1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 2 节空间几何体的表面积与体积 知 识 梳 理 1多面体的表(侧)面积 多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积 是侧面面积与底面面积之和 2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 侧面 展开 图 侧面 积公 式 S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l 3.柱、锥、台和球的表面积和体积 表面积体积 柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh 锥体(棱锥和圆锥)S
2、表面积S侧S底V1 3Sh 台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V1 3(S 上S下 S上S下)h 球S4R2V4 3R 3 1表面积应为侧面积和底面积的和，要注意组合体中哪些部分暴露或遮挡 2求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法：直接根据相关的体积公式计算 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更 容易，或是求出一些体积比等 (3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的
3、分割或补形，转化为可 计算体积的几何体 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积() (2)球的体积之比等于半径比的平方() (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差() (4)已知球 O 的半径为 R，其内接正方体的边长为 a，则 R 3 2 a.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确 (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确 2已知圆锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径 为() A1 cmB2 cmC3 cmD.3 2 cm 答案B 解析S表r2rlr2r2r3
4、r212， r24，r2(cm) 3(2020全国卷)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是() A64 2 B44 2 C62 3 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 D42 3 答案C 解析由三视图知该几何体为如图所示的三棱锥 PABC，其中 PA平面 ABC， ABAC，ABACAP2，故其表面积为 3 1 2221 22 22 2 3 2 6 2 3.故选 C. 4 (2021金丽衢十二校二联)已知某几何体的三视图如图所示， 则这个几何体的体
5、 积为() A2B.2 3 C1D4 答案A 解析将三视图还原可得该物体是一个以俯视图为底面的直三棱柱，如图所示， 所以这个几何体的体积 V1 21222，故选 A. 5 (2019江苏卷)如图， 长方体 ABCDA1B1C1D1的体积是 120， E 为 CC1的中点， 则三棱锥 EBCD 的体积是_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案10 解析设长方体中 BCa，CDb，CC1c，则 abc120， VEBCD1 3 1 2ab 1 2c 1 1
6、2abc10. 6(2021杭州质检)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是 _cm3；表面积是_cm2. 答案2882426412 解析由三视图得该几何体为一个长、宽、高分别为 6，6，8 的长方体挖去两个 底面半径为 3，高为 4 的圆锥体后剩余的部分，则其体积为 668 2 1 3 43228824，表面积为 2(666868)232 21 252326412. 考点一空间几何体的表面积 【例 1】 (1)(2021温州适应性测试)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该 几何体的表面积是() A8 cm2B12 cm2 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ
7、 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 C(4 52)cm2D(4 54)cm2 (2)(2020“超级全能生”联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面 积为() A5B43 2 C43D45 答案(1)D(2)C 解析(1)由三视图得该几何体是底面为边长为 2 的正方形，高为 2 的正四棱锥， 则其侧面的高为 1222 5，所以该几何体的表面积为 2241 22 54 4 5，故选 D. (2)由三视图可知，该几何体为底面是半径为 1 的半圆，高为 2 的半个圆柱体，则 其表面积 S21
8、21 2122234，故选 C. 感悟升华空间几何体表面积的求法 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元 素之间的位置关系及数量 (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 【训练 1】 (1)(2020北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该 三棱柱的表面积为() A6 3B62 3C12 3D122 3 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你
9、的加入与分享 (2)(2020全国卷)已知ABC 是面积为9 3 4 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的 球面上若球 O 的表面积为 16，则 O 到平面 ABC 的距离为() A. 3B.3 2 C1D. 3 2 答案(1)D(2)C 解析(1)由三视图知该几何体为底面是边长为 2 的正三角形， 高为 2 的直三棱柱， S底2 3 4 222 3. S侧32212，则表面积为 2 312.故选 D. (2)如图所示，过球心 O 作 OO1平面 ABC，则 O1为等边三角形 ABC 的中心 设ABC 的边长为 a，则 3 4 a29 3 4 ，解得 a3(负值舍去)， O1A2 3 3 2
