1、一轮大题专练一轮大题专练 5导数（零点个数问题导数（零点个数问题 1） 1设函数 3 ( )3sinf xxx， 2 3 ( )2 x g xe （1）证明：当 1x ，0时，( ) 0f x ； （2）判断函数( )( )( )F xf xg x在( 2,)上的零点个数 解： （1）证明： 22 ( )3cos33(cos)fxxxxx 令 2 ( )cosh xxx，( )sin20h xxx ， ( )h x在 1，0上单调递增 注意到( 1)cos1 10h ，(0)10h 存在唯一的 0 ( 1,0)x 使 0 ()0h x 且当 0 1 xx时，( )0h x ，( )0fx，(
2、)f x单调递减； 当 0 0 xx 时，( )0h x ，( )0fx，( )f x单调递增； 注意到( 1)3sin1 1f ，(0)0f， 3sin1 10 ，( ) 0f x （2） 2 3 3 ( )3sin2 x F xxxe ， 2 2 3 ( )3cos32 x F xxxe ， 当21x 时， 2 2 3 ( )3(cos)20 x F xxxe ，( )F x单调递减 8 3 ( 2)3sin2820Fe ， 5 3 ( 1)3sin1 120Fe ( )F x在( 2, 1)上有一个零点 1 x 当10 x 时，由（1）知 3 ( )3sin0f xxx，( )0F x，
3、( )F x无零点 当0 x 时， 2 333 3 12 ( )3sin232() 33 x F xxxexxxxx 令 3 2 ( ) 3 xxx， 2 3 ( )130 3 xxx 且当 3 0 3 x时，( )0 x，( )x单调递增；当 3 3 x 时，( )0 x，( )x单调递减 3332 ( )()0 3393 x，当0 x 时，( )F x也无零点 综上：( )F x在( 2,)上有唯一的零点 1 x 2已知函数 32 ( )2(0)f xaxaxb a在区间 1，2上的最小值为2，最大值为 1 （1）求实数a，b的值； （2）若函数( )( )g xf xm有且仅有三个零点，
4、求实数m的取值范围 解： （1）函数 32 ( )2f xaxaxb，则 2 ( )34(34)fxaxaxaxx， 当0a 时，令( )0fx，可得 4 3 x 或0 x ， 此时函数( )f x的增区间为(,0)， 4 ( ,) 3 ，( )f x的减区间为 4 (0, ) 3 ， 由(0)fb，( 1)23faabba ， 4643232 ( ) 327927 faabba，f（2）88aabb， 因为函数 32 ( )2(0)f xaxaxb a在区间 1，2上的最小值为2，最大值为 1， 则有 1 32 b ba ，解得1a ，1b ； 当0a 时，令( )0fx，可得 4 0 3
5、x， 此时函数( )f x的减区间为(,0)， 4 ( ,) 3 ，( )f x的增区间为 4 (0, ) 3 ， 由(0)fb，( 1)23faabba ， 4643232 ( ) 327927 faabba，f（2）88aabb， 因为函数 32 ( )2(0)f xaxaxb a在区间 1，2上的最小值为2，最大值为 1， 则有 2 31 b ba ，解得1a ，2b 综上所述，1a ，1b 或1a ，2b ； （2）当1ab时，(0)1f， 4325 ( )1 32727 f ， 若函数( )g x有且仅有三个零点，实数m的取值范围为 5 (,1) 27 ； 当1a ，2b 时，(0)
6、2f ， 43222 ( )2 32727 f ， 若函数( )g x有且仅有三个零点，实数m的取值范围为 22 ( 2,) 27 3已知函数 2 1 ( ) 22 x a a f xelnx （1）若函数( )yf x在 1 (0, ) 2 上单调递减，求a的取值范围； （2）若函数( )yf x在定义域内没有零点，求a的取值范围 解： （1）因为函数( )yf x在 1 (0, ) 2 上单调递减，所以( ) 0fx在 1 (0, ) 2 上恒成立， 由 2 1 ( ) 22 x a a f xelnx ，0 x ， 可得 2 2 141 ( )2 22 x a x a xe fxe xx
