1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 一、一、考点回顾考点回顾 化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或 已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。转化是将数学命题由一种形式向另一种形 式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。化 归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和 解题过程的各个环节中。转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不 等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。 应
2、用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。常见的转化有： 1、等与不等的相互转化、等与不等的相互转化 等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率； 把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。 2、正与反的相互转化、正与反的相互转化 对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。 3、特殊与一般的相互转化、特殊与一般的相互转化 对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在 一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。 4、整体与
3、局部的相互转化、整体与局部的相互转化 整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。 5、高维与低维的相互转化、高维与低维的相互转化 事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有 一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。 6、数与形的相互转化、数与形的相互转化 通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。 7、函数与方程的转化、函数与方程的转化 二、二、经典例题剖析经典例题剖析 例 1、设0a， 2 ( )1ln2 ln (0)f xxxax x （）令( )( )F xxf
4、x，讨论( )F x在(0)， 内的单调性并求极值； （）求证：当1x 时，恒有 2 ln2 ln1xxax 解析：（）讨论( )F x在(0)， 内的单调性并求极值只需求出( )F x的导数( )F x即可解决； 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 （）要证当1x 时，恒有 2 ln2 ln1xxax，可转化为证1x 时 2 ln2 ln10 xxax ，亦即转 化为1x 时( )0f x 恒成立；因(1)0f，于是可转化为证明( )(1)f xf，即( )f x在(1,)上单调递 增，这由（）易知。 答案：（）解：根据求导法则有 2ln2 ( )10 xa fxx xx ， 故( )
5、( )2ln20F xxfxxxax， 于是 22 ( )10 x F xx xx ， 列表如下： x(0 2)， 2(2)， ( )F x0 ( )F x 极小值(2)F 故知( )F x在(0 2)，内是减函数，在(2)，内是增函数， 所以，在2x 处取得极小值(2)22ln22Fa （）证明：由0a知，( )F x的极小值(2)22ln220Fa 于是由上表知，对一切(0)x，恒有( )( )0F xxfx 从而当0 x 时，恒有( )0fx，故( )f x在(0)，内单调增加 所以当1x 时，( )(1)0f xf，即 2 1 ln2 ln0 xxax 故当1x 时，恒有 2 ln2
6、ln1xxax 点评：对于证明( )( )f xg x在区间( , )a b恒成立问题，常运用化归转化思想转化为证明 ( )( )0f xg x在区间( , )a b上恒成立，令( )( )( )h xf xg x，即可转化为在( , )a b上 min ( )0h x，这 样只需求出( )h x在区间( , )a b上的最小值即可解决之。这种化归转化的思想方法在近几年高考中经常用 到。 例、设数列 n a的首项 1 1 3 (01)2 3 4 2 n n a aan ， ， ， （1）求 n a的通项公式；（2）设32 nnn baa，证明 1nn bb ，其中n为正整数 高中数学教学精品论
