1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 补上一课 ,立体几何中的翻折、轨迹及最值(范围)问题) 1 翻折问题是立体几何的一类典型问题， 是考查实践能力与创新能力的好素材 解 答翻折问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪 些发生了变化，哪些没有发生变化解题时我们要依据这些变化的与未变化的量 来分析和解决问题而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、过程，一般地，涉 及多面体表面的距离问题不妨将它展开成平面图形试一试 2在立体几何中，某些点、线
2、、面按照一定的规则运动，构成各式各样的轨迹， 探求空间轨迹与探求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化对于 较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意 情形加以分析判定，也可转化为平面问题对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹 的纯粹性与完备性 3立体几何中的体积最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积、体积 的最值其一般方法有： (1)几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的 值；(2)代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数， 确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等求出最 值 题
3、型一立体几何中的翻折问题 【例 1】 (2019全国卷)图是由矩形 ADEB，RtABC 和菱形 BFGC 组成的一 个平面图形，其中 AB1，BEBF2，FBC60.将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图. (1)证明：图中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC平面 BCGE； (2)求图中的二面角 BCGA 的大小 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)证明由已知得 ADBE，CGBE，所以 ADCG， 所以 A
4、D，CG 确定一个平面，从而 A，C，G，D 四点共面 由已知得 ABBE，ABBC，且 BEBCB，BE，BC平面 BCGE， 所以 AB平面 BCGE. 又因为 AB平面 ABC，所以平面 ABC平面 BCGE. (2)解作 EHBC，垂足为 H. 因为 EH平面 BCGE，平面 BCGE平面 ABC，平面 BCGE平面 ABCBC， 所以 EH平面 ABC. 由已知，菱形 BCGE 的边长为 2，EBC60，可求得 BH1，EH 3. 以 H 为坐标原点， HC 的方向为 x 轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系 H xyz，则 A(1，1，0)，C(1，0，0)，G(2，0， 3
5、)，CG (1，0， 3)，AC (2， 1，0) 设平面 ACGD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 CG n0， AC n0，即 x 3z0， 2xy0. 所以可取 n(3，6， 3) 又平面 BCGE 的法向量可取 m(0，1，0)， 所以 cosn，m nm |n|m| 3 2 . 因此二面角 BCGA 的大小为 30. 【训练 1】 (2021浙江名师预测卷四)在梯形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AD2AB2BC2CD.将BCD 沿 BD 翻折至BPD，且满足平面 ABP平 面 BPD. (1)求证：二面角 PBDA 是直二面角； (2)(一题多解)求直线 P
6、D 与平面 PAO 所成角的正弦值的大小 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)证明由已知条件易得BAD60，BDA30，ABBD. 在BPD 中，过点 D 作 DHBP，交 BP 的延长线于点 H. 平面 ABP平面 BPD，平面 ABP平面 BPDBP， DH平面 ABP， AB平面 ABP，DHAB. 又BDDHD，AB平面 BPD， AB平面 ABD，平面 ABD平面 BPD. 即二面角 PBDA 是直二面角 (2)解法一过点 P 作 PGBD
