1、本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 第 6 节三角函数的图象与性质 知 识 梳 理 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数 ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)， 2，1，(， 0)， 3 2 ，1 ，(2，0) (2)余弦函数 ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)， 2，0，(， 1)， 3 2 ，0 ，(2，1) 2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ) 函数ysin xycos xyta
2、n x 图象 定义域RR x|xR，且 x k 2 值域1，11，1R 周期性22 奇偶性奇函数偶函数奇函数 递增区间2k 2，2k 2 2k，2kk 2，k 2 递减区间2k 2，2k 3 2 2k，2k无 对称中心(k，0)k 2，0 k 2 ，0 对称轴方程xk 2 xk无 1要注意求函数 yAsin(x)的单调区间时 A 和的符号，尽量化成0 时 情况，避免出现增减区间的混淆 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 2正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、
3、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相 邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4周期 而正切曲线相邻两对称中心之间的距 离是半周期 3三角函数中奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x 的形式，而偶函数一 般可化为 yAcos xb 的形式 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误 (1)由 sin 6 2 3 sin 6知， 2 3 是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期() (2)余弦函数 ycos x 的对称轴是 y 轴() (3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数() (4)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.() (5)ysin|x|是偶函数() 答
4、案(1)(2)(3)(4)(5) 解析(1)函数 ysin x 的周期是 2k(kZ) (2)余弦函数 ycos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条 (3)正切函数 ytan x 在每一个区间 k 2，k 2 (kZ)上都是增函数， 但在定义域内不是单调函数， 故不是增函数 (4)当 k0 时，ymaxk1；当 k0， xR)， 最小正周期 T， 则实数_， 函数 f(x)的图象的对称中心为_ 答案2 k 2 12，0(kZ) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期
5、待你的加入与分享 解析由 T2 ，2，f(x)2sin 2x 6 ，令 2sin 2x 6 0，得 2x 6 k(kZ)，xk 2 12(kZ)，对称中心为 k 2 12，0(kZ) 考点一三角函数的定义域及三角函数不等式 【例 1】 (1)函数 f(x)2tan 2x 6 的定义域是() A. x|x 6B. x|x 12 C. x|xk 6（kZ）D. x|xk 2 6（kZ） (2)不等式 32cos x0 的解集是_ (3)函数 f(x) 64x2log2(2sin x1)的定义域是_ 答案(1)D(2) x|5 62kx 5 62k，kZ (3) 11 6 ，7 6 6， 5 6 1
6、3 6 ，8 解析(1)由正切函数的定义域得 2x 6k 2(kZ)， 即 xk 2 6(kZ)，故选 D. (2)由 32cos x0，得 cos x 3 2 ， 由余弦函数的图象，得在一个周期，上，不等式 cos x 3 2 的解集为 x|5 6 x5 6， 故原不等式的解集为 x|5 62kx 5 62k，kZ. 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 (3)由题意得 64x20， 2sin x10， 由得8x8，由得 sin x1 2，由正弦曲线得 6
7、2kx 5 62k(kZ) 所以不等式组的解集为 11 6 ，7 6 6， 5 6 13 6 ，8 . 感悟升华(1)三角函数定义域的求法 以正切函数为例，应用正切函数 ytan x 的定义域求函数 yAtan(x)的定 义域 求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式 (2)简单三角不等式的解法 利用三角函数线求解 利用三角函数的图象求解 【训练 1】 (1)函数 ytan 2x 的定义域是() A. x|xk 4，kZB. x|xk 2 8，kZ C. x|xk 8，kZD. x|xk 2 4，kZ (2)(一题多解)函数 y sin xcos x的定义域为_ 答案(1)D(2) x|2
