1、大一轮复习讲义 第七章立体几何与空间向量 7.3直线、平面平行的判定与性质 考试要求 从定义和公理出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线 与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 如 果 平 面 外 一 条 直 线 与 _的一条直线平行， 则该直线与此平面平行(简记 为“线线平行线面平行”) l 1.线面平行的判定定理和性质定理线面平行的判定定理和性质定理 知识梳
2、理 此平面内 l la a 性质 定理 一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面 与此平面的 与该直 线平行(简记为“线面平行 线线平行”) lb 交线 la l b 2.面面平行的判定定理和性质定理面面平行的判定定理和性质定理 文字语言图形语言符号语言 判定 定理 一个平面内的两条 _与另一个平 面平行，则这两个平面 平行(简记为“线面平 行面面平行”) 相交直线 a b abP a b 性质定理 如果两个平行平面 同时和第三个平面 _，那么它们 的 平行 ab 相交 交线 a b 3.平行关系中的三个重要结论平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a，a
3、，则. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若，则. (3)若，a，则a. 1.设m，l表示两条不同的直线，表示平面，若m，l，则l与m的位 置关系如何？ 微思考 提示平行或异面. 提示平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平 行”，这就是面面平行的判定定理. 2.一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应 平行，那么这两个平面平行吗？ 题组一思考辨析题组一思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个 平面.() (2)若直线a平面，P，则过点P且平行于直线a的直线有无数条.
4、() (3)若直线a平面，直线b平面，ab，则.() (4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或 异面.() 基础自测 题组二教材改编题组二教材改编 2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的 中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_. 平行 解析连接BD，则ACBDO，连接OE(图略)， 则OEBD1，OE平面ACE，BD1平面ACE， BD1平面ACE. 3.已知不重合的直线a，b和平面， 若a，b，则ab； 若a，b，则ab； 若ab，b，则a； 若ab，a，则b或b. 上面命题中正确的是_(填序号). 解析若a，b，则ab或异面，错； 若a，b，则a
5、b，或异面或相交，错； 若ab，b，则a或a，错； 若ab，a，则b或b，对. 4.在长方体ABCDA1B1C1D1中，过直线AC1的平面交直线BB1于点E， 交直线DD1于点F，则四边形AEC1F的形状为_. 平行四边形 解析由面面平行的性质定理可得AEC1F，AFC1E. 故四边形AEC1F为平行四边形. 题组三易错自纠题组三易错自纠 5.已知直线a，b和平面，若a，b，a，b，则，的位 置关系是_.平行或相交 6.考查下列两个命题，在“_”处都缺少同一个条件，补上 这个条件使其构成真命题(其中a，b为不同的直线，为不重合的平 面)，则此条件为_. a 解析根据线面平行的判定定理可知，判断
6、线面平行需要三个条件：面 内一线，面外一线，线线平行，分析已知中的条件，可知缺少的条件 是“a为平面外的直线”， 同样缺少平面外直线.故答案为：a . TIXINGTUPO HEXINTANJIU2题型突破 核心探究 命题点1直线与平面平行的判定 例1如图，PA矩形ABCD所在的平面，E，F分 别为AB，PD的中点. 求证：AF平面PCE. 题型一直线与平面平行的判定与性质 多维探究 证明方法一如图，设M为PC的中点，连接EM，MF， E是AB的中点， AE綊FM，四边形AEMF是平行四边形， AFEM， 又AF 平面PCE，EM平面PCE， AF平面PCE. 方法二如图，设G为CD的中点，连
7、接FG，AG， F，G分别为PD，CD的中点， FGPC.同理AGEC， 又FG 平面PCE，AG 平面PCE， PC平面PCE，EC平面PCE， FG平面PCE，AG平面PCE， 又FG，AG平面AFG，FGAGG， 平面AFG平面PCE，又AF平面AFG， AF平面PCE. 命题点2直线与平面平行的性质 例2如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形 ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取 一点G，过G和PA作平面交BD于点H. 求证：PAGH. 证明如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM， 四边形ABCD是平行四边形， O是AC的中点， 又M是PC的中点， PAOM， 又OM平面