10、3 3. 设球 O 的半径为 r，则由 4r216，得 r2，即 OA2. 在 RtOO1A 中，OO1 OA2O1A21， 即 O 到平面 ABC 的距离为 1. 考点二空间几何体的体积 【例 2】 (1)(一题多解)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的 体积为() A90B63C42D36 (2)(2019北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群
11、 483122854 期待你的加入与分享 示如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_ (3)如图， 在多面体ABCDEF中， 已知四边形ABCD是边长为1的正方形， 且ADE， BCF 均为正三角形，EFAB，EF2，则该多面体的体积为_ 答案(1)B(2)40(3) 2 3 解析(1)法一(割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上 面虚线部分所得，如图所示 将圆柱补全，并将圆柱体从点 A 处水平分成上下两部分由图可知，该几何体的 体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的1 2，所以该几何体的体积 V 3243261 263. 法二(估值法)由题意知，1 2
12、V 圆柱V几何体V圆柱，又 V圆柱321090， 45V几何体90.观察选项可知只有 63符合 (2)如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4，去掉四棱柱 MQD1A1 NPC1B1(其底面是一个上底为 2，下底为 4，高为 2 的直角梯形)所得的几何体为题 中三视图对应的几何体，故所求几何体的体积为 431 2(24)2440. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)如图，分别过点 A，B 作 EF 的垂线，垂足分别为 G，H，连接 D
13、G，CH，易求 得 EGHF1 2， AGGDBHHC 3 2 ， 则BHC 中 BC 边的高 h 2 2 .SAGD SBHC1 2 2 2 1 2 4 ， V多面体VEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC1 3 2 4 1 22 2 4 1 2 3 . 感悟升华空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公 式进行求解 (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补 形法等方法进行求解 (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后 根据条件求解
14、【训练 2】 (1)(2019浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂 势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式 V柱体 Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高若某柱体的三视图如图所示(单位： cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A158B162C182D324 (2)(2020浙江卷)某几何体的三视图(单位： cm)如图所示， 则该几何体的体积(单位： cm3)
15、是() A.7 3 B.14 3 C3D6 答案(1)B(2)A 解析(1)由三视图可知，该柱体是一个直五棱柱，如图，棱柱的高为 6，底面可 以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个 的上底为 2，下底为 6，高为 3. 则底面面积 S26 2 346 2 327. 因此，该柱体的体积 V276162.故选 B. (2)如图，三棱柱的体积 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 V11 22122， 三棱锥的体积 V21
16、3 1 2211 1 3， 因此，组合体的体积 VV1V221 3 7 3.故选 A. 考点三最值问题 【例 3】 (1)(2016浙江卷)如图，在ABC 中，ABBC2，ABC120.若平 面 ABC 外的点 P 和线段 AC 上的点 D，满足 PDDA，PBBA，则四面体 PBCD 的体积的最大值是_ (2)正六棱柱 ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为 2，侧棱长为 1，则动点从 A 沿表面移动到 E1时的最短路程是_；动点从 A 沿表面移动到 D1时的最短 路程为_ 答案(1)1 2 (2)319 解析(1)设 PDDAx， 在ABC 中，ABBC2，ABC120， AC
17、AB2BC22ABBCcosABC 44222cos 1202 3， CD2 3x，且ACB1 2(180120)30， SBCD1 2BCDCsinACB 1 22(2 3x) 1 2 1 2(2 3x) 要使四面体体积最大，当且仅当点 P 到平面 BCD 的距离最大，而 P 到平面 BCD 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 的最大距离为 x. 则 V四面体PBCD1 3 1 2(2 3x)x 1 6(x 3) 23， 由于 0 x2 3， 故当 x
18、3时， V 四面体PBCD的最大值为1 63 1 2. (2)侧面展开图如图(1)， (2)， 从 A 沿表面到 E1的最短路程为 AE1 AE2EE21 （2 2）21 3. 从 A 沿 表 面 到 D1的 最 短 路 程 为 AD1AD2DD21 （3 2）21 19. (1)(2) 感悟升华常用方法是将几何图形展开为平面图形，利用几何性质求解或利用函 数、不等式求最值 【训练 3】 (1)(2021上海徐汇区一模)如图，棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中， E 为 CC1的中点， 点 P， Q 分别为面 A1B1C1D1和线段 B1C 上的动点， 则PEQ 周长的最小值为
19、() A2 2B. 10C. 11D. 12 (2)(2018全国卷)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图圆柱表面上 的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视 图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 () A2 17B2 5C3D2 答案(1)B(2)B 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1)如图，取 BC 中点 N，延长 EC1至点 M，使 MC1EC1，连接 PM，MN
