1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 2 节圆的方程 知 识 梳 理 1圆的定义和圆的方程 2.点与圆的位置关系 平面上的一点 M(x0，y0)与圆 C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系： (1)drM 在圆外，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆外； (2)drM 在圆上，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆上； (3)drM 在圆内，即(x0a)2(y0b)2r2M 在圆内 圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上； (2)
2、圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆相切时，切点与两圆心三点共线 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)确定圆的几何要素是圆心与半径() (2)方程 x2y2a2表示半径为 a 的圆() (3)方程 x2y24mx2y5m0 表示圆() (4)方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的充要条件是 AC0，B0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 D2E24AF0.() 答案(1)(2)(3)(4) 解析(2)当 a0 时，x2y2a2表示点(0
3、，0)；当 a0 时，表示半径为|a|的圆 (3)当(4m)2(2)245m0，即 m1 4或 m1 时才表示圆 2若点(1，1)在圆(xa)2(ya)24 的内部，则实数 a 的取值范围是() A(1，1)B(0，1) C(，1)(1，)Da1 答案A 解析因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1a)2(1a)24，所以1a0)，将 P，Q 两点的坐标分 别代入得 2D4EF20， 3DEF10. 又令 y0，得 x2DxF0. 设 x1，x2是方程的两根， 由|x1x2|6，得 D24F36， 由，解得 D2，E4，F8，或 D6，E8，F0. 故所求圆的方程为 x2y22x4y80 或 x
4、2y26x8y0. 感悟升华求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的 方程有两种方法： (1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量确定圆的方程时，常用到的 圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线 上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线； (2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 【训练 1】 (1)(2018天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(
5、1，1)，(2， 0)的圆的方程为_ (2)已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x y0 的距离为4 5 5 ，则圆 C 的方程为_ 答案(1)x2y22x0(2)(x2)2y29 解 析(1) 设 圆 的 方 程 为 x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F0) ， 则 F0， 11DEF0， 42DF0， 解得 D2，E0，F0，即圆的方程为 x2y22x0. (2)因为圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，设 C(a，0)，且 a0，所以圆心到直线 2x y0 的距离 d2a 5 4 5 5 ，解得 a2，所以圆 C 的半径 r|
6、CM| 453， 所以圆 C 的方程为(x2)2y29. 考点二与圆有关的最值问题 【例 2】 已知实数 x，y 满足方程 x2y24x10. (1)求y x的最大值和最小值； (2)求 yx 的最大值和最小值； (3)求 x2y2的最大值和最小值 解原方程可化为(x2)2y23，表示以(2，0)为圆心， 3为半径的圆 (1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y xk，即 ykx. 当直线 ykx 与圆相切时，斜率 k 取最大值或最小值，此时|2k0| k21 3，解得 k 3(如图 1) 所以y x的最大值为 3，最小值为 3. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ
7、群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (2)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，当直线 yxb 与圆相切时，纵 截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b| 2 3，解得 b2 6(如图 2) 所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2 6. (3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心 连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图 3) 又圆心到原点的距离为 （20）2（00）22， 所以 x2y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)
8、274 3. 感悟升华把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数 形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化极为常见： (1)形如 myb xa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如 taxby 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题， 可转化为两点间距离的平方的最值问题 【训练 2】 (1)圆心在曲线 y2 x(x0)上，与直线 2xy10 相切，且面积最小 的圆的方程为() A(x2)2(y1)225B(x2)2(y1)25 C(x1)2(y2)225D(x1)2(y2)25 (2)设点 M(x0，1)，若在