7、 ， 由于0 x ，则 2 41 0 x a xe 在 1 (0, ) 2 上恒成立， 令 2 ( )41 x a F xxe ， 2 ( )(84)0 x a F xxe ， 故( )F x在 1 (0, ) 2 上单调递增， 所以只需 1 ( ) 0 2 F即可， 1 1 ( )21 0 2 a Fe ， 所以12aln ， 所以a的取值范围是(，12ln （2） 2 1 ( ) 22 x a a f xelnx 的定义域为(0,)， 2 1 ( )2 2 x a fxe x ，令 2 ( )2 x a g xe ， 1 ( ) 2 h x x ， 当0 x 时，( )g x单调递增，(
8、)(2 a g xe，)，( )(0h x ，)， 故存在 0 (0,)x ，使得 0 ()0fx，即 0 2 0 1 20 2 xa e x ， 即 0 2 0 1 4 xa e x ，两边取对数得 00 42lnxalnx ， 而( )f x在 0 (0,)x上单调递减，在 0 (x，)上单调递增， 故 0 ( )()0 min f xf x，故 0 2 0 1 0 22 xa a elnx ， 将代入上式得 0 0 421 0 422 lnxaa x ，化简得 0 0 1 2 4 axln x ， 因为 0 0 1 1 4 x x ，当且仅当 0 0 1 4 x x ，即 0 1 2 x
9、 时取等号， 所以 0 0 1 212 4 xlnln x ， 故12aln ， 即a的取值范围是( 12,)ln 4设a，b为实数，且1a ，函数 2 ( )() x f xabxexR （）求函数( )f x的单调区间； （）若对任意 2 2be，函数( )f x有两个不同的零点，求a的取值范围； （）当ae时，证明：对任意 4 be，函数( )f x有两个不同的零点 1 x， 2 x，满足 2 21 2 2 blnbe xx eb （注:2.71828e 是自然对数的底数） 解： （）( ) x fxa lnab， 当0b时，由于1a ，则0 x a lna ，故( )0fx，此时( )
10、f x在R上单调递增； 当0b 时，令( )0fx，解得 b ln lna x lna ，令( )0fx，解得 b ln lna x lna ， 此时( )f x在(,) b ln lna lna 单调递减，在(,) b ln lna lna 单调递增； 综上，当0b时，( )f x的单调递增区间为(,) ；当0b 时，( )f x的单调递减区间为 (,) b ln lna lna ，单调递增区间为(,) b ln lna lna ； （）由（）知，要使函数( )f x有两个不同的零点，只需( )()0 min b ln lna f xf lna 即可， 2 0 bb lnln lnalna
11、abe lnalna 对任意 2 2be均成立， 令 b ln lna t lna ， 则 2 0 t abte， 即 2 0 tlna ebte， 即 2 0 b lnlna b ln lna ebe lna ， 即 2 0 b ln b lna be lnalna ， 2 0 b bb lne lna lna 对任意 2 2be均成立， 记 22 ( ),2 b g bbb lne lna be lna ，则 1 ( )1()() blna g blnbln lnalnb lnablna ， 令g（b）0，得blna， 当 2 2lnae，即 2 2e ae时，易知g（b）在 2 (2e，
12、)lna单调递增，在(,)lna 单调递减， 此时g（b） 22 ()1(1)0g lnalnalna lne lnalnae，不合题意； 当 2 2lnae，即 2 2 1 e a e 时，易知g（b）在 2 (2e，)单调递减， 此时 2 22222222 2 ( )(2)2222 (2)() e g bgeeelne lnaee lneln lnae lna lna ， 故只需2222()0lnln lnalna，即2 () 22 2lnaln lnaln，则2lna，即 2 a e； 综上，实数a的取值范围为(1， 2 e； （）证明：当ae时， 2 ( ) x f xebxe，( )
13、 x fxeb，令( )0fx，解得4xlnb， 易知 22222422 ( )()433(1 3)0 lnb min f xf lnbeb lnbebblnbebbeebeeee ， ( )f x有两个零点，不妨设为 1 x， 2 x，且 12 xlnbx， 由 2 2 22 ()0 x f xebxe，可得 2 2 2 x ee x bb ， 要证 2 21 2 2 blnbe xx eb ，即证 2 1 2 2 x eblnb x be ，即证 2 2 1 2 2 x b lnb ex e ， 而 22 2 2 222 2222 2 ()20 ee bbe e feeeeeee b ，则