20、， 且 M， Q， N 共线， 则PEQ 的周长为 PQPEQEPQPMQNMN 10. (2)由三视图可知，该几何体为如图所示的圆柱，该圆柱的高为 2，底面周长为 16.画出该圆柱的侧面展开图，如图所示，连接 MN，则 MS2，SN4，则从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为 MS2SN2 22422 5. 基础巩固题组 一、选择题 1.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有 委米依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内 墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米 堆的高为5尺， 问米堆的体积和堆放的米各
21、为多少？”已知1斛米的体积约为1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有() A14 斛B22 斛C36 斛D66 斛 答案B 解析设米堆的底面半径为 r 尺，则 2r8，所以 r 16 (尺)所以米堆的体积为 V1 4 1 3r 25 12 16 2 5320 9 (立方尺)故堆放的米约有320 9 1.6222(斛)故 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 选 B. 2某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x 的值是
22、() A2B.9 2 C.3 2 D3 答案D 解析由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，则 S底1 2(12)2 3.V1 3x33，解得 x3.故选 D. 3(2021浙江十校联盟适考)如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸(单位： cm)，则该几何体的表面积为() A15 cm2B21 cm2 C24 cm2D33 cm2 答案C 解析由三视图得该几何体为一个底面圆直径为 6，母线长为 5 的圆锥，则其表 面积为321 26524，故选 C. 4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享
23、 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A60B30C20D10 答案D 解析由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥 A1BCD，VA1BCD 1 3 1 235410，故选 D. 5(2020全国卷)已知 A，B，C 为球 O 的球面上的三个点，O1为ABC 的外 接圆若O1的面积为 4，ABBCACOO1，则球 O 的表面积为() A64B48C36D32 答案A 解析如图所示，设球 O 的半径为 R，O1的半径为 r，因为O1的面积为 4， 所以 4r2，解得 r2，又 ABBCACOO1，所以 AB sin 602r，解得 A
24、B 2 3，故 OO12 3，所以 R2OO21r2(2 3)22216，所以球 O 的表面积 S 4R264.故选 A. 6(2021宁波模拟)如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是由一 个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A72B64C48D32 答案B 解析由三视图可知，此几何体为正四棱柱中截挖去一个与其共上底且高为 3 的 四棱锥，则体积 V4251 34 2364，故选
25、B. 二、填空题 7 (2020江苏卷)如图， 六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的 已 知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，高为 2 cm，内孔半径为 0.5 cm，则此六角螺 帽毛坯的体积是_cm3. 答案12 3 2 解析螺帽的底面正六边形的面积 S61 22 2sin 606 3(cm2)， 正六棱柱的 体积 V16 3212 3(cm3)，圆柱的体积 V20.522 2(cm 3)，所以此六角 螺帽毛坯的体积 VV1V212 3 2(cm 3) 8(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型如图，该 模型为长方体 ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥
26、 OEFGH 后所得的几何体其中 O 为长方体的中心， E， F， G， H 分别为所在棱的中点， ABBC6 cm， AA14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 _g. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案118.8 解析由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为 6 cm 和 4 cm， 故 V 挖去的四棱锥1 3 1 246312(cm 3) 又 V 长方体664144(cm3
27、)， 所以模型的体积为 V 长方体V挖去的四棱锥14412132(cm3)， 所以制作该模型所需原料的质量为 1320.9118.8(g) 9如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半 径若该几何体的体积是28 3 ，则它的表面积是_ 答案17 解析由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心 O 且互相垂 直的三个平面)切掉左上角的1 8 后得到的组合体，其表面积是球面面积的7 8和三个 1 4圆面积之和，易得球的半径为 2，则得 S7 842 231 42 217. 10(2021台州期末评估)已知某多面体的三视图如图所示，则该几何体的所有棱 长和为_，其
28、体积为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案163 22 5 17 3 解析由三视图画出几何体的直观图如图所示，其是正方体的一部分，其中 E，F 是所在棱的中点，正方体的棱长为 2，所以该几何体的所有棱长的和 2711 2222122216322 5.该几何体的体积为 222 1 32 1 211 1 222 1 211 1 22217 3 . 三、解答题 11已知一个几何体的三视图如图所示. (1)求此几何体的表面积； (2)如果点 P，Q 在正视
