1、第 13 讲 三角函数概念和诱导公式 玩前必备 1角的概念 (1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形； 分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角 (2)所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成的角的集合是 S|k360，kZ (3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象 限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限 2弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数 是负数，零角的弧度数是 0. (2)角
2、度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad. 180 ( 180 ) (3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：S lr |r2. 1 2 1 2 3任意角的三角函数 任意角 的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，sin y，cos x，tan (x0)三个三角函数的初 y x 步性质如下表： 三角函 数 定义域 第一象限 符号 第二象限 符号 第三象限 符号 第四象限 符号 sin R cos R tan |k ，kZ 2 4同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：tan . sin cos 5下列各角的终边与角 的终边的关系 角 2
3、k(kZ) 图示 与角 终边的相同 关于原点对称 关于 x 轴对称 关系 角 2 2 图示 与角 终边的 关系 关于 y 轴对称 关于直线 yx 对 称 6.六组诱导公式 组 数 一 二 三 四 五 六 角 2k (kZ) 2 2 正 弦 sin_ sin_ sin_ sin_ cos _ cos_ 余 弦 cos_ cos_ cos_ cos_ sin _ sin_ 正 切 tan_ tan_ tan_ tan_ 口 诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 玩转典例 题型一终边相同的角和区域角 例 1(1)终边在直线 yx 上的角的集合是_ 3 (2)如果 是第三象限角，那么角
4、2 的终边落在_ 例例 2 写出终边落在阴影部分的角的集合 玩转跟踪 1.(1)设集合 Mx|x 18045，kZ，Nx|x 18045，kZ，那么() k 2 k 4 AMN BMN CNM DMN (2)已知角 45，在区间720，0内与角 有相同终边的角 _. 2.已知集合 A|k18030k18090， kZ， 集合 B|k360450)，所在圆的半径为 R. (1)若 60，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值 C (C0)，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 玩转跟踪 1.已知扇形的周长为 4 cm，当它的半径为_和圆心角为_弧度时，扇形
5、面积最大，这个 最大面积是_ 题型三三角函数的概念 例例 4 4(1)(课标全国，7)已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直 线 y2x 上，则 cos 2() A B C. D. 4 5 3 5 3 5 4 5 (2)(江西，14)已知角 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴若 P(4，y)是角 终边 上一点，且 sin ，则 y_ 2 5 5 玩转跟踪 1(大纲全国，2)已知角 的终边经过点(4，3)，则 cos () A. B. C D 4 5 3 5 3 5 4 5 2.已知角 的终边过点 P(8m，6sin 30)，且 cos ，则 m 的值为() 4 5
6、 A B. 1 2 1 2 C D. 3 2 3 2 题型四题型四 同角三角函数关系的应用 例例 5 5 (福建，6)若 sin ，且 为第四象限角，则 tan 的值等于() 5 13 A. B 12 5 12 5 C. D 5 12 5 12 例例 6 6 (四川，13)已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2的值是_ 玩转跟踪 1(新课标全国，2)若 tan 0，则() Asin 0 Bcos 0 Csin 20 Dcos 20 2(广东，4)已知 sin() ，那么 cos () 5 2 1 5 A B C. D. 2 5 1 5 1 5 2 5 3.已知 tan 2，
7、则 sin2sin cos 2cos2 等于() A B. C D. 4 3 5 4 3 4 4 5 题型五诱导公式的应用 例 7(1)已知 cos，求 cos的值； ( 6) 3 3 ( 5 6 ) (2)已知 2，cos(7) ，求 sin(3)tan的值 3 5 ( 7 2) 例 8已知 f(). sincossin( 2) cossin (1)化简 f()； (2)若角 A 是ABC 的内角，且 f(A) ，求 tan Asin A 的值 3 5 玩转跟踪 1.(1)已知 sin ，则 cos的值为_ ( 12) 1 3 ( 7 12) (2)已知 sin 是方程 5x27x60 的根
8、， 是第三象限角，则tan2() sin3 2cos 3 2 cos 2sin 2 _. 玩转练习 1若点(4，a)在 yx 的图象上，则 tan 的值为() 1 2 a 6 A0 B. C1 D. 3 3 3 2若点 P 在角的终边上，且 P 的坐标为(1，y)，则 y 等于() 10 3 A B. C D. 3 3 3 3 33 3已知 是第四象限角，且 sin ，则 tan () 3 5 A. B C. D 3 4 3 4 4 3 4 3 4设 是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且 cos x，则 tan () 1 5 A. B. C D 4 3 3 4 3 4 4 3 5已知
9、角 的终边经过点(3a9，a2)，且 cos 0，sin 0，则实数 a 的取值范 围是() A(2，3 B(2，3) C2，3) D2，3 6已知角 的终边经过点 P(2，1)，则() sin cos sin cos A3 B. C D3 1 3 1 3 7 已知ABC 为锐角三角形， 且 A 为最小角， 则点 P(sin Acos B， 3cos A1)位于() A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8若 cos ，且 是第四象限角，则 cos_. 1 5 ( 2) 9sin21sin22sin288sin289_. 10化简_. sin(15 2 )cos( 2) sin(9 2 )cos(3 2 ) 11已知角 的终边经过点 P(4,3)，求 的值 cos( 2)sin cos(11 2 )sin(9 2 ) 12已知 sincos，且 ，求 sin 与 cos 的值 ( 2) ( 5 2 ) 60 169 4 2