14、 2 1 2e x b ， 要证 2 2 1 2 2 x b lnb ex e ，即证 2 x eblnb，即证 2 ()xln blnb， 而 ()22222 1 ()()()(4 )40 4 ln blnb f ln blnbebln blnbeblnbbln blnbeblnbblnbeb lneebln ， 2 ()xln blnb，即得证 5已知函数 2 1 ( )(1) 2 f xxaxalnx （）若1a ，求曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程； （）当1a 时，求函数( )f x的零点个数，并说明理由 解： （）当1a 时， 13 (1)21 22 fln ，
15、2 (1) ( ) x fx x ，则切线的斜率k f （1）0， 所以切线方程为 3 ()(1) 2 yk x ，即 3 2 y ， 所以曲线( )yf x在点(1，f（1）)处的切线方程为 3 2 y （）( )f x的定义域为(0,)， ()(1) ( ) xa x fx x ， 令 ()(1) ( )0 xa x fx x ，解得 1 xa， 2 1x ， 当01a时，( )f x与( )fx在区间(0,)上的情况如下： x(0, )aa( ,1)a 1 (1,) ( )fx 0 0 ( )f x 极大值极小值 ( )f x在(0, )a上递增，在( ,1)a上递减，在(1,)上递增
16、此时 2 1 ( )0 2 f xf aaaalna 极大值 ，(22)(22)20faalnaaln， 所以( )f x在(0,)上只有一个零点， 当0a 时， 2 1 ( ) 2 f xxx，由( )0f x ，得 1 2x ， 2 0 x （舍)， 所以( )f x在(0,)上有一个零点； 当0a 时，( )f x与( )fx在区间(0,)上的情况如下： x(0,1) 1 (1,) ( )fx 0 ( )f x 极小值 此时 1 ( )1 2 f xfa 极小值 ， 若 1 2 a 时， 1 ( )(1)0 2 min f xfa ，所以( )f x在(0,)上无零点， 若 1 2 a
17、时， 1 ( )(1)0 2 min f xfa ，所以( )f x在(0,)上有一个零点， 若 1 0 2 a时， 1 ( )(1)0 2 min f xfa ， 121111 2 111 ()1(1)0 222 aaaaaa f eeeaeeae ， 1 (4)84(1)444420 2 faalnlnln， 所以( )f x有两个零点 综上所述，当01a 或 1 2 a 时，( )f x在(0,)上有一个零点； 当 1 0 2 a时，( )f x在(0,)上有两个零点； ， 当 1 2 a 时，( )f x在(0,)上无零点 6已知函数( )(1) x f xea x （1）若0a ，求
18、函数( )f x的极值； （2）若函数( )f x无零点，求实数a的取值范围 解： （1）当0a 时，( ) x f xex ， 所以 1 ( )1 x x x e fxe e ，令( )0fx，得0 x ， 所以当(,0)x 时，( )0fx，( )f x单调递减； 当(0,)x时，( )0fx，( )f x单调递增 所以0 x 为函数( )f x的极小值点，极小值为(0)1f；( )f x无极大值 （2）由( )(1) x f xea x ，得 (1)1 ( )(1) x x x a e fxea e 当1a 时，( )0 x f xe，此时函数( )f x没有零点，符合题意； 当1a 时
19、，( )0fx，所以函数( )f x单调递减 又(0)10f ，且 1 1 1 ()10 1 a fe a ， 所以函数( )f x有零点，不符合题意； 当1a 时，令 (1)1 ( )0 x x a e fx e ，则(1)xlna 当(x ，(1)lna时，( )0fx，所以函数( )f x单调递减； 当(1)xlna ，)时，( )0fx，所以函数( )f x单调递增 所以( )(1)(1)1(1) min f xflnaalna， 若函数( )f x没有零点，则需( )0 min f x，即(1)1(1)0alna，得11ea 综上所述，若函数( )f x无零点，则实数a的取值范围为(1e，1