7、文高中数学教学精品论文 解： 方法二：由（1）可知 3 01 2 nn aa， 因为 1 3 2 n n a a ，所以 111 (3) 32 2 nn nnn aa baa 由1 n a 可得 2 3 (32) 2 n nn a aa ， 即 2 2 3 (32) 2 n nnn a aaa 两边开平方得 3 32 2 n nnn a aaa 即 1nn bbn ，为正整数 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 例、 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点( 4 0)A ，和(4 0)C，顶点B在椭圆 22 1 259 xy 上，则 sinsin sin AC B _ 例、若一条直线
8、与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则cos_ 解：不妨认为这个正四棱柱为正方体，与正方体的所有面成角相等时，为与相交于同一顶点的三个相 互垂直的平面所成角相等，即为对角线与该正方体所成角.故 26 cos 33 . 点评：象这种“特殊与一般的相互转化”在高考的选择题和填空题中经常应用 例、已知函数 3 ( )f xxx （1）求曲线( )yf x在点( )M tf t，处的切线方程； （2）设0a ，如果过点()ab，可作曲线( )yf x的三条切线，证明：( )abf a 解析： （1） 通过求导得出切线的斜率， 从而由点斜式较易写出切线方程； （2） 由 （1） 易得过点()ab， 的曲线
9、( )yf x的切线方程( )0g t ，曲线( )yf x有三条切线可转化为方程( )0g t 有三个相异的实 数根，即函数( )yg t有三个零点，故只需( )g t的极大值大于零且( )g t的极小值小于零。 答案：解：（1）( )f x的导数 2 ( )31xx f 曲线( )yf x在点( )M tf t，处的切线方程为： ( )( )()yf tf txt，即 23 (31)2ytxt （2）如果有一条切线过点()ab，则存在t，使 23 (31)2btat 若过点()ab，可作曲线( )yf x的三条切线， 则方程 32 230tatab有三个相异的实数根 记 32 ( )23g
10、 ttatab，则 2 ( )66g ttat6 ()t ta 当t变化时，( )( )g tg t，变化情况如下表： t(0)，0(0)a，a()a ， 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 ( )g t 00 ( )g t增函数 极大值 ab 减函数 极小值 ( )bf a 增函数 由( )g t的单调性，当极大值0ab或极小值( )0bf a时，方程( )0g t 最多有一个实数根； 当0ab时，解方程( )0g t 得 3 0 2 a tt，即方程( )0g t 只有两个相异的实数根； 当( )0bf a时，解方程( )0g t 得 2 a tta ，即方程( )0g t 只有两个
11、相异的实数根 综上，如果过()ab，可作曲线( )yf x三条切线，即( )0g t 有三个相异的实数根，则 0 ( )0. ab bf a ， 即( )abf a 点评：将证明不等式的问题通过等价转化化归为函数的极值问题来讨论，这是近年来高考试题中常出 现的一种类型。 例、已知函数( )exf xkxxR， （）若ek ，试确定函数( )f x的单调区间； （）若0k ，且对于任意xR，()0fx 恒成立，试确定实数k的取值范围； 解析：（）求出( )f x的导函数，易得( )f x的单调区间； （） 易知()fx是偶函数， 于是()0fx 对任意xR成立可等价转化为( )0f x 对任意0
12、 x成 立，进一步转化为( )f x在0)，上的最小值大于零，从而求出实数k的取值范围。 答案：解：（）由ek 得( )ee x f xx，所以( )ee x fx 由( )0fx得1x ，故( )f x的单调递增区间是(1)， 由( )0fx得1x ，故( )f x的单调递减区间是(1)， （）由()()fxfx可知()fx是偶函数 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 于是()0fx 对任意xR成立等价于( )0f x 对任意0 x成立 由( )e0 x fxk得lnxk 当(01k ，时，( )e10(0) x fxkkx 此时( )f x在0)，上单调递增 故( )(0)10f x
13、f ，符合题意 当(1)k ，时，ln0k 当x变化时( )( )fxf x，的变化情况如下表： x(0 ln )k，lnk (ln)k ， ( )fx0 ( )f x单调递减极小值单调递增 由此可得，在0)，上，( )(ln )lnf xfkkkk 依题意，ln0kkk，又11ekk ， 综合，得，实数k的取值范围是0ek 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 （一）选择题： 1. 若函数34)( 2 axaxxf的定义域为 R，则实数a的取值范围是 A 4 3 , 0(B) 4 3 , 0(C 4 3 , 0D) 4 3 , 0 2. 函数) 1 1 2 lg( x y的图象关于（）