8、BMD，PA 平面BMD， PA平面BMD， 又平面PAHG平面BMDGH， PAGH. (1)判断或证明线面平行的常用方法 利用线面平行的定义(无公共点). 利用线面平行的判定定理(a ，b，aba). 利用面面平行的性质(，aa). 利用面面平行的性质(，a ，aa). (2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已 知直线作辅助平面确定交线. 思维升华 跟踪训练1如图，四边形ABCD是矩形，P 平面ABCD，过BC作平 面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形. 证明四边形ABCD为矩形，BCAD. AD平面PAD，BC 平面PAD， BC平面
9、PAD. 平面BCFE平面PADEF，BC平面BCFE， BCEF. ADBC，ADEF，BCEF， 四边形BCFE是梯形. 例3如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F， G分别为B1C1，A1B1，AB的中点. (1)求证：平面A1C1G平面BEF； 题型二平面与平面平行的判定与性质 师生共研 证明E，F分别为B1C1，A1B1的中点， EFA1C1， A1C1平面A1C1G，EF平面A1C1G， EF平面A1C1G， 又F，G分别为A1B1，AB的中点，A1FBG， 又A1FBG，四边形A1GBF为平行四边形， 则BFA1G， A1G平面A1C1G，BF平面A1C1G， BF平面A1C
10、1G， 又EFBFF，EF，BF平面BEF，平面A1C1G平面BEF. (2)若平面A1C1GBCH，求证：H为BC的中点. 证明平面ABC平面A1B1C1， 平面A1C1G平面A1B1C1A1C1， 平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的 直线，设交BC于点H， 则A1C1GH，得GHAC， G为AB的中点， H为BC的中点. 证明面面平行的方法 (1)面面平行的定义. (2)面面平行的判定定理. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行. (5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化. 思维升华 跟踪训练2如图，
11、四棱柱ABCDA1B1C1D1的底 面ABCD是正方形. (1)证明：平面A1BD平面CD1B1； 证明由题设知BB1綊DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形， 所以BDB1D1. 又BD 平面CD1B1，B1D1平面CD1B1， 所以BD平面CD1B1. 因为A1D1綊B1C1綊BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1BD1C. 又A1B 平面CD1B1，D1C平面CD1B1，所以A1B平面CD1B1. 又因为BDA1BB，BD，A1B平面A1BD，所以平面A1BD平面CD1B1. (2)若平面ABCD平面B1D1C直线l，证明B1D1l. 证明由(1)知平面A1BD平面
12、CD1B1， 又平面ABCD平面B1D1C直线l， 平面ABCD平面A1BD直线BD， 所以直线l直线BD， 在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形， 所以B1D1BD，所以B1D1l. 例4如图，四边形ABCD是边长为3的正方形， DE平面ABCD，AF平面ABCD，DE3， AF1. (1)证明：平面ABF平面DCE； 题型三平行关系的综合应用 师生共研 证明DE平面ABCD，AF平面ABCD， DEAF， 又DE平面DCE，AF 平面DCE， AF平面DCE， 四边形ABCD是正方形，ABCD， 又CD平面DCE，AB 平面DCE， AB平面DCE， ABAF
13、A，AB平面ABF，AF平面ABF， 平面ABF平面DCE. (2)在DE上是否存在一点G，使平面FBG将几何体 ABCDEF分成上、下两部分的体积比为35？若存 在，求出点G的位置；若不存在，请说明理由. 解存在点G，满足题意，理由如下：假设存在一点G， 过G作MGBF交EC于M，连接BG，BM，FG，如图， 即4t28t210， 即G为ED的中点时满足条件. 解决这种数值或存在性问题的题目时，注意先给出具体的值或先假设存 在，然后再证明. 思维升华 (1)求证：PQ平面A1D1DA； 证明连接CP并延长与DA的延长线交于M点，如图，连接MD1， 因为四边形ABCD为正方形， 所以BCAD，
14、 故PBCPDM， 所以PQMD1. 又MD1平面A1D1DA，PQ 平面A1D1DA， 故PQ平面A1D1DA. (2)若R是AB上的点， 的值为多少时，能使平面PQR平面A1D1DA？ 请给出证明. 所以PRDA. 又DA平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA， 所以PR平面A1D1DA， 又PQ平面A1D1DA，PQPRP，PQ，PR平面PQR， 所以平面PQR平面A1D1DA. KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.(2021哈尔滨市第九中学模拟)平面平面的一个充分条件是 A.存在一条直线a，a，a B.存在一条直线a，a，a C.存在两条平行直线a，b，a，b，a，b D.存
