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3、行 a ,b,且 aba 性质 如果一条直线与一个平面平行,且经过这条直 线的平面与这个平面,那么这条直线 就与两平面的交线 a,a, =blb 证明直 线与直 线平行 一条直线与平面内的一条直线 没有公共点 相交 平行 2.平面与平面平行的判定与性质 类别语言表述图形表示符号表示应用 判定 如果一个平面内有两条分别 平行于另一个平面,那么这两个平面平 行 a,b,ab=P,a ,b 证明 平面 与平 面平 行 如果一个平面内有两条分别 平行于另一个平面内的两条, 那么这两个平面平行 a,b,ab=P,a a,bb,a,b, ab=P 垂直于的两个平面平行 a,a 相交直线 相交直线 相交直线
4、 同一条直线 类 别 语言表述图形表示符号表示应用 性 质 两个平面平行,则其中一个平面内的直线 必于另一个平面 ,aa 证明直线 与平面平 行 如果两个平行平面同时和第三个平面相 交,那么它们的平行 ,=l,=m lm 证明直线 与直线平 行 平行 交线 常用结论 1.夹在两个平行平面间的平行线段长度相等. 2.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. 3.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a,b,则ab. 4.平行于同一个平面的两个平面平行,即若,则. 5.三种平行关系的转化: 线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指 导思想,解题中既要注意一般的转化
5、规律,又要看清题目的具体条件,选择正确 的转化方向. 题组一常识题 1.教材改编已知直线a平面 ,P,那么过点P且平行于直线a的 直线有条. 解析过点P与直线a作平面,设=b, 则ab,由作图的过程可知满足条件的直 线b只有1条. 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面 与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、 面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面 A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的 平面共有个. 解析易知AA1平面BB1C1C,AA1 平面DD1C1C,AA1平面BB1D1D,所 以与棱AA1平行的平面共有3个. 3 3.教材改编如图,在正方体ABCD
6、- A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与 平面ACE的位置关系为. 解析如图,连接BD,设BDAC=O,连 接EO,在BDD1中,E为DD1的中点,O为 BD的中点,所以EO为BDD1的中位线, 所以BD1EO,又BD1 平面ACE,EO 平面ACE,所以BD1平面ACE. 平行 4.教材改编若平面截三棱锥所得 截面为平行四边形,则该三棱锥中与 平面平行的棱有条. 解析因为平行于三棱锥的两条相对 棱的平面截三棱锥所得的截面是平行 四边形,所以该三棱锥中与平面平行 的棱有2条. 2 5.教材改编如图,平面平面 ,PAB所在的平面与,分别交于 CD,AB,若PC=2,CA=3,CD=1
7、,则AB= . 题组二常错题 索引:对面面平行判定定理的条件“平面内两条相交直线”认识不清致误;忽略线面平 行的条件;对空间平行关系的相互转化条件理解不够. 6.下列条件中,能判断两个平面平行的是.(填序号) 一个平面内的一条直线平行于另一个平面; 一个平面内的两条直线平行于另一个平面; 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面; 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面. 解析由两个平面平行的判定定理可知,如果一个平面内的两条相交直线分别与另 一个平面平行,那么这两个平面平行,故不能判断两个平面平行; 当平面平面=直线l时,内有无数条与交线l平行的直线与平行,故不能判断两个平 面平行; 根据面
8、面平行的定义可知能判断两个平面平行. 7.下列说法中正确的是.(填 序号) 若a,b是两条直线,且ab,那么a平 行于经过b的任何平面; 若直线a和平面满足a,那么a与 内的任何直线平行; 平行于同一条直线的两个平面平行; 若直线a,b和平面满足 ab,a,b ,则b. 解析对于,a可以在经过b的平面内, 故错误; 对于,a与内的直线平行或异面,故 错误; 对于,两平面也可以相交,故错误; 对于,ab,a,b ,则b,故正 确. 8. (1)若直线a与平面内的无数条直 线平行,则a与的关系是 . (2)已知两条直线a,b和两个平面,若 a,b,a,b,则与的关系是 . (3)若平面平面,直线a
9、平面,则 a与的关系是. 解析 (1)由直线与平面平行的定义和判 定定理知,a可能平行于,也可能在内. (2)当a,b相交时,;当a,b平行时,与平 行或相交. (3)当a在外时,a;当a在内时也满足 条件.平行或相交 a或a 探究点一平行关系的基本问题 例1 (1),是两个不同的平面,则 的一个充分条件是() A.存在一条直线a,a,a B.存在一条直线a,a,a C.存在两条平行直线 a,b,a,b,a,b D.存在两条异面直线 a,b,a,b,a,b 思路点拨根据平行的相关定理和结论逐 项分析. 解析对于选项A,若存在一条直线 a,a,a,则或与相交,故A错误; 对于选项B,若存在一条直
10、线a,a,a,则 或与相交,故B错误; 对于选项C,若存在两条平行直线 a,b,a,b,a,b,则或与相交, 故C错误.故选D. D 思路点拨由题意作出图形,取CE的中点I, 连接AI,证出AIGH,利用线面平行的判定 定理可知GH平面ACE,又HF,GF均不与 平面ACE平行,即可得解. B B 总结反思解决空间中线面、面面平行的基本问题要注意以下几个方面:(1)判 定定理与性质定理中易忽视定理成立的条件;(2)结合题意构造或绘制图形,结 合图形作出判断;(3)举反例否定结论. 变式题 (1)在长方体ABCD- A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱 A1B1,BB1,CC1,C1D1的
