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2、如您遇到有关课件技术方面的问题，请打开网页 或致电010-58818058；有关内容方面的问题，请致电010-58818084。 新高考2 课前双基巩固课堂考点探究教师备用习题 第二单元 函数、导数及其应用 第 12 讲函数模型及其应用 考试说明 1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具. 在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、 指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等 术语的现实含义. 3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,
3、体会人 们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义. 函数 性质 y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0) 在(0,+) 上的增减性 单调 单调 单调 增长速度越来越快越来越慢相对平稳 1.三种函数模型的性质的比较 递增递增递增 函数模型函数解析式 一次函数模型f(x)=ax+b(a,b为常数,a0) 二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0) 反比例函数模型 指数函数模型f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a0且a1,b0) 对数函数模型f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a0且a1,b0) 幂函数模型f(x)=ax+b(a
4、,b,为常数,a0,0) 2.常见的函数模型 题组一常识题 1.教材改编 函数模型y1=0.25x,y2= log2x+1,y3=1.002x,随着x的增大,增长 速度的大小关系是 .(填 关于y1,y2,y3的关系式) 解析 根据指数函数、一次函数、 对数函数的增长速度关系可得. y3y1y2 2.教材改编 在如图2-12-1所示的 锐角三角形空地中,欲建一个面积 不小于300 m2的矩形花园(阴影部 分),则其边长x(单位:m)的取值范 围是 . 10,30 图2-12-1 4.教材改编 已知某物体的温度 Q(单位:)随时间t(单位:min)的变 化规律为Q=m2t+21-t(t0且m0)
5、. 若物体的温度总不低于2 ,则m的 取值范围是. 题组二常错题 索引:审题不清致错;忽视限制条件;忽视实际问题中实际量的单位、含义、范 围等;分段函数模型的分界把握不到位. 5.一枚炮弹被发射后,其升空 高度h与时间t的函数关系式为 h=130t-5t2,则该函数的定义域 是. 解析 令h=130t-5t20,解得0t26,故所求定 义域为0,26. 0,26 6.某物体一天中的温度T是关于时 间t的函数,且T=t3-3t+60,时间单位 是小时,温度单位是,当t=0时表示 中午12时,其后t值为正,则上午8时 该物体的温度是. 解析 由题意知,上午8时即t=-4,因此 所求温度T=(-4)
6、3-3(-4)+60=8(). 8 8.已知A,B两地相距150 km,某人开 汽车以60 km/h的速度从A地到达B 地,在B地停留1 h后再以50 km/h的 速度返回A地,则汽车离开A地的距 离s(km)关于时间t(h)的函数表达式 是 . 解析 当0t2.5时,s=60t; 当2.5t3.5时,s=150; 当3.5t6.5时,s=150-50(t-3.5)=325-50t. 探究点一用函数图像刻画变化过程 例1 水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水的速度如图2-12-2甲、 乙所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示,给出以下3个论断: 图2-12-2 0时到3时只进
