1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 极值点偏移的问题极值点偏移的问题 2 1212 ( )ln,( 1( )1 1 21( )() 3( ), f xxax a f xxxa af mf m f xx xxxe 1.已知为常数） （）若函数在处的切线与 轴平行，求 的值； （ ）当时，试比较与的大小； （ ）有两个零点证明： 2 1212 ( )ln 1 2, f xxax x xxxe 变式：已知函数，a为常数。 （ ） 讨论f(x)的单调性； （ ）若有两个零点，试证明： 2 012120 ( )+sin,(0,1); 2 (1)( ) ()(),2 x f xxaxx f xa f
2、 xf xxxx 2.已知 若在定义域内单调递增，求 的取值范围； （2）当a=-2时，记f(x)取得极小值为f(x )若求证 2 12121212 1 ( )ln -,() 2 (1)(1 = 51 ,0, 2 f xxaxx aR f x xf xf xx xxx 3.已知 若）0，求函数f(x)的最大值； （2）令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的单调区间； （3）若a=-2,正实数满足（ ）证明： 2 1212 2(1) 1 (1)1 , x x x xxe 4.设a0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx- 证明：当时，g(x)0恒成立； （2）若函数f(x)
3、无零点，求实数a的取值范围； （3）若函数f(x)有两个相异零点x求证：x 1212 3 12 ( )2ln , 1( ) 2( ), 8 f xxaaxaR f x f xx xxx xxa 5.已知常数。 （）求的单调区间； （ ）有两个零点，且； (i)指出a的取值范围，并说明理由；（ii)求证： 6.设函数( )e() x f xaxa aR，其图象与x轴交于 1 (0)A x ， 2 (0)B x ，两点，且 x1x2 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 （1）求a的取值范围； （2）证明： 12 0fx x（( )fx为函数( )f x的导函数） ； （3）设点 C 在函数(
4、 )yf x的图象上，且ABC 为等腰直角三角形，记 2 1 1 1 x t x ，求(1)(1)at的 值 【解】 （1）( )exfxa 若0a， 则( )0fx， 则函数( )f x是单调增函数， 这与题设矛盾 所以0a ， 令( )0fx， 则lnxa 当lnxa时，( )0fx，( )f x是单调减函数；lnxa时，( )0fx，( )f x是单调增函数； 于是当lnxa时，( )f x取得极小值 因为函数( )e() x f xaxa aR的图象与x轴交于两点 1 (0)A x ， 2 (0)B x ，(x1x2)， 所以(ln )(2ln )0faaa，即 2 ea . 此时，存
5、在1ln(1)e0af，； 存在 3 3lnln(3ln )3 lnaafaaaaa， 32 30aaa， 又由( )f x在(ln )a，及(ln)a ，上的单调性及曲线在 R 上不间断，可知 2 ea 为所求取值范围. （2）因为 1 2 1 2 e0 e0 x x axa axa ， ， 两式相减得 21 21 ee xx a xx 记 21 (0) 2 xx s s ，则 12 12 212 12 2 21 eee e2(ee ) 22 xx xx xx ss xx fs xxs ，设( )2(ee ) ss g ss ， 则( )2(ee )0 ss g s ，所以( )g s是单调
6、减函数， 则有( )(0)0g sg，而 12 2 e 0 2 xx s ，所以 12 0 2 xx f 又( )exfxa是单调增函数，且 12 12 2 xx x x 所以 12 0fx x （3）依题意有e0 i x i axa，则(1)e0 i x i a x 112 i xi（， ） 于是 12 2 12 e(1)(1) xx axx ，在等腰三角形 ABC 中，显然 C = 90，所以 12 012 () 2 xx xxx ，即 00 ()0yf x， 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 由直角三角形斜边的中线性质，可知 21 0 2 xx y ， 所以 21 0 0 2 x
7、x y ，即 12 21 2 12 e()0 22 xx xx a xxa ， 所以 21 1212 (1)(1)()0 22 xx a axxxxa ， 即 21 1212 (1)(1) (1)(1)(1)(1)0 22 xx a axxxx 因为 1 10 x ，则 2 221 11 1 1 111 10 1212 x xxx a a xx ， 又 2 1 1 1 x t x ，所以 221 (1)(1)0 22 a attt， 即 2 1 1 a t ，所以(1)(1)2.at 7.已知函数( )() x f xxcxR （）求函数( )f x的单调区间和极值； （）已知函数( )yg
