1、专题层级快练专题层级快练(二十一二十一) 一、单项选择题 1若 a1 e，则方程 lnxax0 的实根的个数为( ) A0 个B1 个 C2 个D无穷多个 答案A 解析由于方程 lnxax0 等价于lnx x a(x0) 设 f(x)lnx x .f(x) 1 xxlnx x2 1lnx x2 (x0)， 令 f(x)0，得 xe， f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减 f(x)的最大值为 f(e)1 e. f(x)lnx x 1 e(当且仅当 xe 时，等号成立) a1 e，原方程无实根故选 A. 2已知函数 f(x)的定义域为1，4，部分对应值如下表： x10234 f(x
2、)12020 f(x)的导函数 yf(x)的图象如图所示 当 1a2 时， 函数 yf(x)a 的零点的个数为() A1B2 C3D4 答案D 解析根据导函数图象，知 2 是函数的极小值点，函数 yf(x)的大致图象如图所示 由于 f(0)f(3)2，1a2，所以 yf(x)a 的零点个数为 4. 3(2021山东高考实战演练仿真卷)若关于 x 的方程 2x33x2a0 在区间2，2上仅有 一个实根，则实数 a 的取值范围为() A4，0B(1，28 C4，0)(1，28D4，0)(1，28) 答案C 解析设 f(x)2x33x2a，可得 f(x)6x26x6x(x1)，x2，2， 令 f(x
3、)0，可得2x0 或 1x2，令 f(x)0，可得 0 x0 f（1）a10 或 f（0）a0， f（2）a40， 可得 1a28 或4a0 时， h(x)在区间 1 a，上单调递增， 在区间 0， 1 a 上单调递减； 当 a0 时，h(x)在(0，)上单调递减(2) ln2 2 ，1 e 解析(1)h(x)ax22lnx， 其定义域为(0，)， 所以 h(x)2ax2 x 2（ax21） x (x0) 当 a0 时，由 ax210，得 x 1 a， 由 ax210，得 0 x 1 a， 故当 a0 时，h(x)在区间( 1 a，)上单调递增，在区间(0， 1 a)上单调递减 当 a0 时，
4、h(x)0(x0)恒成立 故当 a0 时，h(x)在(0，)上单调递减 (2)原式等价于方程 a2lnx x2 在区间 2，e上有两个不相等的解 令(x)2lnx x2 ，由(x)2x（12lnx） x4 易知，(x)在 2， e)上为增函数，在( e，e上为 减函数， 则(x)max( e)1 e， 而(e)2 e2，( 2) ln2 2 . 由(e)( 2)2 e2 ln2 2 4e 2ln2 2e2 lne 4ln2e2 2e2 0， 所以(e)( 2)所以(x)min(e)， 如图可知(x)a 有两个不相等的解时，需ln2 2 a1 e. 即 f(x)g(x)在 2，e上有两个不相等的
5、解时 a 的取值范围为 ln2 2 ，1 e . 5(2021东北四校联考)已知 f(x)1 x ex e 3，F(x)lnxe x e 3x2. (1)判断 f(x)在(0，)上的单调性； (2)判断函数 F(x)在(0，)上零点的个数 答案(1)f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)3 个 解析(1)f(x) 1 x2 ex e x 2exe ex2 ， 令 f(x)0，解得 x1，令 f(x)0，解得 0 x1， 所以 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增 (2)F(x)1 x ex e 3f(x)(x0)， 由(1)得 f(x)minf(1)1，则x
6、1，x2，满足 0 x11x2，使得 f(x)在(0，x1)上大于 0，在 (x1，x2)上小于 0，在(x2，)上大于 0， 即 F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，而 F(1)0， x0 时，F(x)，x时，F(x)， 画出函数 F(x)的草图，如图所示 故 F(x)在(0，)上的零点有 3 个 6(2020课标全国，文)已知函数 f(x)exa(x2) (1)当 a1 时，讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x)有两个零点，求 a 的取值范围 答案(1)f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2) 1 e， 解析(1)当
7、a1 时，f(x)exx2，则 f(x)ex1. 当 x0 时，f(x)0 时，f(x)0. 所以 f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增 (2)f(x)exa. 当 a0 时，f(x)0，所以 f(x)在(，)上单调递增，故 f(x)至多存在 1 个零点，不 合题意 当 a0 时，由 f(x)0 可得 xlna.当 x(，lna)时，f(x)0.所以 f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增故当 xlna 时，f(x) 取得最小值，最小值为 f(lna)a(1lna) ()若 01 e，则 f(lna)0，所以 f(x)在(，lna)上存在唯一零点 由(1)知，
8、当 x2 时，exx20，所以当 x4 且 x2ln(2a)时， f(x)e x 2e x 2a(x2)eln(2a) x 22a(x2)2a0. 故 f(x)在(lna，)上存在唯一零点从而 f(x)在(，)上有两个零点 综上，a 的取值范围是 1 e，. 7(2021山东潍坊十月月考)设函数 f(x)x2(a2)xalnx. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)有两个零点，求正整数 a 的最小值 答案(1)见解析(2)3 解析(1)f(x)2x(a2)a x 2x 2（a2）xa x （2xa） （x1） x (x0) 当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在区间(
9、0，)上单调递增， 所以，函数 f(x)的单调递增区间为(0，)，无单调递减区间 当 a0 时，由 f(x)0，得 xa 2； 由 f(x)0，得 0 x0，且 f a 2 0，这是因为当 x0 或 x时均 有 f(x). 所以a24a4alna 20， 令 h(a)a4lna 24， 可知 h(a)在区间(0，)上为增函数，且 h(2)20，所以存在 a 0(2，3)，使 h(a0)0. 当 aa0时，h(a)0；当 0aa0时，h(a)0. 所以，满足条件的最小正整数 a3. 8已知函数 f(x)(2a)(x1)2lnx(aR) (1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间； (2)若函数
10、f(x)在 0，1 3 上无零点，求 a 的取值范围 答案(1)单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，)(2)23ln3，) 解析(1)当 a1 时，f(x)x12lnx，定义域为(0，)， 则 f(x)12 x x2 x ， 由 f(x)0，得 x2， 由 f(x)0，得 0 x2. 故 f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，) (2)因为 f(x)0 在区间 0，1 3 上恒成立不可能， 故要使函数 f(x)在 0，1 3 上无零点， 只要对任意的 x 0，1 3 ，f(x)0 恒成立， 即对 x 0，1 3 ，a22lnx x1恒成立 令 h(x)22lnx x1，x 0，1 3 ， 则 h(x) 2lnx2 x2 （x1）2 ， 再令 m(x)2lnx2 x2，x 0，1 3 ， 则 m(x)2（1x） x2 0， 故 m(x)在 0，1 3 上为减函数 于是 m(x)m 1 3 42ln30. 从而 h(x)0，于是 h(x)在 0，1 3 上为增函数， 所以 h(x)h 1 3 23ln3， 所以 a 的取值范围为23ln3，)
