1、高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 盘点二项式定理中的盘点二项式定理中的“系数系数”题型题型 高考中二项式定理试题多以填空选择题形式出现，涉及的题型主要有：求二项展开式中某一项（或常 数项）或某一项的系数，求所有项系数的和或奇（偶）数项系数和，求展开式的项数，以及二项式定理在 求近似值，证明不等式等问题中的应用。本文重点探讨有关二项式定理中的系数问题。 一直接利用二项展开式通项公式求某项系数。直接利用二项展开式通项公式求某项系数。 例例 1 1 （2009 浙江卷理）在二项式 25 1 ()x x 的展开式中，含 4 x的项的系数是() . A10B10 C5D5 解析解析：本题属于二项
2、式定理中最为基本的题目，直接考查考生对于二项展开式的通项公式的掌握。其 通 项 2 510 3 155 1 ()()1 r rrrrr r TCxC x x ， 对 于1034,2rr ， 则 4 x的 项 的 系 数 是 22 5( 1) 10C ，答案选 B 。 二二正确区分正确区分“两个系数两个系数”即二项式系数和项的系数即二项式系数和项的系数 例例 2 2(12 )nx的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等， 求展开式中二项式系数最大的项及系数最大的 项。 思路导析：二项式系数是指思路导析：二项式系数是指 r n C，而项的系数由二项式系数，而项的系数由二项式系数 r n C和数的
3、乘积构成和数的乘积构成 解析解析：二项展开式的通项 1 2 rrr rn TCx ，由第 6 项与第 7 项的系数相等得， 5566 228 nn CCn，所以，展开式中二项式系数最大的项为 4444 582 1120TCxx， 设第1r 项系数最大，则 11 88 11 88 22 22 rrrr rrrr CC CC 解之得56r即56r 或 所以，系数最大的项为 5555 682 1792TCxx或 6666 782 1792TCxx 点评点评： 二项式系数不受底数内字母及数的影响二项式系数不受底数内字母及数的影响， 统一为统一为 r n C， 而项的系数应是而项的系数应是 r n C与
4、数的幂的乘积组成与数的幂的乘积组成， 这一不同要仔细区分。这一不同要仔细区分。 三三求多个二项式的积（和）展开式中指定项、指定项系数求多个二项式的积（和）展开式中指定项、指定项系数 例例 3 3（1） 27 (1)(1)(1)xxx展开式中， 3 x项的系数为_ （2）设 432 123401234 xaxaxaxaA xAxA xA xA 则 2 _A 3 _A （3） 9 (2)xyz展开式中 423 x y z系数为_ 思路导析：思路导析：对于（1）中所求 3 x项的系数，应先研究清楚 3 x项的构成， 2 (1),(1)xx中均没有 3 x， 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文
5、从 3 (1) x开始出现 3 x，故应分别计算其后五项中 3 x的系数之和即得； 对于（2） （3）其基本思路都是利用组合思想加以解决。 解析解析： （1） 3 x项系数为 3334 3478 70CCCC （ 2 ） 2 A即 2 x系 数 ，即 从 1234 ,a a a a中 取 两 元 的 所 有 组 合 的 和 ， 即 2123423434 ()()Aa aaaa aaa a，同理 3123124134234 Aa a aa a aa a aa a a. （3）由 9 (2)(2)(2)(2)xyzxyz xyzxyz 知 4 个括号取 x，余下 5 括号取 2y，再从余下 3 个
6、括号取 z， 于是得 423 x y z系数为 42233 953 2( 1)5040C CC . 点评点评：二项式定理的推导原理是组合思想二项式定理的推导原理是组合思想，在理解推导原理的基础上在理解推导原理的基础上，应用组合思想解决有关多应用组合思想解决有关多 项展开式中的项的系数问题项展开式中的项的系数问题，往往能收到很好的效果往往能收到很好的效果。在求展开式某项系数时在求展开式某项系数时，要注意分步计数原理要注意分步计数原理 的运用以及符号的正确性。的运用以及符号的正确性。 四四通过通项研究展开式系数特征通过通项研究展开式系数特征 例例 4 4（2010 湖北理数 11）在（x+ 4 3
7、y） 20 的展开式中，系数为有理数的项共有_项。 思路导析思路导析：通过求二项式展开式通项，进一步观察其系数特征，将其中系数是有理数的项列出即可。 解析： 二项式展开式的通项公式为 202044 12020 ( 3 )( 3)(020) rrrrrrr r TC xyCxyr 要使系数为有理数， 则 r 必为 4 的倍数，所以 r 可为 0.、4、8、12、16、20 共 6 种，故系数为有理数的项共有 6 项. 答案为 6 五五求多项式展开式中各项的系数和或某些项（各奇数项、偶数项等）的系数和求多项式展开式中各项的系数和或某些项（各奇数项、偶数项等）的系数和 例例 5 5 已知 25 (3