14、A、原点对称B、x 轴对称C、y 轴对称D、直线 yx 对称 3. 若a、b满足1 22 ba，则)1)(1 (abab有 A最小值 2 1 和最大值 1B最小值 4 3 和最大值 1 C最小值 4 3 但无最大值D最大值 1，但无最小值 4. 若关于x的不等式xk )1 ( 2 4 k4 的解集是 M，则对任意实常数k，总有：（） A、2M，0M； B、2M，0M； C、2M，0M； D、2M，0M 5.若不等式 x2ax10 对于一切 x（0， 1 2 ）成立，则 a 的取值范围是 _ 6. 若03) 1()3( 22 yxyx，则点),(yxM的轨迹是 A圆B椭圆C双曲线D抛物线 （二）
15、填空题： 7. P（x，y）在直线 x2y30 上运动，则 x2y2的最小值是_ 8. 在6，4，2，0，1，3，5，7 这 8 个数中，任取两个不同的数分别作为虚数abi的实部和虚 部，则所组成的所有不同虚数中，模大于 5 的虚数的个数是_ （三）解答题： 9.已知函数 2 ( )2sin3cos2 4 f xxx ， 4 2 x ， 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 （I）求( )f x的最大值和最小值； （II）若不等式( )2f xm在 4 2 x ，上恒成立，求实数m的取值范围 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 解析答案：解析答案： 1. C解析：函数34)( 2 a
16、xaxxf的定义域为 R， 2 430axax对xR恒成立。 当0a 时有30对xR恒成立，符合题意；当0a 时，要使 2 430axax对xR恒成立，必须 0a 且 2 16120aa ，解得 3 0 4 a。 综上 3 0, 4 a，故选 C. 2. A解析：函数定义域满足 2 10( 1,1), 1 x x 2 ()( )lg1 1 fxf x x 211 lg1lglg10, 111 xx xxx ， ()( )fxf x f(x)为奇数，选 A 3. B解析：因a、b满足1 22 ba，故可设cos ,sinab，, 2 2 ， 则)1)(1 (abab 2 117 (1 cos s
17、in )(1 cos sin )1sin 2cos4 488 ， 所以)1)(1 (abab的最大值为 1，最小值为 4 3 ，故选 B。 4. A解析：方法 1：代入判断法，将2,0 xx分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是 否为R； 方法 2：求出不等式的解集：xk )1 ( 2 4 k4 4 22 min 222 455 (1)2(1)22 5 2 111 k xkxk kkk ；故选 A。 5.解析：设 f（x）x2ax1，则对称轴为 x 2 a ，若 2 a 1 2 ，即 a1 时，则 f（x） 在0， 1 2 上是减函数，应有 f（ 1 2 ）0 5 2 x 1； 若 a 2
18、 0，即 a0 时，则 f（x）在0， 1 2 上是增函数，应有 f（0）10 恒成立，故 a0 若 0 a 2 1 2 ，即1a0，则应有 f（ a 2 ） 222 aaa 110 424 恒成立，故1a0 综上，有 5 2 a 。 6. C解析：由03) 1() 3( 22 yxyx得 22 (3)(1) 2 3 2 xy xy ，由双曲线的定义知点 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 ),(yxM的轨迹是双曲线。故选 C。 7. 9 5 解析：x2y2为原点与直线 x2y30 上的点距离的平方，其最小值为原点到直线 x2y 30 距离的平方 . 5 9 5 |3| )( 2 min
19、 22 yx 8.32 个解析：当 a0 时，b 可取6，7；当 a0 时，从6，4，2，1，3，5，7 中任取 2 个作为 a、b，共 2 7 P个，其中不合格的是从4，2，1，3 中任取 2 个共 2 4 P个 模大于 5 的不同虚数共 232)( 2 4 2 7 PP个 17. 本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题 的能力 解：（） ( )1 cos23cos21 sin23cos2 2 f xxxxx 12sin 2 3 x 又 4 2 x ， 2 2 633 x，即 212sin 23 3 x ， maxmin ( )3( )2f xf x， （）( )2( )2( )2f xmf xmf x， 4 2 x ， max ( )2mf x且 min ( )2mf x， 14m，即m的取值范围是(14)， 高考数学试题十分重视对学生能力的考查，而这种能力是以整体的、完善的知识结构为前提的。国家 教育部考试中心试题评价组全国普通高考数学试题评价报告明确指出，试题注意数学各部分内容的联 系，具有一定的综合性。加强数学各分支知识间内在联系的考查，要求学生把数学各部分作为一个整体来 学习、掌握，而不机戒地分为几块。这个特点不但在解答题中突出，而且在选择题中也有所体现。 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文