11、中点,则下列结 论中正确的是 () A.AD1平面EFGH B.BD1GH C.BDEF D.平面EFGH平面A1BCD1 解析在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H分别为棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的 中点,所以EFA1B,FGBC,又 A1BBC=B,EFFG=F,所以平面EFGH 平面A1BCD1.故选D. D (2)2020沈阳质检 下列三个命题在“()”处都缺少同一个条件,补上这个 条件使其构成真命题(其中l,m为直线,为平面),则此条件是. 解析 lm,ml或l,由l l; l l ,m,lml; lm,ml或l,由l l.故答案为l . 思路点拨取AC的中
12、点O1,连接BO1,B1D1,O1D1,推导出 四边形O1BOD1为平行四边形,可得出BOO1D1,再由 线面平行的判定定理可得OB平面ACD1. 探究点二线面平行的判定与性质 角度1直线与平面平行的判定 例2 2020武汉六月模拟 将正方体 ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥D1-ACD后得 到如图所示的几何体,已知O为A1C1的中 点,求证:OB平面ACD1. 证明:取AC的中点O1,连接BO1,B1D1,O1D1. 在正方形A1B1C1D1中,O为A1C1的中点,O为B1D1的 中点.由正方体ABCD-A1B1C1D1的性质 知,OD1O1B且OD1=O1B,四边形 O1BOD1为平行
13、四边形,OBO1D1, 又OB 平面ACD1,O1D1平面ACD1, OB平面ACD1. 总结反思证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平 行的直线,解题的思路是利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性 质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行. 变式题 2021四川巴中二诊 如 图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点 D,E分别为AC,B1C1的中点. 证明:DE平面ABB1A1. 证明:方法一:如图,取BC的中点F,连接 DF,EF, 因为F是BC的中点,D是AC的中点,所以 DFAB,又E是B1C1的中点,所以EFB1B, 因为DFEF=F,ABB1B
14、=B,所以平面 DEF平面ABB1A1,因为DE平面DEF,所 以DE平面ABB1A1. 变式题 2021四川巴中二诊 如 图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点 D,E分别为AC,B1C1的中点. 证明:DE平面ABB1A1. 思路点拨根据线面平行的性质定理证得 ABPC,再证出OCP为正三角形,从而求 得结论. 角度2直线与平面平行的性质 例3 2021安徽江淮十校一联 如图, 已知圆O的直径AB长为2,上半圆的圆 弧上有一点C,COB=60,点P是弧 AC上的动点(不与A,C重合),点D是弧 AB的中点,现以AB为折线,将下半圆向 上折起,使二面角C-AB-D为直二面角, 连接PD,C
15、D.当AB平面PCD时,求线 段PC的长. 解:AB平面PCD,AB平面OCP,平面 OCP平面PCD=PC, ABPC. 由COB=60,可得OCP=60, 又OC=OP,OCP为正三角形,PC=1. 总结反思应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知 直线作辅助平面来确定交线. 思路点拨 (1)由面面平行推出线面平行即可; 探究点三面面平行的判定与性质 例4 如图所示,四边形ABCD与ADEF均为 平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中 点. 求证:(1)BE平面DMF; (2)平面BDE平面MNG. 证明:(1)如图,取DC的中点P,连接PE,PB,PM, 因
16、为四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分 别是AB,AD,EF的中点, 所以PBDM,PM AD,又AD FE,所以PM FE,所以四 边形FEPM为平行四边形,所以FMPE,因为 FMMD=M,PBPE=P,所以平面DMF平面BPE,又 BE平面BPE,所以BE平面DMF. (2)由题可知MNBD,GNDE,且 MNGN=N,DEDB=D, 所以平面BDE平面MNG. (2)由线线平行推出面面平行即可. 总结反思证明面面平行的常用方法: (1)利用面面平行的判定定理; (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l,l); (3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平
17、面,则这两个平面平 行(,). 变式题 如图所示,在三棱柱ABC- A1B1C1中,E,F,G,H分别是 AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证: (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1平面BCHG. 证明:(1)G,H分别是A1B1,A1C1的中点, GHB1C1. B1C1BC,GHBC, B,C,H,G四点共面. 变式题 如图所示,在三棱柱ABC- A1B1C1中,E,F,G,H分别是 AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证: (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1平面BCHG. 证明:(2)E,F分别是AB,AC的中点,EFBC, 又EF 平面BCHG,
18、BC平面BCHG, EF平面BCHG.G,E分别为A1B1,AB的中 点,A1B1AB且A1B1=AB,A1GEB且A1G=EB, 四边形A1EBG是平行四边形,A1EGB, 又A1E 平面BCHG,GB平面BCHG, A1E平面BCHG. 又A1EEF=E,A1E,EF平面EFA1, 平面EFA1平面BCHG. 【备选理由】例1重点考查线面平行的判定;例2综合考查线面平行、面面平行 的问题,要求学生进一步熟悉线面、面面平行的判定定理及添加辅助线的一些 技巧. 解:(1)证明:如图,连接AB1,AC1. D是A1B的中点,D是AB1的中点,又E是 B1C1的中点,DEAC1. 又DE 平面ACC1A1,AC1平面ACC1A1, DE平面ACC1A1. 证明:(2)连接FH,OH,因为F,H分别是PC,CD的中点, 所以FHPD,又FH 平面PAD,PD平面PAD,所 以FH平面PAD. 因为O是AC的中点,H是CD的中点, 所以OHAD,又OH 平面PAD,AD平面PAD,所 以OH平面PAD. 因为FHOH=H, 所以平面OHF平面PAD, 因为GH平面OHF,所以GH平面PAD.