7、，交 BD 于点 G，则 G 是 BD 的中点 由(1)可知平面 PBD平面 ABD， 又平面 PBD平面 ABDBD， PG平面 ABD. 设 OB1，则 OP1，OA2，ABBP 3， AB平面 BPD，ABBP， AP AB2BP2 6， 由余弦定理得 cosAOPOA 2OP2AP2 2OAOP 1 4， 则 sinAOP 15 4 . 设点 D 到AOP 的距离为 h， VPAODVDAOP， 1 3PGS AOD1 3hS AOP， PG 3 2 ，SAOD1 222sin 2 3 3， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料
8、分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 SAOP1 212 15 4 15 4 ， h2 15 5 ， PD 3，直线 PD 与平面 PAO 所成角的正弦值 sin h PD 2 5 5 . 法二分别取 BD，AD 的中点 E，F，连接 EP，EF， 则 EFAB. 由(1)可知 AB平面 BPD， EF平面 BPD，EFBD，EFEP. PBPD，PEBD， 以点 E 为坐标原点， EF ， ED ，EP 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角 坐标系 设 OB1，可得 P 0，0， 3 2 ，D 0，3 2，0， A 3，3 2，0，
9、O 0，1 2，0. PD 0，3 2， 3 2 ，PA 3，3 2， 3 2 ， AO ( 3，1，0) 设平面 PAO 的法向量为 n(x，y，z)， 则 PA n0， AO n0， 即 3x3 2y 3 2 z0， 3xy0， 令 x1，则 n(1，3，1)， 直线 PD 与平面 PAO 所成角的正弦值为 sin |cosn， PD | |nPD | |n|PD | 2 5 5 . 题型二立体几何中的轨迹问题 【例 2】 (1)已知在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1与平面 A1B1C1D1垂直， 且 ADAB， E 为 CC1的中点， P 在对角面 BB1D1D 所在平面内
10、运动， 若 EP 与 AC 成 30角，则点 P 的轨迹为() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A圆B抛物线 C双曲线D椭圆 (2)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P 是平面 AC 内的动点， 若点 P 到直线 A1D1的距离等于点 P 到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的曲线是 () A抛物线B双曲线 C椭圆D直线 答案(1)A(2)B 解析(1)因为在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1与平面 A1B1C1
11、D1垂直，且 ADAB， 所以该平面六面体 ABCDA1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱， 所 以对角面BB1D1D底面ABCD， AC对角面BB1D1D.取AA1的中点F， 则EFAC， 因为 EP 与 AC 成 30角，所以 EP 与 EF 成 30角设 EF 与对角面 BB1D1D 的交 点为 O，则 EO对角面 BB1D1D，所以点 P 的轨迹是以 EO 为轴的一个圆锥的底 面，故选 A. (2)如图，以 A 为原点，AB 为 x 轴、AD 为 y 轴，建立平面直角坐标系设 P(x， y)，作 PEAD 于 E、PFA1D1于 F，连接 EF，易知 |PF|2|PE|2|EF|2
12、x21， 又作 PNCD 于 N，则|PN|y1|.依题意|PF|PN|，即 x21|y1|， 化简得 x2y22y0， 故动点 P 的轨迹为双曲线，选 B. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 【训练 2】 (1)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 M，N 分别是线段 CD，AB 上的 动点，点 P 是A1C1D 内的动点(不包括边界)，记直线 D1P 与 MN 所成角为，若 的最小值为 3，则点 P 的轨迹是( ) A圆的一部分B椭圆的一部分 C
13、抛物线的一部分D双曲线的一部分 (2)如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面内运动，使得ABP 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是() A圆B椭圆 C一条直线D两条平行直线 答案(1)B(2)B 解析(1)延长 D1P 交底面 ABCD 的内部于点 Q， 连接 QD， 则D1QD 为直线 D1Q 与底面 ABCD 所成的角，也就是直线 D1P 与 MN 所成角的最小值，故D1QD 3，从而DD 1Q 6，所以 D 1Q 的轨迹是以 D1D 为轴，顶点为 D1，母线 D1Q 与 轴 D1D 的夹角为 6的圆锥面的一部分， 则点 P 的轨迹就是该部分圆锥面与A 1C1D 面(不包