15、在两条异面直线a，b，a，b，a，b 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 解析对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行.故A 不对； 对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平 行，故B不对； 对于C，两个平面中的两条直线分别平行于另一个平面，不能保证两个 平面平行，故C不对； 对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可 以保证两个平面平行，故D正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.(2021泸州诊断)已知a，b是互不重合的直线，是互不重合的平 面，下列四个命题中正确的是
16、A.若ab，b，则a B.若a，a，b，则ab C.若a，则a D.若a，a，则 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析A选项，若ab，b，则a或a，所以A选项错误； B选项，若a，a，b，则ab，所以B选项正确； C选项，若a，则a或a，所以C选项错误； D选项，若a，a，则或b，所以D选项错误. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.(2020金华十校联考)已知在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别为AC， B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点，则直线MN与直线EF、
17、平面 ABB1A1的位置关系分别为 A.平行、平行 B.异面、平行 C.平行、相交 D.异面、相交 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析在三棱柱ABCA1B1C1中， M，N分别为AC，B1C1的中点，E，F分别为BC，B1B的中点， EF平面BCC1B1，MN平面BCC1B1N，N EF， 由异面直线判定定理得直线MN与直线EF是异面直线； 取A1C1的中点P，连接PM，PN，如图， 则PNB1A1，PMA1A， AA1A1B1A1，PMPNP， 平面PMN平面ABB1A1， MN平面PMN， 直线MN与平面ABB1A1平行. 12345678910 11 12
18、13 14 15 16 4.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1， BB1，CC1，C1D1的中点，则必有 A.BD1GH B.BDEF C.平面EFGH平面ABCD D.平面EFGH平面A1BCD1 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析选项A，由中位线定理可知GHD1C，因 为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平 行，所以BD1，GH不可能互相平行，故A选项是 错误的； 选项B，由中位线定理可知EFA1B，因为过直线外一点有且只有一条 直线与已知直线平行，所以BD，EF不可能互相平行，故B选项是错误的； 选项C，由中位线定
19、理可知EFA1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故 直线EF与平面ABCD也相交，故平面EFGH与平面ABCD相交，故C选项 是错误的； 12345678910 11 12 13 14 15 16 选项D，由三角形中位线定理可知EFA1B， EHA1D1，所以有EF平面A 1BCD1， EH平面A1BCD1，而EFEHE，因此平 面EFGH平面A1BCD1，故本题选D. 5.(多选)(2020青岛市58中模拟)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长 为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则 A.直线D1D与直线AF垂直 B.直线EF与直线AD1平行 C.平面AEF截正方体所得
20、的截面面积为 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析A项，若D1DAF，又因为D1DAE且AEAFA， 所以DD1平面AEF， 所以DD1EF， 所以CC1EF，显然不成立，故结论错误； B项，直线EF直线BC1， 又直线BC1直线AD1， 所以EFAD1，故结论正确； C项，如图所示，连接D1F，D1A， 延长D1F，AE交于点S， 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为E，F分别为BC，C1C的中点， 所以EFBC1， 又BC1AD1， 所以EFAD1， 所以A，E，F，D1四点共面， 所以截面即为梯
21、形AEFD1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 1 AD S S 12345678910 11 12 13 14 15 16 D项，设点C与点G到平面AEF的距离分别为h1，h2， h1h2，故结论错误. 1 AEFD S梯形 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水， 固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下 面几个结论，其中正确的是 A.没有水的部分始终呈棱柱形 B.水面EFGH所在四边形的面积 为定值 C.随着容器倾斜程度的不同，A1C1始