8、21)xx 109 10910 a xa xa xa， 求 2 0246810 ()aaaaaa 2 13579 ()aaaaa的值。 思路导析：由平方差公式，所求思路导析：由平方差公式，所求 2 0246810 ()aaaaaa 2 13579 ()aaaaa 01210 ()aaaa 024681013579 ()()aaaaaaaaaaa 其中 01210 aaaa为展开式各项系数之和，赋值法令 x=1 即得； 024681013579 ()()aaaaaaaaaaa为奇数项和与偶数项和之差，赋值法令 x=-1 即得。 解析解析：令 x=1, 得 5 01210 2aaaa， 令 x=-
9、1,得 024681013579 ()()aaaaaaaaaaa 5 6, 2 0246810 ()aaaaaa 135 (aaa 2555 79) 2612aa。 点 评 ： 求 展 开 式 系 数 和 ， 充 分 利 用 赋 值 法 。 赋 值 时 ， 一 般 地 ， 对 于 多 项 式点 评 ： 求 展 开 式 系 数 和 ， 充 分 利 用 赋 值 法 。 赋 值 时 ， 一 般 地 ， 对 于 多 项 式 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 ( )()ng xpxq 2 012 n n aa xa xa x，有以下结论，有以下结论： （1 1）g(x)g(x)的二项式系数和为的
10、二项式系数和为2n； （2 2）g(x)g(x) 的奇数项的二项式系数和的奇数项的二项式系数和= =偶数项的二项式系数和偶数项的二项式系数和= = 1 2n； （3 3）g(x)g(x)的各项系数和为的各项系数和为 g(1)g(1) ； （4 4）g(x)g(x)的的 奇数项的系数和为奇数项的系数和为 1 (1)( 1) 2 gg； （5 5）g(x)g(x)的偶数项系数和为的偶数项系数和为 1 (1)( 1) 2 gg。这里常用到一种重这里常用到一种重 要方法：赋值法。要方法：赋值法。 六六赋值法在解决系数问题中的综合应用赋值法在解决系数问题中的综合应用 例例 6 6（2009 陕西卷）若
11、20092009 012009 (1 2 )()xaa xaxxR,则 200912 22009 222 aaa 的值为 （A）2（B）0（C）1(D)2 思路导析：如果从二项展开式中各系数思路导析：如果从二项展开式中各系数 n a表达式入手，将其写出为表达式入手，将其写出为 2009 ( 2) nn n aC ，可以发现可以发现 20081 2008 200920090 22 aa ， 同理可以得出 20072 22007 +=0 22 aa , 32006 32006 +=0 22 aa 亦即前 2008 项和为 0, 故只需求 2009 2009 2 a 即可，此为思路一思路一； 思路二
12、思路二：如果整体研究 200912 22009 222 aaa ，可将分母中 2 的指数与 n a的下标统一起来，采用赋值法 只需令 1 2 x 即可使问题迎刃而解即可使问题迎刃而解。 解法一:由题意 11200820082008 1200920082009 ( 2)2 2009 , ( 2)( 2)2009aCaC ,则 2008200811 20082008 2009,2009,+=0 2222 aaaa 即,同理可以得出 20072 22007 +=0 22 aa , 32006 32006 +=0 22 aa 亦即前 2008 项和为 0, 则原式= 200912 22009 222
13、aaa = 20092009 20092009 20092009 ( 2) 1 22 aC 故选 C. 解法二： （赋值法）令 1 2 x 得， 200912 0 22009 0 222 aaa a，又令0 x 得 0 1a ，所以得 200912 22009 0 11 222 aaa ，故选 C. 附变式训练附变式训练 1 1：已知( x x 1 2 ) n 的展开式中第三项与第五项的系数之比为 14 3 ，则展开式中常数项是 (A)1(B)1(C)45(D)45 2设二项式 n x x) 1 3( 3 的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若272 SP， 则n（） ( )A
14、4( )B5( )C6()D8 3 若 4 4 3 3 2 210 4 )32(xaxaxaxaax， 则 2 31 2 420 )()(aaaaa的 值 为 （） ( )A1( )B-1( )C0()D2 高中数学教学精品论文高中数学教学精品论文 4 （ 2009北 京 卷 文 ） 若 4 (12)2( ,aba b为 有 理 数 ） ， 则ab （）. A33B 29C23D19 5 5 求 100 (32 )xyz展开式的各项系数之和为_。 6 6（20102010 江西理数江西理数） 8 2x展开式中不含 4 x项的系数的和为（） A.-1B.0C.1D.2 答案 1。D；2。A；3A；4 B； 5 解：令 x=y=z=1 ，得 100 (1 32)0 ， 即展开式系数之和为 0。 6 B 【提示】采用赋值法，令 x=1 得：系数和为 1，减去 4 x项系数 808 82 ( 1) 1C即为所求，答案为 0.