14、括边界)的交线，而A1C1D 面所在平面与轴 D1D 斜交，故点 P 的轨迹是 椭圆的一部分 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)由于线段 AB 是定长线段，而ABP 的面积为定值，所以动点 P 到线段 AB 的 距离也是定值由此可知空间点 P 在以 AB 为轴的圆柱侧面上又 P 在平面内运 动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段)得到的切 痕是椭圆P 的轨迹就是圆柱侧面与平面的交线是椭圆 题型三立体几何中的长度、面积、体
15、积的最值(范围)问题 【例 3】 (1)如图，正三棱锥 SABC 的底面边长为 2a，E、F、G、H 分别为 SA， SB，CB，CA 的中点，则四边形 EFGH 的面积的取值范围是() A(0，)B. 3 3 a2， C. 3 6 a2， D. 1 2a 2， (2)(2021“超级全能生”联考)在长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 是边长 为 4 的正方形，侧棱 AA1t(t4)，点 E 是 BC 的中点，点 P 是侧面 ABB1A1内的 动点(包括四条边上的点)，且满足 tan APD4tan EPB，则四棱锥 PABED 的体积的最大值是() A.4 3 3 B16 3
16、C.16 3 3 D.64 3 9 答案(1)B(2)C 解析(1)因为 E、F、G、H 分别为 SA，SB，CB，CA 的中点，EF 綉 1 2AB，HG 綉 1 2AB，EF 綉 HG，同理，EH 綉 FG，所以 EFGH 为平行四边形，又SABC 为正三棱锥， SCAB， EFAB， FGSC，所以 EFFG， 从而四边形 EFGH 为矩形，其面积 SGHGF1 2aSC，当正三棱锥的高0 时，SC正三角形 ABC 的外接圆的半径 2 3 3 a，所以四边形 EFGH 的面积 3 3 a2，选 B. (2)作 PFAB，垂足为点 F，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，DA平面 ABB
17、1A1， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 CB平面 ABB1A1，在 RtPAD 和 RtPBC 中，所以 tan APDAD AP，tan EPB BE PB.因为 tan APD4tan EPB，BE 1 2BC 1 2AD，所以 PB2AP.因为平面 ABB1A1平面 ABCD，平面 ABB1A1平面 ABCDAB，PFAB，所以 PF平面 ABCD.设 PFh，AFx，则 BF4x，x0，4，由 PB2AP，得 h2(4x)2 4(x2h2)，
18、即 h2x28 3x 16 3 .因为函数 yx28 3x 16 3 在0，4上单调递减， 所以当 x0 时，(h2)max16 3 ，即 hmax4 3 3 ，所以四棱锥 PABED 的体积的最大 值(VPABED)max1 3 1 2(24)4 4 3 3 16 3 3 ，故选 C. 【训练 3】 (1)在棱长为 6 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，M 是 BC 中点，点 P 是 平面 DCC1D1所在的平面内的动点，且满足APDMPC，则三棱锥 PBCD 体积的最大值是() A36B12 3C24D18 3 (2)(2021镇海中学模拟)已知棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C
19、1D1，球 O 与正方体 的各条棱相切，P 为球 O 上一点，Q 是AB1C 的外接圆上的一点，则线段 PQ 长 的取值范围是_ 答案(1)B(2) 3 2 2 ， 3 2 2 解析(1)因为 AD平面 D1DCC1，则 ADDP，同理 BC平面 D1DCC1，则 BC CP，APDMPC，则PADPMC，AD2MC，则 PD2PC，下面 研究点 P 在面 ABCD 的轨迹(立体几何平面化)，在平面直角坐标系内设 D(0，0)， C(6，0)，D1(0，6)，C1(6，6)，设 P(x，y)，因为 PD2PC，所以x2y2 2 （x6）2y2，化简得(x8)2y216，该圆与 CC1的交点纵坐