8、k 4x2k 5 4 ，kZ 解析(1)由 2xk 2，kZ，得 x k 2 4，kZ， ytan 2x 的定义域为 x|xk 2 4，kZ. (2)法一要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画 出0，2上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示 在0，2内，满足 sin xcos x 的 x 为 4， 5 4 ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2， 所以原函数的定义域为 x|2k 4x2k 5 4 ，kZ . 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483
9、122854 期待你的加入与分享 法二利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示) 所以定义域为 x|2k 4x2k 5 4 ，kZ . 法三sin xcos x 2sin x 4 0，将 x 4视为一个整体，由正弦函数 ysin x 的图象和性质可知 2kx 42k(kZ)， 解得 2k 4x2k 5 4 (kZ) 所以定义域为 x|2k 4x2k 5 4 ，kZ . 考点二三角函数的最值和值域 【例 2】 (1)函数 y2sin x1，x 7 6， 13 6 的值域是() A3，1B2，1C(3，1D(2，1 (2)(一题多解)函数 f(x)1 5sin x 3 cos x
10、6 的最大值为() A.6 5 B1C.3 5 D.1 5 (3)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_ 答案(1)D(2)A(3) 1 2 2，1 解析(1)由正弦曲线知 ysin x 在 7 6， 13 6 上，1sin x0)在区间 2， 2 3 上是增函数， 则的取值范 围是_ 答案(1) k 12，k 5 12 (kZ)(2) 0，3 4 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 解析(1)由已知可得函数为 ysin 2x 3 ，
11、欲求函数的单调减区间，只需求 y sin 2x 3 的单调增区间 由 2k 22x 32k 2，kZ， 得 k 12xk 5 12，kZ. 故所求函数的单调递减区间为 k 12，k 5 12 (kZ) (2)法一由 2k 2x2k 2，kZ， 得 f(x)的增区间是 2k 2， 2k 2 (kZ) 因为 f(x)在 2， 2 3 上是增函数， 所以 2， 2 3 2， 2 . 所以 2 2且 2 3 2，所以 0，3 4 . 法二因为 x 2， 2 3 ，0. 所以x 2 ，2 3， 又 f(x)在区间 2， 2 3 上是增函数， 所以 2 ，2 3 2， 2 ， 则 2 2， 2 3 2，
12、又0，得 00，得 03 4. 感悟升华(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 yAsin(x) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 形式，再求 yAsin(x)的单调区间，只需把x看作一个整体代入 ysin x 的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数(2)对于已知函数的单调区间的 某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调 区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求 解，另外，若是选择题
13、利用特值验证排除法求解更为简捷 角度 3三角函数的对称轴或对称中心 【例 33】 (1)已知函数 ysin(2x) 2 2 的图象关于直线 x 3对称，则 的值是_ (2)函数 f(x)2cos x 3 1 的对称轴为_，最小值为_ 答案(1) 6 (2)xk 3(kZ) 3 解析(1)由函数 ysin(2x) 2 2 的图象关于直线 x 3对称， 得 sin 2 3 1，因为 2 2，所以 6 2 3 0，函数 f(x)cos x 4 在 2，上单调递增， 则的取值范围 是() A. 1 2， 5 4B. 1 2， 7 4C. 3 4， 9 4D. 3 2， 7 4 (3)(角度 3)函数
14、ysin(2x) 20，kZ， 得 k1，所以 3 2， 7 4 . (3)因为函数 ysin(2x) 2 2 图象的一个对称中心为 12，0，所以 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 sin 60，又因为 2 2，则 3 60)两个相邻的极值点， 则() A2B.3 2 C1D.1 2 答案A 解析由题意及函数 ysin x 的图象和性质可知， 1 2T 3 4 4，T， 2 ，2.故选 A. 2函数 f(x)tan 2x 3 的单调递增区间是() A.
15、 k 2 12， k 2 5 12 (kZ) B. k 2 12， k 2 5 12 (kZ) C. k 12，k 5 12 (kZ) D. k 6，k 2 3 (kZ) 答案B 解析当 k 22x 3k 2(kZ)时，函数 ytan 2x 3 单调递增，解得k 2 12 x k 2 5 12 (kZ) ， 所 以 函 数 y tan 2x 3 的 单 调 递 增 区 间 是 k 2 12， k 2 5 12 (kZ)，故选 B. 3(2020全国卷)设函数 f(x)cos x 6 在，的图象大致如下图，则 f(x) 的最小正周期为() 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 3230