9、圆 O：x2y21 上存在点 N，使得OMN45，则 x0的 取值范围是_ (3)(2021绍兴模拟)设点 P(x，y)是圆：x2(y3)21 上的动点，定点 A(2，0)， B(2，0)，则PA PB的最大值为_ 答案(1)D(2)1，1(3)12 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1)设圆心坐标为 C a，2 a (a0)，则半径 r| 2a2 a1| 5 22a2 a1 5 5，当且仅当 2a2 a，即 a1 时取等号 所以当 a1 时圆的半
10、径最小，此时 r 5，C(1，2)，所以面积最小的圆的方程 为(x1)2(y2)25. (2)如图所示，过点 O 作 OPMN 交 MN 于点 P. 在 RtOMP 中，|OP|OM|sin 45， 又|OP|1，得|OM| 1 sin 45 2. |OM| 1x20 2，x201. 因此1x01. (3)由题意，知PA (2x，y)，PB(2x，y)，所以PAPBx2y24，由 于点 P(x， y)是圆上的点， 故其坐标满足方程 x2(y3)21， 故 x2(y3)21， 所以PA PB (y3)21y246y12.由圆的方程 x2(y3)21，易知 2y4，所以，当 y4 时，PA PB的
11、值最大，最大值为 641212. 考点三与圆有关的轨迹问题 【例 3】 已知点 P(2， 2)， 圆 C： x2y28y0， 过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点 (1)求点 M 的轨迹方程； (2)当|OP|OM|时，求 l 的方程及POM 的面积 解(1)圆 C 的方程可化为 x2(y4)216，所以圆心为 C(0，4)，半径为 4. 设 M(x，y)，则CM (x，y4)，MP (2x，2y) 由题设知CM MP 0，故 x(2x)(y4)(2y)0， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的
12、加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 即(x1)2(y3)22. 由于点 P 在圆 C 的内部，所以 M 的轨迹方程是(x1)2(y3)22. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1，3)为圆心， 2为半径的圆由于|OP|OM|， 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上，又 P 在圆 N 上，从而 ONPM. 因为 ON 的斜率为 3，所以 l 的斜率为1 3， 故 l 的方程为 x3y80. 又|OM|OP|2 2，O 到 l 的距离为4 10 5 ， 所以|PM|4 10 5 ，SPOM1 2 4 10 5 4 10 5 1
13、6 5 ， 故POM 的面积为16 5 . 感悟升华求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程； (2)定义法，根据圆、直线等定义列方程； (3)几何法，利用圆的几何性质列方程； (4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等 【训练 3】 设定点 M(3，4)，动点 N 在圆 x2y24 上运动，以 OM，ON 为邻 边作平行四边形 MONP，求点 P 的轨迹 解如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的中点坐标 为 x 2， y 2 ，线段 MN 的中点坐标为 x03 2 ，y04 2.由于
14、平行四边 形的对角线互相平分， 故x 2 x03 2 ，y 2 y04 2 . 从而 x0 x3， y0y4. 又 N(x3，y4)在圆上， 故(x3)2(y4)24. 因此所求轨迹为圆： (x3)2(y4)24， 但应除去两点 9 5， 12 5 和 21 5 ，28 5 (点 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 P 在直线 OM 上时的情况) 基础巩固题组 一、选择题 1方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则实数 a 的取值范围是() A(，
15、2) 2 3，B. 2 3，0 C(2，0)D. 2，2 3 答案D 解析方程为 xa 2 2 (ya)21a3a 2 4 表示圆， 则 1a3a 2 4 0， 解得2a 2 3. 2圆(x1)2(y2)21 关于直线 yx 对称的圆的方程为() A(x2)2(y1)21B(x1)2(y2)21 C(x2)2(y1)21D(x1)2(y2)21 答案A 解析已知圆的圆心 C(1，2)关于直线 yx 对称的点为 C(2，1)，圆(x1)2(y 2)21 关于直线 yx 对称的圆的方程为(x2)2(y1)21，故选 A. 3点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是() A(
16、x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21 答案A 解析设圆上任一点为 Q(x0，y0)，PQ 的中点为 M(x，y)，则 x4x0 2 ， y2y0 2 ，解得 x02x4， y02y2. 因为点 Q 在圆 x2y24 上，所以 x20y204，即(2x4)2(2y2)2 4， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 化简得(x2)2(y1)21. 4已知三点 A(1，0)，B(0， 3)，C(2， 3)，
17、则ABC 外接圆的圆心到原点的距 离为() A.5 3 B. 21 3 C.2 5 3 D.4 3 答案B 解析由点 B(0， 3)，C(2， 3)，得线段 BC 的垂直平分线方程为 x1， 由点 A(1，0)，B(0， 3)，得线段 AB 的垂直平分线方程为 y 3 2 3 3 x1 2 ， 联立，解得ABC 外接圆的圆心坐标为 1，2 3 3， 其到原点的距离为12 2 3 3 2 21 3 .故选 B. 5已知直线 l 过圆(x1)2(y2)21 的圆心，当原点到直线 l 距离最大时，直 线 l 的方程为() Ay2Bx2y50 Cx2y30Dx2y50 答案D 解析圆(x1)2(y2)