20、标最大，交点 为(6，2 3)，三棱锥 PBCD 的底面 BCD 的面积为 18，要使三棱锥 PBCD 体 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 积最大，只需高最大，当 P 在 CC1上且 CP23时棱锥的高最大，V1 3182 3 12 3. (2)因为球 O 与正方体的各条棱相切，所以球心 O 为正方体的中心，切点为各条 棱的中点，则易得|OP| 2 2 .AB1C 为边长为 2的等边三角形，设其外接圆的圆 心为 M， 则易得|MB1| 6 3 .在正方
21、体 ABCDA1B1C1D1中， 易得 BD1平面 AB1C， 则 OMMB1.又因为|OB| 3 2 ，|MB| 3 3 ，所以|OM| 3 6 ，则|OQ|OB1| |OM|2|MB1|2 3 2 ，所以|PQ|max|OQ|OP| 3 2 2 ，|PQ|min|OQ|OP| 3 2 2 ，即线段 PQ 的取值范围为 3 2 2 ， 3 2 2 一、选择题 1已知线段 AB 垂直于定圆所在的平面，B，C 是圆上的两点，H 是点 B 在 AC 上的射影，当 C 运动时，点 H 运动的轨迹() A是圆 B是椭圆 C是抛物线 D不是平面图形 答案A 解析设在定圆内过点 B 的直径与圆的另一个交点
22、为点 D， 过点 B 作 AD 的垂线， 垂足为点 E，连接 EH，CD.因为 BD 为定圆的直径，所以 CDBC，又因为 AB 垂直于定圆所在的平面， 所以 CDAB， 又因为 ABBCB， 所以 CD平面 ABC， 所以CDBH， 又因为BHAC， ACCDC， 所以BH平面ACD， 所以BHEH， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以动点 H 在以 BE 为直径的圆上，即点 H 的运动轨迹为圆，故选 A. 2设 P 是正方体 ABCDA1B1C1
23、D1的对角面 BDD1B1(含边界)内的点，若点 P 到 平面 ABC、平面 ABA1、平面 ADA1的距离相等，则符合条件的点 P() A仅有一个B有有限多个 C有无限多个D不存在 答案A 解析与平面 ABC，ABA1距离相等的点位于平面 ABC1D1上；与平面 ABC，ADA1 距离相等的点位于平面 AB1C1D 上；与平面 ABA1，ADA1距离相等的点位于平面 ACC1A1上；据此可知，满足题意的点位于上述平面 ABC1D1，平面 AB1C1D，平面 ACC1A1的公共点处，结合题意可知，满足题意的点仅有一个 3(2021温州中学模拟)如图所示，用一边长为 2的正方形硬纸，按各边中点垂
24、 直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4 3 的鸡蛋(视为球体)放入其中， 蛋巢形状保持不变，则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为() A. 51 2 B. 51 2 C. 31 2 D. 31 2 答案D 解析因为蛋巢的底面是边长为 1 的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面 圆的直径为 1.又因为鸡蛋(球体)的体积为4 3 ， 所以球的半径为 1， 所以球心到截面 圆的距离 d11 4 3 2 ，则截面圆到球体最低点的距离为 1 3 2 ，而蛋巢的高 度为1 2，故鸡蛋(球体)到蛋巢底面的最短距离为 1 2 1 3 2 31 2 ，故选 D. 4(2021温州适考)如图，在ABC
25、中，点 M 是边 BC 的中点，将ABM 沿着 AM 翻折成ABM，且点 B不在平面 AMC 内，点 P 是线段 BC 上一点若二面角 P AMB与二面角 PAMC 的平面角相等，则直线 AP 经过ABC 的() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A重心B垂心C内心D外心 答案A 解析因为二面角 PAMB与二面角 PAMC 的平面角相等， 所以点 P 到两 个平面的距离相等， 所以 VPABMVPACM， 即 VAPBMVAPCM.因为两三棱锥的高 相等
26、，故 SPBMSPCM，故 BPCP，故点 P 为 CB的中点，所以直线 AP 经过 ABC 的重心，故选 A. 5 (2021浙江名师预测卷一)如图， 在四棱锥 PABCD 中， 底面 ABCD 为正方形， 侧面 PAD 为正三角形，且侧面 PAD底面 ABCD，已知在侧面 PAD 内存在点 Q， 满足 PQQD，则当 AQ 最小时，二面角 ACDQ 的余弦值是() A. 2 3 4 B. 2 3 4 C. 2 6 2 D. 2 6 4 答案D 解析取PD的中点M， 因为四边形ABCD为正方形， 所以CDAD， 又平面PAD 平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCDAD，CD平面 ABC