7、水不出水;3时到4时不进水只出水;4时到5时不进水也不出水. 则一定正确的论断是() A. B. C. D. A 思路点拨 蓄水量增加,说明进水速度大于出水速度,蓄水量减少,说明出水速 度大于进水速度,再结合具体数据进行分析. 解析 由甲、乙图得进水速度为1,出水速度为2, 0时到3时直线的斜率为2,即蓄水量每小时增加2,只进水不出水(即两个进 水口都进水),故正确; 不进水只出水1小时后,蓄水量减少2,故错误; 若两个进水口和一个出水口同时打开,则蓄水量保持不变,故不一定正确. 故选A. 总结反思 判断函数图像与实际问题变化过程是否相吻合时,首先要关注横轴 与纵轴所表达的变量的实际意义;其次
8、根据实际问题中两变量的变化快慢等特 点,结合图像变换趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实 际的答案. 图2-12-3 变式题 某公司的一品牌电子产品,2020年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月 份,公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了 促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司 2020年该产品销售量的变化情况的图像是() 解析 由题意,一月份至四月份,该产品销售量的变化情况的图像所对应的函数单调递减, 排除B,D; C 九月份,产品销量猛增,C项更符合题意.故选C. 探究点二已知函
9、数模型解决实际问题 思路点拨 利用待定系数法可以 求得相关值. D 总结反思 用已知函数解决实际问题,解题时要理解题目给出的变量的实际意 义,然后建立好数学模型,合理地运用函数的基本性质解决问题. 解:当0a20时,不等式为10aa2, 得1020时,不等式为10a400, 得20a40. 综上,不等式的解集为(10,40),其实 际意义为在相同的销售人数下,当 销售人数在10到40之间时,线上销 售的效果会比线下销售的效果好. 解:设安排线上销售x人,则安排线下销售t-x人. 当t20时,0 x20,每天的销售总台数(单位:百 台)为f(x)=x2+10(t-x), 当t20时,若0 x20
10、,则每天的销售总台数(单 位:百台)为f(x)=x2+10(t-x), 其在x=20时取得最大值,最大值为200+10t; 若x20,则每天的销售总台数(单位:百台)为 400+10(t-x), 易知g(x)20时,每天销售总台数(单位:百台)的 最大值为200+10t. 思路点拨 先表示出每辆车一天的租金, 再表示出租出的车辆数,最后表示出每天 的收入y(元)关于x的函数关系式. 探究点三构建函数模型解决实际问题 角度1构建二次函数模型 例3 某汽车租赁公司有200辆小汽 车.若每辆车一天的租金为300元, 可全部租出;若将出租收费标准每 天提高10 x元(1x50,xN*),则租 出的车辆
11、会相应减少4x辆. (1)求该汽车租赁公司每天的收入 y(元)关于x的函数关系式. 解:由题意可得每辆车一天的租金为300 +10 x元,租出的车辆有200-4x辆, 故该汽车租赁公司每天的收入y=(300+ 10 x)(200-4x)=-40 x2+800 x+60 000(1x50, xN*). 思路点拨 先由题意建立不等式-40 x 2 + 800 x+60 00063 840,再解该不等式,最后 根据不等式的解集与题意定价即可. 例3 某汽车租赁公司有200辆小汽 车.若每辆车一天的租金为300元, 可全部租出;若将出租收费标准每 天提高10 x元(1x50,xN*),则租 出的车辆会
12、相应减少4x辆. (2)若要使该汽车租赁公司每天的 收入超过63 840元,则每辆汽车的 租金可定为多少元? 解:由题意可得-40 x2+800 x+60 00063 840, 即x2-20 x+960,解得8x400时的总收益得函数f(x)的解 析式. 思路点拨 利用二次函数的最值及函数 的单调性分别求得各段的最大值,从而得 f(x)的最大值. 总结反思 (1)某些实际问题中的变量关系不能用同一个关系式给出,而是由几 个不同的关系式构成,所以应建立分段函数模型; (2)构建分段函数时,要力求准确、简捷、合理、不重不漏; (3)分段函数的最大值(或最小值)是各段最大值(或最小值)中的最大值(或
