1、数学试题（第 1 页 共 6 页） 准考证号 姓名. （在此卷上答题无效） 福州市福州市 2020-2021 年年第二学期质量检查第二学期质量检查 数 学 试 题 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、 姓名是否一致 2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如 需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案标号 第卷用0.5毫米黑色签字笔在 答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 3.考试结束，考生必
2、须将试题卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.已知复数z满足 i 1i 2i z ，则复数z= A2iB12i C3iD32i 2.设, ,D E F分别为ABC的三边,BC CA AB的中点，则EBFC AAD B 1 2 AD C 1 2 BCDBC 3.若 2 log 31x，求33 xx A 5 2 B 13 6 C 10 3 D 3 2 4.某校新成立 3 个社团， 规定每位同学只能参加其中一个社团.假定每位同学参加各个社 团的可能性相同，则该校甲、乙两位同学参加同一个社团的概率为 A
3、1 9 B 1 6 C 2 3 D 1 3 数学试题（第 2 页 共 6 页） 5. 已知复数 12 ,z z，则“ 1 2 z zR”是“ 12 zz”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 6. 将曲线 1: 2sinCyx上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍 （纵坐标不变） ， 得到曲线 2 C， 把 2 C向左平移 6 个单位长度，得到曲线 3: Cyf x，则下列结论正确的是 A f x的最小正周期为4 B 12 x 是 f x的一条对称轴 C f x在, 3 6 上的最大值为3 D f x在, 3 6 上单调递增 7. 在我国国旗的正五角星图形
4、中有许多黄金分割点.如图所示的正五角星几何图形中， CDE是顶角为 36的等腰三角形，,C D为线段AB上的两个黄金分割点，则有 51 2 ACBDCD ABABBC .据此计算cos216 A 51 2 B 51 2 C 51 4 D 51 4 8. 如图所示的一个圆锥形的金属配件，重 75.06 克，其轴截面是一个等边三角形，现将 其打磨成一个体积最大的球形配件，则该球形配件的重量约为 A34.37 克 B34.03 克 C33.36 克 D32.69 克 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的
5、得 0 分，部分选对的得 2 分 9. 某地区经过一年的新农村建设， 农村的经济收入增加了一倍.为更好地了解该地区农村 的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到 如下饼图： 数学试题（第 3 页 共 6 页） 则下面结论中正确的是 A新农村建设后，种植收入减少了 B新农村建设后，养殖收入增加了一倍 C新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 D新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 10. 已知, a b是平面内夹角为 3 的两个单位向量，向量c在该平面内，且0abc，则 下列结论正确的是 A1ab B1ab Cacb Dc的最小值为 1
6、2 11. 在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，点P、E、F分别为 1 CC、BC、CD的中 点，则下列说法正确的是 AAP与EF所成角为60 B点 1 A到平面PEF的距离为 3 3 4 C直线 1 A B与平面PEF所成角的正弦值为 6 3 D平面 1 PED截正方体得到的截面图形是梯形 12. 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若 2 cb ab，则以下结论正确的是 Acb B2CB Cac D0 4 B 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13. “幸福感指数”是某个人对自己目前生活状态满意程
7、度的主观指标数值，常用区间 0,10内的一个数来表示，该数越接近 10 表示满意程度越高. 现随机抽取 6 位小区居 数学试题（第 4 页 共 6 页） 民进行调查，他们的“幸福感指数”分别为 5，6，7，8，9，5，则这组数据的第 80 百 分位数是 14. 已知一个正六棱柱的所有顶点都在球面上，若正六棱柱的底面边长与侧棱长均为 2， 则这个球的表面积为 15. 设向量 1 1,0e， 2 0,1e.若 12 27 aee， 12 43bee，则a b= ，向量 a在向量b上的投影向量为 16. 某小微企业生产一种如图所示的电路子模块：要求三个不同位置 1，2，3 接入三个不 同的电子元件
8、A，B，C，它们正常工作的概率分别为 0.9，0.8，0.7.假设接入三个位置 的元件能否正常工作相互独立.当且仅当 3 号位元件正常工作， 同时 1 号位与 2 号位元 件中至少有一件正常工作时，电路子模块才能正常 工作.则该电路子模块能正常工作的概率最大值 为 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （10 分） 如图，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD 平面 BCD. （1）求证：ADAC； （2）已知2DEEA，2DFFC，则棱BD上是否存在点G，使得平面EFG平面 ABC？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由
9、. F E A C DB 数学试题（第 5 页 共 6 页） 18. （12 分） 已知 1 sincos 5 ，0,， （1）求tan的值； （2）若 2 sin 10 ，0, 2 ，求的值. 19. （12 分） 2021 年是“十四五”规划开局之年，也是建党 100 周年.为了传承红色基因，某学校开 展了“学党史，担使命”的知识竞赛.现从参赛的所有学生中，随机抽取 100 人的成绩作为 样本，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间） ，画出频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分x（同一组中的 数据用该组区间中点值代表） ； （2）若根据成绩
10、对该样本进行分层，用分层随机抽样的方法，从成绩不低于 75 分的 学生中随机抽取 7 人查看他们的答题情况，再从这 7 人中随机抽取 2 人进行调查分析，求 这 2 人中至少有 1 人成绩在85,95内的概率. 20. （12 分） 已知函数 ee xx f x . 数学试题（第 6 页 共 6 页） （1）根据函数单调性的定义，研究 f x的单调性； （2）若 2 21g xxxaf x有唯一零点，求a的值. 21. （12 分） 如图，AB 是底部不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点.某学习小组准备了两 种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）与米尺（测量长度）.请你利用准备好的工具，设计 一种测量建筑物高度 AB 的方案，包括： 指出要测量的数据（用字母表示，并标示在图中） ； 用文字和公式写出计算 AB 的步骤. 22. （12 分） 如图，已知正四棱锥SABCD与正四面体SA B C 所有的棱长均为a. （1）若M为SB的中点，证明：SD平面MAC. （2）把正四面体SA B C 与正四棱锥SABCD全等的两个面重合，拼成一个新的 几何体，问该几何体由多少个面组成？并说明理由. M D A S C B B A C S