22、终与水面所在平面平行 D.当容器倾斜如图(3)所示时，AEAH为定值 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知A正确； 由题图可知水面EFGH的边EF的长保 持不变，但邻边的长却随倾斜程度而 改变，可知B错误； 因为A1C1AC，AC平面ABCD，A1C1 平面ABCD，所以A1C1平面 ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在 平面，故C错误； 12345678910 11 12 13 14 15 16 当容器倾斜如题图(3
23、)所示时，因为水的体积是不变的， 所以棱柱AEHBFG的体积V为定值， 又VSAEHAB，高AB不变，所以SAEH也不变， 即AEAH为定值，故D正确 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的 四个面中与MN平行的是_. 平面ABC，平面ABD 解析如图，连接AM并延长交CD于点E，连接BN并延长交CD于点F， 由重心性质可知，E，F重合，且E为CD的中点， MNAB，又AB平面ABD，MN 平面ABD， MN平面ABD，又AB平面ABC，MN 平面ABC， MN平面ABC. 12345678910 11
24、12 13 14 15 16 8.设，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“ m，n，且_，则mn”中的横线处填入下列三组条件中的 一组，使该命题为真命题. ，n；m，n；n，m. 可以填入的条件有_(填序号). 或 解析由面面平行的性质定理可知，正确； 当m，n时，n和m可能平行或异面，错误； 当n，m时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以mn，正 确. 9.在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中 点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_时，有平面 D1BQ平面PAO. 12345678910 11 12 13 14 15 16 Q为CC
25、1的中点 解析如图所示，设Q为CC1的中点， 因为P为DD1的中点，所以QBPA. 连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点， 所以D1BPO， 又D1B 平面PAO，QB 平面PAO，PO平面PAO，PA平面PAO， 所以D1B平面PAO，QB平面PAO， 又D1BQBB，D1B，QB平面D1BQ， 所以平面D1BQ平面PAO. 故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ平面PAO. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 10.如图是一几何体的平面展开图，其中四边 形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P3A，
26、 P2D，P4C，P4B的中点，在此几何体中，给出 下面五个结论：平面EFGH平面ABCD； PA平面BDG；EF平面PBC；FH 平面BDG；EF平面BDG. 其中正确结论的序号是_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析先把平面展开图还原为一个四棱锥，如图所示. E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点， EFAD，GHBC， ADBC，EFGH， EF，GH确定平面EFGH， EF平面EFGH，AD 平面EFGH， AD平面EFGH， 同理AB平面EFGH，ABADA，AB，AD平面ABCD， 平面EFGH平面ABCD，所以正确； 1234567891
27、0 11 12 13 14 15 16 连接AC，BD交于O点， 则O为AC的中点，连接OG，G为PC的中点， OGPA，OG平面BDG， PA 平面BDG，PA平面BDG，正确； 同同理可证EF平面PBC，正确； 同同理可证FH平面BDG，正确； EFGH，GH与平面BDG相交， EF与平面BDG相交， 不正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBC AD，E，F，H分 别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点. (1)求证：AP平面BEF； 所以BCAE，BCAE， 所以四边形ABCE
28、是平行四边形， 所以O为AC的中点. 又因为F是PC的中点， 所以FOAP， 因为FO平面BEF，AP平面BEF， 所以AP平面BEF. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求证：GH平面PAD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明连接FH，OH，因为F，H分别是PC， CD的中点，所以FHPD， 因为PD平面PAD，FH平面PAD， 所以FH平面PAD. 又因为O是BE的中点，H是CD的中点，所以OHAD， 因为AD平面PAD，OH平面PAD，所以OH平面PAD. 又FHO