27、D，所以 CD平面 PAD，所以 CDQD，则二面角 ACDQ 的平面角是ADQ，又因为点 Q 的轨 迹是以 M 为圆心的圆，如图，当|AQ|最小时，ADQADPQDP60 4515，即二面角 ACDQ 的余弦值为 cos 15cos(6045) 2 6 4 ，故 选 D. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 6(2021浙江新高考仿真卷二)如图所示，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P，Q 分别为 BD1，BB1上的动点，则C1PQ
28、周长的最小值为() A.2 15 3 B. 42 2 C.48 3 2 D.2 13 3 答案B 解析连接 B1D1，BC1，由图易得C1PQ 的三边分别在三棱锥 BB1C1D1的三个 侧面上， 将三棱锥 BB1C1D1的侧面展开成平面图形， 如图， 可得四边形 BC1D1C1 为直角梯形，当 C1，P，Q，C1四点共线时，C1PQ 的周长最小，最小值为 C1D21D1C21 42 2，即C1PQ 的周长的最小值为 42 2，故选 B. 7.(2021上虞区期末调测)在棱长均为 23的正四面体 ABCD 中， M 为 AC 的中点， E 为 AB 的中点，P 是 DM 上的动点，Q 是平面 E
29、CD 上的动点，则 APPQ 的最 小值是() A. 3 11 2 B. 3 2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C.5 3 4 D2 3 答案A 解析如图，作 MGCE 于点 G，连接 DG.由已知得平面 CDE平面 ABC，又 平面 CDE平面 ABCCE，则 MG平面 CDE，故 DG 为 DM 在平面 CDE 上的 射影将半平面 ADM 沿 DM 翻折至与半平面 DMG 所成二面角为 180，记翻折 后的点 A 即 A到 DG 的距离为 hA，
30、则 hA为ADG 的边 DG 上的高，且 APPQ APPQhA.因为 MG1 2AE 3 2 ，DMDC2 AC 2 2 3，则 sin MDG MG DM 3 6 ， 故 cos MDG 33 6 .又ADMADM 6， 所以 sin ADGsin MDG 6 33 6 1 2 3 6 3 2 3 33 12 ， 所以 APPQ 的 最小值 hAADsin ADG 11 3 2 .故选 A. 二、填空题 8在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，总有 APBD1，则动点 P 的轨迹为_ 答案线段 B1C 解析易证 BD1平面 ACB1， 所以满足
31、BD1AP 的所有点 P 都在一个平面 ACB1 上而已知条件中的点 P 是在侧面 BCC1B1及其边界上运动，因此，符合条件的 点 P 在平面 ACB1与平面 BCC1B1的交线上，故所求的轨迹为线段 B1C. 9 已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 3， 长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1上运动，另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动，则 MN 的中点 P 的轨迹与正方 体的面所围成的几何体的体积为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你
32、的加入与分享 答案 6 解析连接 DP， 因为 MN2， 所以 PD1， 因此点 P 的轨迹是一个以 D 为球心， 1 为半径的球面在正方体内的部分，所以点 P 的轨迹与正方体的表面所围成的几 何体的体积为球的体积的1 8，即 V 1 8 4 31 3 6. 10已知在矩形 ABCD 中，AB3，BCa，若 PA平面 AC，在 BC 边上取点 E， 使 PEDE，若满足条件的 E 点有两个时，则 a 的取值范围是_ 答案(6，) 解析连接 AE，由三垂线逆定理可知 DEAE，要使满足条件的 E 点有两个则须 使以 AD 为直径的圆与 BC 有两个交点，所以半径长a 23，a6. 11如图，已知
33、ACB90，DA平面 ABC，AEDB 交 DB 于 E，AFDC 交 DC 于 F，且 ADAB2，则三棱锥 DAEF 体积的最大值为_ 答案 2 6 解析因为 DA平面 ABC，所以 DAAB，ADBC， AEDB，又 ADAB2， DE 2，又因为 BCAC，ACADA， 所以 BC平面 ACD， 所以平面 BCD平面 ACD，AFDC，平面 BCD平面 ACDCD， 所以 AF平面 BCD， 所以 AFEF，BDEF， 所以 BD平面 AEF，由 AF2EF2AE222AFEF 可得 AFEF1， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享