29、图中所示位置，P 为所在线段中点，Q 为顶点，求在几何 体表面上，从 P 点到 Q 点的最短路径的长 解(1)由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱组成的组合体，其表面积是 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和 S圆锥侧1 2(2a)( 2a) 2a 2， S 圆柱侧(2a)(2a)4a2， S圆柱底a2， 所以 S 表 2a24a2a2( 25)a2. (2)沿 P 点与 Q 点所在母线剪开圆柱侧面，如图
30、 则 PQ AP2AQ2 a2（a）2a 12， 所以从 P 点到 Q 点在侧面上的最短路径的长为 a 12. 12.如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点 E，F 分别 在 A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点 E，F 的平面与此长方体的面相交，交线 围成一个正方形 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值 解(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示 (2)如图，作 EMAB，垂足为 M，则 AMA1E4，EB112，EMAA18. 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EHEFBC10. 于
31、是 MH EH2EM26，AH10，HB6. 故 S四边形A1EHA1 2(410)856， S四边形EB1BH1 2(126)872. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 因为长方体被平面分成两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为9 7 7 9也正确. 能力提升题组 13已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90，C 为该球面上的动点若三 棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为() A36B64C144D256 答案C
32、解析因为AOB 的面积为定值，所以当 OC 垂直于平面 AOB 时，三棱锥 O ABC 的体积取得最大值由1 3 1 2R 2R36，得 R6.从而球 O 的表面积 S4R2 144. 14.如图，有一个底面是正方形的直棱柱型容器(无盖)，底面棱长为 1 dm(dm 为分 米)，高为 5 dm，两个小孔在其相对的两条侧棱上，且到下底面距离分别为 3 dm 和 4 dm，则(水不外漏情况下)此容器可装的水最多为() A.9 2 dm3B4 dm3 C.7 2 dm3D3 dm3 答案C 解析由题意得当容器内的水的上表面过两孔连线所在的平面时，容器内装的水 最多，又因为容器的底面为正方形，则由长方
33、体的对称性易得当容器内的水的上 表面平分以两孔连线所得的线段为体对角线的长方体时，容器内装的水最多，此 时容器内装的水的体积为 3111 2111 7 2，故选 C. 15如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 为平行四边形，NB2PN，则三棱锥 NPAC 与三棱锥 DPAC 的体积比为() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A12B18 C16D13 答案D 解析设点 P，N 在平面 ABCD 内的投影分别为点 P，N，则 PP平面 ABCD， N
34、N平面 ABCD，所以 PPNN，则在BPP中，由 BN2PN 得NN PP 2 3. V 三棱锥NPACV三棱锥PABCV三棱锥NABC1 3S ABCPP 1 3S ABCNN1 3S ABC(PPNN)1 3S ABC1 3PP 1 9S ABCPP，V三棱锥DPAC V 三棱锥PACD1 3S ACDPP，又四边形 ABCD 是平行四边形，SABCSACD， V 三棱锥NPAC V三棱锥DPAC 1 3.故选 D. 16(2020浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为 2，且它的侧面展开图是一个 半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_ 答案1 解析如图， 设圆锥的母线长为 l
35、，底面半径为 r，则圆锥的侧面积 S侧rl2，即 rl2. 由于侧面展开图为半圆， 可知1 2l 22，可得 l2， 因此 r1. 17四面体 ABCD 及其三视图如图所示，平行于棱 AD，BC 的平面分别交四面体 的棱 AB，BD，DC，CA 于点 E，F，G，H. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (1)求四面体 ABCD 的体积； (2)证明：四边形 EFGH 是矩形 (1)解由该四面体的三视图可知， BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，AD
36、1， 又 BDDCD，AD平面 BDC， 四面体 ABCD 的体积 V1 3 1 2221 2 3. (2)证明BC平面 EFGH，平面 EFGH平面 BDCFG，平面 EFGH平面 ABCEH， BCFG，BCEH，FGEH. 同理，EFAD，HGAD，EFHG， 四边形 EFGH 是平行四边形 又AD平面 BDC，BC平面 BDC， ADBC，EFFG，四边形 EFGH 是矩形 18.如图所示，A1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于 A，B 的任意一点，AA1AB2. (1)求证：BC平面 A1AC； (2)(一题多解)求三棱锥 A1ABC 的体积的最大值 (
37、1)证明因为 C 是底面圆周上异于 A，B 的一点，且 AB 为底面圆的直径，所以 BCAC.因为 AA1平面 ABC，BC平面 ABC，所以 AA1BC. 因为 AA1ACA，AA1平面 A1AC，AC平面 A1AC，所以 BC平面 A1AC. (2)解法一设 ACx，在 RtABC 中，BC AB2AC2 4x2(0 x2)， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 故 VA1ABC1 3S ABCAA11 3 1 2ACBCAA 11 3x 4x 2(0 x2)， 即 VA1ABC1 3x 4x 21 3 x2（4x2）1 3 （x22）24. 因为 0 x2，所以 0 x24. 所以当 x22，即 x 2时，三棱锥 A1ABC 的体积取得最大值为2 3. 法二在 RtABC 中，AC2BC2AB24， VA1ABC1 3 SABCAA11 3 1 2 ACBCAA11 3 ACBC1 3 AC 2BC2 2 1 3 AB2 2 2 3. 当且仅当 ACBC 时等号成立，此时 ACBC 2. 所以三棱锥 A1ABC 的体积的最大值为2 3.