29、HH，FH，OH平面OHF，所以平面OHF平面PAD. 又因为GH平面OHF，所以GH平面PAD. 12.(2021银川市长庆高级中学模拟)如图，在四棱锥SABCD中， ADCBCD90，ADDCSA BC2，点E，G分别在线段 SA，AD上，且SEAE，AGGD，F为棱BC上一点，且CF1. 12345678910 11 12 13 14 15 16 证明：平面SCD平面EFG. 证明因为点E，G分别在线段SA，AD上， 且SEAE，AGGD， 故EGSD， 又EG平面SCD，SD平面SCD， 故EG平面SCD； 因为ADCBCD90， 故ADBC，因为GDFC1， 故四边形GDCF为平行四
30、边形，故GFCD； 12345678910 11 12 13 14 15 16 又GF平面SCD，CD平面SCD， 故GF平面SCD， 因为GF平面EFG，EG平面EFG，EGFGG， 所以平面SCD平面EFG. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 13.(多选)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1， BC的中点，点P在BD1上且BP BD1.则以下四个说法中正确的是 A.MN平面APC B.C1Q平面APC C.A，P，M三点共线 D.平面MNQ平面APC 12
31、345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于A项，连接MN，AC， 则MNAC，连接AM，CN， 易得AM，CN交于点P， 即MN平面APC，所以MN平面APC是错误的； 对于B项，由A项知M，N在平面APC上， 由题易知ANC1Q，AN平面APC， 所以C1Q平面APC是正确的； 对于C项，由A项知A，P，M三点共线是正确的； 对于D项，由A项知MN平面APC， 又MN平面MNQ，所以平面MNQ平面APC是错误的. 14.在三棱锥PABC中，PB6，AC3，G为PAC的重心，过点G作三 棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为_. 12345678910 1
32、1 12 13 14 15 16 8 解析如图，过点G作EFAC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作 ENPB交AB于点N，过点F作FMPB交BC于点M，连接MN， 所以截面的周长为248. 则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.(2021合肥市第一中学模拟)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点 M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运 动，且PA1平面AMN，则PA1的长度范围为 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析取B
33、1C1的中点E，BB1的中点F，连接A1E， A1F，EF， 取EF的中点O，连接A1O，如图所示， 点M，N分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1 中棱BC，CC1的中点， AMA1E，MNEF， AMMNM，A1EEFE，AM，MN平面AMN，A1E，EF平面A1EF， 平面AMN平面A1EF， 12345678910 11 12 13 14 15 16 动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动， 且PA1平面AMN， 点P的轨迹是线段EF， A1OEF， 当P与O重合时，PA1的长度取最小值A1O， 12345678910 11 12 13 14 15 16 当P与E(或F)
34、重合时，PA1的长度取最大值A1E或 A1F， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.(2021宜昌调研)如图，在四棱锥PABCD 中，侧棱PA平面ABCD，四边形ABCD是直角 梯形，BCAD，ABAD，PAAB2，AD 3BC3，E在棱AD上，且AE1，若平面CEF 与棱PD相交于点F，且平面CEF平面PAB. 解平面CEF平面PAB， 且平面CEF平面PADEF，平面PAB平面PADPA， PAEF， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求点F到平面PBC的距离. 解F为PD的三等分点， 12345678910 11 12 13 14 15 16 设D到平面PBC的距离为h， PA平面ABCD， PABC， 又BCAD，ABAD，BCAB， PAABA，PA，AB平面PAB， BC平面PAB，BCPB， 由等体积法得VDPBCVPBCD， 12345678910 11 12 13 14 15 16 PAAB2，AD3BC3， 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