18、21 的圆心为(1，2)，则当直线 l 与过原点和圆心的直线 垂直时，原点到直线 l 的距离最大，此时直线 l 的斜率为10 20 1 2，则直线 l 的方程为 y21 2(x1)，即 x2y50，故选 D. 6若直线 ykx 与圆(x2)2y21 的两个交点关于直线 2xyb0 对称，则 点(k，b)所在的圆为() A. x1 2 2 (y5)21B. x1 2 2 (y5)21 C. x1 2 2 (y5)21D. x1 2 2 (y5)21 答案A 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 48
19、3122854 期待你的加入与分享 解析由题意知直线 ykx 与直线 2xyb0 互相垂直，所以 k1 2.又圆上两点 关于直线 2xyb0 对称，故直线 2xyb0 过圆心(2，0)，所以 b4， 结合选项可知，点 1 2，4在圆 x1 2 2 (y5)21 上 二、填空题 7圆 x2y22y30 的圆心坐标是_，半径是_ 答案(0，1)2 解析化圆的方程为标准方程为 x2(y1)24， 由此知该圆的圆心坐标为(0， 1)， 半径为 2. 8(2021北京门头沟区综合练习)已知两点 A(1，0)，B(1，0)，若直线 xya 0 上存在点 P(x，y)满足AP BP0，则实数 a 满足的取值
20、范围是_ 答案 2， 2 解析设 P(x，y)，则AP BP0 x2y21，d|a| 21a 2， 2 9 若圆C经过坐标原点和点(4， 0)， 且与直线y1相切， 则圆C的方程是_ 答案(x2)2 y3 2 2 25 4 解析设圆心 C 坐标为(2，b)(b0，b0)始终平分圆 x2y24x2y80 的周长， 则1 a 2 b的最小值为( ) A1B5 C4 2D32 2 答案D 解析由题意知圆心 C(2，1)在直线 ax2by20 上， 2a2b20，整理得 ab1， 1 a 2 b 1 a 2 b (ab)3b a 2a b 32 b a 2a b 32 2， 当且仅当b a 2a b
21、， 即 b2 2，a 21 时，等号成立 1 a 2 b的最小值为 32 2. 15已知直角坐标系中 A(2，0)，B(2，0)，动点 P 满足|PA| 2|PB|，则点 P 的 轨迹方程是_；轨迹为_ 答案x2y212x40一个圆 解析设点 P 的坐标为(x，y)，则由|PA| 2|PB|得|PA|22|PB|2，即(x2)2y2 2(x2)2y2，化简得 x2y212x40，方程化为标准方程为(x6)2y232. 其表示一个圆 16 已知实数 x， y 满足 x2y26x8y110， 则 x2y2的最大值为_， |3x4y28|的最小值为_ 答案115 解析由题意知圆的标准方程为(x3)2
22、(y4)236，其表示的是一个圆心为(3， 4)，半径为 6 的圆，而 x2y2表示圆上的点到坐标原点的距离，( x2y2)max 32（4）2611，由圆的标准方程(x3)2(y4)236 可设其圆上点的 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 坐标为 x6cos 3， y6sin 4 (为参数)，|3x4y28|18cos 24sin 35| |30sin()35| 其中 tan 3 4 ， 当 sin()1 时，|3x4y28|min5. 17(2018
23、全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直 线 l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8. (1)求 l 的方程； (2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程 解(1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 由 yk（x1） ， y24x 得 k2x2(2k24)xk20. 16k2160，故 x1x22k 24 k2 . 所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k 24 k2 . 由题设知4k 24 k2 8，解得 k1(舍去)，k1. 因此 l 的方程为 yx1. (2)由(1
24、)得 AB 的中点坐标为(3， 2)， 所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)， 即 yx5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 y0 x05， （x01）2（y0 x01） 2 2 16. 解得 x03， y02 或 x011， y06. 因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144. 18如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2y212x 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 14y6
25、00 及其上一点 A(2，4) (1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方 程； (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且|BC|OA|，求直线 l 的方 程； (3)设点 T(t，0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得TA TPTQ，求实数 t 的 取值范围 解(1)圆 M 的方程化为标准形式为(x6)2(y7)225，圆心 M(6，7)，半径 r 5， 由题意，设圆 N 的方程为(x6)2(yb)2b2(b0)， 且 （66）2（b7）2b5. 解得 b1，圆 N 的标准方程为(x6)2(y1)21. (2)kOA2，可设直线 l 的方程为 y2xm，即 2xym0. 又|BC|OA| 22422 5， 由题意， 圆 M 的圆心 M(6， 7)到直线 l 的距离为 d52 |BC| 2 2 2552 5， 即 |267m| 22（1）22 5，解得 m5 或 m15. 直线 l 的方程为 2xy50 或 2xy150. (3)由TA TPTQ，则四边形 AQPT 为平行四边形， 又P，Q 为圆 M 上的两点，|PQ|2r10. |TA|PQ|10，即 （t2）24210， 解得 22 21t22 21. 故所求 t 的范围为22 21，22 21