34、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以 SAEF1 2，所以三棱锥 DAEF 体积的最大值为 1 3 2 1 2 2 6 . 12如图，在长方形 ABCD 中，AB2，BC1，E 为 DC 的中点，F 为线段 EC(端 点除外)上一动点现将AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD平面 ABC.在平面 ABD 内过点 D 作 DKAB，K 为垂足设 AKt，则 t 的取值范围是_ 答案 1 2，1 解析如图， 在平面ADF内过D作DHAF， 垂足为H， 连接HK.过F点作FPBC 交 AB 于点 P . 设FAB， 则 cos 2 2 ，2 5
35、 5.设 DFx，则 1x2， 平面 ABD平面 ABC，平面 ABD平面 ABCAB，DKAB，DK平面 ABD， DK平面 ABC，又 AF平面 ABC，DKAF. 又DHAF，DKDHD，DK，DH平面 DKH， AF平面 DKH，AFHK，即 AHHK. 在 RtADF 中，AF 1x2，DH x2 1x2， ADF 和APF 都是直角三角形，PFAD， RtADFRtFPA，APDFx. AHDADF， cos 1 1x2 t x 1x2. x1 t . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ
36、 群 483122854 期待你的加入与分享 1x2，11 t 2，1 2t1. 三、解答题 13(2018全国卷)如图，四边形 ABCD 为正方形， E，F 分别为 AD，BC 的中 点，以 DF 为折痕把DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PFBF. (1)证明：平面 PEF平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 (1)证明由已知可得，BFPF，BFEF，又 PFEFF，PF，EF平面 PEF， 所以 BF平面 PEF. 又 BF平面 ABFD，所以平面 PEF平面 ABFD. (2)解作 PHEF，垂足为 H.由(1)得，PH平面 ABFD. 以
37、H 为坐标原点，分别以FB ， HF ，HP 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|BF | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz. 由(1)可得，DEPE.又 DP2，DE1，所以 PE 3.又 PF1，EF2，故 EF2 PE2PF2，所以 PEPF. 可得 PH 3 2 ，EH3 2. 则 H(0， 0， 0)， P 0，0， 3 2 ， D 1，3 2，0， DP 1，3 2， 3 2 ， HP 0，0， 3 2 为平面 ABFD 的一个法向量设 DP 与平面 ABFD 所成角为， 则 sin | HP DP |HP |DP | 3 4 3 3 4 . 所以 DP 与
38、平面 ABFD 所成角的正弦值为 3 4 . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 14(2021杭州二中仿真模拟)如图，平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称，A 60，C90，CD2.把ABD 沿 BD 折起 (1)若二面角 ABDC 的余弦值为 3 3 ，求证：AC平面 BCD； (2)若 AB 与平面 ACD 所成的线面角为 30时，求 AC 的长 解(1)取 BD 的中点 E，连接 AE，CE. 因为 ABAD，CBCD， 所以 AEBD，CE
39、BD， 又 AECEE， 所以 BD平面 ACE，所以 BDAC， 所以AEC 是二面角 ABDC 的平面角 在AEC 中，AC2AE2CE22AECEcos AEC4，则 AC2CE2AE2， 所以 ACCE. 因为 CEBDE，CE，BD平面 BCD， 所以 AC平面 BCD. (2)由(1)得以点 C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则 C(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0) 设 A(m，m，n)， 则BA (m2，m，n)，CA(m，m，n)，CD (0，2，0) 设平面 ACD 的法向量 n(x，y，z)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 则 nCA 0， nCD 0， 即 xmymzn0， 2y0， 取 xn， y0， zm， 所以 n(n，0，m)， 因为 BA2 2，所以(m2)2m2n28， 则|cosBA ，n|n（m2）mn| 2 2 m2n2 1 2， 解得 m2n2，解得 m2 或 m2 3， 所以 AC23或 AC2 3 3.