16、31380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 A.10 9 B.7 6 C.4 3 D.3 2 答案C 解析由图象知T2， 即2 |2，所以 1|2. 因为图象过点 4 9 ，0 ，所以 cos 4 9 6 0， 所以4 9 62k 2，kZ， 所以9k 2 3 2，kZ. 因为 1|0，| 2 的最小正周期为 4，且任意 xR，有 f(x)f 3 成立，则 f(x)图象的一个对称中心坐标是() A. 2 3 ，0 B. 3，0 C. 2 3 ，0 D. 5 3 ，0 答案A 解析由 f(x)sin(x)的最小正周期为
17、4，得1 2.因为 f(x)f 3 恒成立，所 以 f(x)maxf 3 ，即1 2 3 22k(kZ)，由| 2，得 3，故 f(x)sin 1 2x 3 . 令 1 2 x 3 k(kZ)，得 x 2k 2 3 (kZ)，故 f(x) 图象的 对称中心 为 2k2 3 ，0 (kZ)，当 k0 时，f(x)图象的对称中心为 2 3 ，0 ，故选 A. 二、填空题 7 若函数 f(x)cos 2x 3 (0)是奇函数， 则_； f(x)取最大值时， x 的取值集合为_ 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全
18、 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 答案 5 6 x|xk 4，kZ 解析因为 f(x)为奇函数， 所以 3 2k， kZ， 5 6 k， kZ.又因为 00，0 2 的图象关于点 4，0对 称，关于直线 x 4对称，最小正周期 T 2，则 T_，f(x)的单调 递减区间是_ 答案 2 3 2k 3 12， 2k 3 5 12 (kZ) 解析由题意知 2 3 4T，即 T 2 3 ，所以3，所以 3 4k，kZ，k 3 4 ，kZ，又 00， 0)是偶函数， 且在 0， 2 上是减函数，则_，的最大值是_ 答案 2 2 解析由题意知 22k，kZ，又 0，所以 2，故函数 f(
19、x)cos x(0)令 2mx2m，mZ，得2m x 2m ，mZ，令 m0， 得 0 x ，所以 2，解得 00，x0，2 2， 2 ，所以 02 200，ysin x 在0，2上单调递增，说明该函数至少 1 4T 的 图象在0，2上，则其周期至少为 8，即2 8，即1 4，故 00)在区间 3， 4 上的最小值是2，则的最小值 为() A.2 3 B.3 2 C2D3 答案B 解析0， 3x 4， 3 x 4 . 由已知条件知 3 2， 3 2. 14函数 f(x)asin xbcos x(a0，b0，0)，则 f(x)() A是非奇非偶函数B奇偶性与 a，b 有关 C奇偶性与有关D奇偶性
20、与 a，b 无关 答案A 解析f(x)asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 sin b a2b2，cos a a2b2， 要使函数 f(x) a 2b2sin(x)为奇函数， 则 f(0) a2b2sin 0， 因为 a0，b0，所以a2b20，又因为 sin b a2b2 0，所以 f(0) a2b2sin 0，所以函数 f(x)不是奇函数若函数 f(x) a2b2sin(x)为偶 函数，则 f(0) a2b2sin a2b2，则 sin 1，cos 0，因为 a0，所 以 cos a a2b20，所以 f(0) a 2b2sin a2b2，所以函数 f(x)不是偶 函数，故
21、选 A. 15设 x1，x2，x3，x4 0， 2 ，则() A在这四个数中至少存在两个数 x，y，满足 sin(xy)1 2 B在这四个数中至少存在两个数 x，y，满足 cos(xy) 3 2 C在这四个数中至多存在两个数 x，y，满足 tan(xy)0，0，0 2 的部分图象如图所示 (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 g(x)f x 12 f x 12 的单调递增区间 解(1)T 2 11 12 5 12，T， 2 T 2. 由题意可得 Asin 1， 25 12， 解得 A2， 6， 函数 f(x)2sin 2x 6 . (2)f x 12 2sin 2x， f x 12
22、2sin 2x 3 ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 g(x)f x 12 f x 12 2 sin 2xsin 2x 3 2sin 2x 3 . 2k 22x 32k 2(kZ)， 函数 g(x)的单调递增区间为 k 12，k 5 12 (kZ) 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 18. (2021宁波期末)
23、已知函数 f(x)sin(x)(0)图象上相邻两个最高点的距离 为. (1)若 yf(x)的图象过点 0，1 2 ，且部分图象如图所示，求函数 f(x)的解析式； (2)若函数 yf(x)是偶函数，将 yf(x)的图象向左平移 6个单位长度，得到 yg(x) 的图象，求函数 y2 f x 2 2 g(x)在 0， 2 上的最大值与最小值 解由已知可得 T，则有2. (1)由 f(0)1 2，00 时位于对称轴的右侧， 所以5 6 ，所以 f(x)sin 2x5 6 . (2)由函数 yf(x)是偶函数且 0得 2. 即 f(x)cos 2x. 由已知得 g(x)cos 2x 3 ， 故 y2 f x 2 2 g(x)2cos2xcos 2x 3 1cos 2x1 2cos 2x 3 2 sin 2x 13 2cos 2x 3 2 sin 2x 1 3 3 2 cos 2x1 2sin 2x 1 3cos 2x 6 . 因为 x 0， 2 ，所以 2x 6 6， 7 6 ， 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 323031380 期待你的加入与分享 本资料分享自新人教版高中数学资源大全 QQ 群 483122854 期待你的加入与分享 所以函数在 0， 2 上的最大值为5 2，最小值为 1 3.