8、x的图象与函数( )yf x的图象关于直线1x 对称，证明当1x 时， ( )( )f xg x （）如果 12 xx，且 12 ()()f xf x，证明 12 2xx （）解：f( )(1) x xx e 令 f(x)=0,解得 x=1 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表 X (,1) 1 (1,) f(x)+0- f(x) 极大值 所以 f(x)在(,1)内是增函数，在(1,)内是减函数。 函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)= 1 e （）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) 2x e 令 F(x)=f(x)-g(x
9、),即 2 ( )(2) xx F xxexe 于是 22 ( )(1)(1) xx F xxee 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 当 x1 时，2x-20,从而 2x-2 e10,0,F x e 又所以(x)0,从而函数 F（x）在1,+)是增函数。 又 F(1)= -1-1 ee0 ，所以x1时，有F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x). )证明： （1） 若 121212 (1)(1)0,),1.xxxxxx 12 由（ ）及f(xf(x则与矛盾。 （2）若 121212 (1)(1)0,),.xxxxxx 12 由（ ）及f(xf(x得与矛盾。 根据（1） （2）得 12
10、12 (1)(1)0,1,1.xxxx不妨设 由（）可知，) 2 f(x) 2 g(x,则) 2 g(x=) 2 f(2-x，所以) 2 f(x) 2 f(2-x,从而) 1 f(x) 2 f(2-x.因 为 2 1x ，所以 2 21x，又由（）可知函数 f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以 1 x 2 2x,即 12 xx2. 8. 已知函数xaaxxxf)2(ln)( 2 （12 分） (I)讨论 f(x)的单调性； （II）设 a0，证明：当 a x 1 0时， ) 1 () 1 (x a fx a f ； （III）若函数 y= f(x)的图像与 x 轴交于 A、B 两点，线段
11、AB 中点的横坐标为 x0，证明：f(x0)0 时 f(x) f(x)即可。 1)1( 11 1 1 1 )()( 2 222 xex x e e x x e x x xfxf x x xx 。 1)21 ()( 0,1)1 ()( 22 xx exxgxxexxg令。 , 04)21 ()( 1)21 ()( 222 xxx xeexxhexxh令 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 0)0()(0)(hxhxhy）上单调递减，在（ 0)0()(0)(gxgxgy）上单调递减，在（ . 0001)1( 1 2 2 yxxex x e y x x 时）上单调递减，但，在（ )()(0)(
12、)(xfxfxfxf . 0)()( 212121 xxxxxfxf时，且所以，当 10.已知函数 2 ( )lnf xaxx. （1）当2a 时，求函数( )yf x在 1 ,2 2 上的最大值； （2）令( )( )g xf xax，若( )yg x在区间(0,3)上不单调，求a的取值范围； （3）当 2a 时，函数 ( )( )h xf xmx 的图象与x轴交于两点 12 ( ,0), (,0)A xB x ，且 12 0 xx ， 又 ( )h x 是 ( )h x 的导函数.若正常数 , 满足条件 1, .证明： 12 ()0hxx 解（1）, 22 2 2 )( 2 x x x x
13、 xf 函数 )(xfy 在 2 1 ,1是增函数，在1,2是减函数，3 分 所以111ln2) 1 ()( 2 max fxf4 分 （2）因为axxxaxg 2 ln)(，所以ax x a xg2)(，5 分 因为 )(xg 在区间 )3 , 0( 上不单调，所以0)( x g在（0，3）上有实数解，且无重根， 由0)( x g，有 1 2 2 x x a=) 2 9 , 0(4) 1 1 1(2 x x， （)3 , 0(x）6 分 又当8a时，0)( x g有重根2x，7 分 综上 a ) 2 9 , 0(8 分 （3）mx x xh2 2 )( ，又 0)( mxxf 有两个实根 2
14、1,x x， 0ln2 0ln2 2 2 22 1 2 11 mxxx mxxx ，两式相减，得)()()ln(ln2 21 2 2 2 121 xxmxxxx， )( )ln(ln2 21 21 21 xx xx xx m ,10 分 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 于是 )( )ln(ln2 )(2 2 )( 21 21 21 21 21 21 xx xx xx xx xx xxh )(12( )ln(ln22 12 21 21 21 xx xx xx xx 11 分 0)(12(, 12, 12 xx 要证：0)( 21 xxh，只需证： 0 )ln(ln22 21 21 21 xx xx xx 只需证： 0ln 2 1 21 21 x x xx xx (*) 12 分 令 ) 1 , 0( 2 1 t x x ，(*)化为 0ln 1 t t t ，只证 0 1 ln)( t t ttu 即可( )u t在（0，1） 上单调递增， 0 1 ln, 0) 1 ()( t t tutu ，即 0ln 2 121 x x t xx 0)( 21 xxh14 分