13、最小值). 变式题 某校高二(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外 读物,班委会成立了一个社会实践小组,决定利用暑假,在八 月份(按30天计算)轮流换班去销售一种时令水果.在这30天 内每斤水果的收入p(元)与时间t(天)的函数关系如图2-12-5 所示,已知日销售量Q(斤)与时间t(天)满足一次函数关系,具 体数据如下表. 图2-12-5 (1)根据提供的图像和表格,写出每斤水果的收入p(元)与时间t(天)所满足的函 数关系式及日销售量Q(斤)与时间t(天)的一次函数关系式. 第t天281624 Q(斤)38322416 变式题 某校高二(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外 读物,班委会成
14、立了一个社会实践小组,决定利用暑假,在八 月份(按30天计算)轮流换班去销售一种时令水果.在这30天 内每斤水果的收入p(元)与时间t(天)的函数关系如图2-12-5 所示,已知日销售量Q(斤)与时间t(天)满足一次函数关系,具 体数据如下表. 图2-12-5 (2)用y(元)表示销售水果的日收入,写出y与t的函数关系式,并求这30天中第几 天的收入最多?最多日收入为多少元? 第t天281624 Q(斤)38322416 【备选理由】例1属于识图的问题,解题的关键是读懂题意、看准图形,本题 考查图像在实际问题中的应用,注意根据总回报来确定哪一种方案是最优的, 由于D选项中方案三总回报无法计算,
15、可用排除法来解决此题;例2考查二次函 数的问题,同时考查函数模型的应用,这类题的关键是正确理解题意,根据所给 函数模型列式计算;例3考查了指数函数模型的应用,注意指数式的计算;例4 考查分段函数的应用及求解. 例1配合例1使用 假设你有一笔资金用于投资,现 有三种投资方案供你选择,这三种方案每天的回报如 图所示. 其中横轴为投资时间,纵轴为每天的回报,根据以上信 息,若使回报最多,下列说法错误的是( ) A.投资3天以内(含3天),采用方案一 B.投资4天,不采用方案三 C.投资8天,采用方案二 D.投资12天,采用方案二 解析 若投资3天以内(含3天),因 为每天的回报均是方案一的回 报最大
16、,故采用方案一,排除A; D 投资4天,方案三的总回报是最小 的,故不采用该方案,排除B; 投资8天,由图可得方案三的每天 回报均低于方案二的每天回报, 计算可以得到方案一的总回报 为320,方案二的总回报为10+20 +30+40+50+60+70+80=360,故 采用方案二,排除C,故选D. 例2配合例3使用 已知卡车从踩刹车到 停车所滑行的距离(m)与速度(km/h)的平方 和卡车总质量的乘积成正比关系,设某辆卡 车不装货物以60 km/h的速度行驶时,从刹车 到停车走了20 m. (1)当卡车不装货物以36 km/h的速度行驶时, 从刹车到停车所滑行的距离为多少? 例3配合例4使用
17、2020山东枣庄期末 科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产 生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14,可以通过与大气的相互作用得到补 充,所以活着的动植物组织中的碳14含量保持不变.死亡后的动植物,停止了与外界环 境的相互作用,机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变.碳14的衰变极有规律,其精 确性可以称为自然界的“标准时钟”.碳14的残余量占原始含量的比值P与生物体 死亡年数t满足P=at(a为正常数).已知碳14的“半衰期”是5730年,即碳14大约每经 过5730年就衰变为原来的一半,则a= .2020年1月10日,中国社会科学院 考古研究所发布了“2019年中国考古新发现”的7个
18、入围项目,其中位于滕州市官桥 镇大韩村东的“大韩墓地”成功入围.考古人员发现墓地中某一尸体内碳14的残余 量占原始含量的73%,则“大韩墓地”距测算之时约 年.(参考数据:lg 731.86, lg 20.3) 2674 例4配合例5使用 2020邢台二中月考 某村电费收取有以下两种方案供农户选择: 方案一:每户每月收取管理费2元,月用电量 不超过30度时,每度0.5元;超过30度时,超过 部分按每度0.6元收取; 方案二:不收取管理费,每度0.58元. (1)求方案一的收费L(x)(元)与用电量x(度) 间的函数关系式.若老王家九月份按方案一 缴费35元,问老王家该月用电多少度? 例4配合例5使用 2020邢台二中 月考 某村电费收取有以下两种方案 供农户选择: 方案一:每户每月收取管理费2元,月 用电量不超过30度时,每度0.5元;超 过30度时,超过部分按每度0.6元收取; 方案二:不收取管理费,每度0.58元. (2)老王家的月用电量在什么范围内, 选择方案一比选择方案二好?
