BAC 3 7 2 . 答案B 13.某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作， 最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的 数据如图所示， 则该图所示的小区
33、的面积是_km2. 解析如图，连接 AC，由余弦定理可知 AC AB2BC22ABBCcos B 3， 故ACB90，CAB30，DACDCA15， ADC150， 由 AC sinADC AD sinDCA， 得 ADACsinDCA sinADC 3 2 6 2 ， 故 S四边形ABCDSABCSADC1 21 3 1 2 3 2 6 2 2 1 2 6 3 4 (km2). 答案 6 3 4 14.如图，在四边形 ABCD 中，DAB 3，ADAB23， BD 7，ABBC. (1)求 sinABD 的值； (2)若BCD2 3 ，求 CD 的长. 解(1)ADAB23， 可设 AD2k
34、，AB3k(k0). 又 BD 7，DAB 3，由余弦定理， 得( 7)2(3k)2(2k)223k2kcos 3， 解得 k1，AD2，AB3， sinABDADsinDAB BD 2 3 2 7 21 7 . (2)ABBC，cosDBCsinABD 21 7 ， sinDBC2 7 7 ， 在DCB 中，由正弦定理，得 CDBDsin DBC sin BCD 72 7 7 3 2 4 3 3 . C 级创新猜想 15.(新背景题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数书九章卷五“田域 类”里记载了这样一个题目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜 一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一块三角 形的沙田，三边长分别为 13 里，14 里，15 里，假设 1 里按 500 米计算，则该沙 田的面积为_平方千米. 解析设在ABC 中， a13 里， b14 里， c15 里， 所以 cos C13 2142152 21314 13 2（1415）（1415） 21314 140 21314 5 13，所以 sin C 12 13，故ABC 的面积为1 21314 12 13500 2 1 1 000221(平方千米). 答案21
