1、高考数学培优专题库教师版 第十二讲立体几何中球的综合问题 A 组 一、选择题 1(2018 年高考全国卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 1 O, 2 O,过直线 12 OO的平面截该圆 柱所得的截面是面积为 8 的正方形,则该圆柱的表面积为() A12 2B12 C8 2D10 【答案】B 【解析】过直线 12 OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形,所以圆柱的高为2 2,底 面圆的直径为2 2,所以该圆柱的表面积为 2 2( 2)2 22 212故选 B 2三棱柱 111 ABCABC的各个顶点都在球O的球面上,且 1 1,2,ABACBCCC平面 ABC。若球O的表面积为3
2、,则这个三棱柱的体积是() A 1 6 B 1 3 C 1 2 D1 【答案】C 【解析】 1 1,2,ABACBCABACCC平面ABC,三棱柱 111 ABCABC内接球 O,O为距形 11 BCC B的中心, 设球O半径为r,则 2 3 43 , 2 rr ,即 3 2 OCr,三棱柱 的高 2 2 1 21 2 hrBC ,三棱柱的体积 11 1 1 1 22 ABC VSh ,故选 C。 3球O的球面上有四点, , ,S A B C,其中, , ,O A B C四点共面,ABC是边长为 2 的正三角形,面 SAB 面ABC,则棱锥SABC的体积的最大值为() A 3 3 B3C2 3
3、D4 高考数学培优专题库教师版 【答案】A 【解析】设球心和ABC的外心为O,延长CO交AB于点P,则由球的对称性可知ABPD ,继 而由面SAB 面ABC可得PDABC所在的平面,所以PD是三棱锥的高;再由, , ,O A B C四点共面 可 知O是ABC的 中 心 , 故 3 32 , 3 3 ROP, 当 三 棱 锥 的 体 积 最 大 时 , 其 高 为 1) 3 3 () 3 32 ( 22 PD,故三棱锥的体积的最大值为 3 3 12 4 3 3 1 2 ,应选 A。 4如图所示,直四棱柱 1111 DCBAABCD内接于半径为3的半球O,四边形ABCD为正方形,则 该四棱柱的体积
4、最大时,AB的长为() A1 B 2C3 D2 【答案】D 【解析】设xAB ,则 2 1 2 1 3, 2 2 xBBxOB,所以直四棱柱的体积为 22 2 1 3xxV,令 tx 2 2 1 3,则 22 26tx,则ttttV62)26( 32 ,故) 1)(1(666 2/ tttV,所以当 1t时,即2x时,体积V最大.故应选 D. 5在正三棱锥SABC中,M是SC的中点,且AMSB,底面边长2 2AB ,则正三棱锥 SABC的外接球的表面积为() A6B12C32D36 【答案】B 【解析】根据三棱锥为正三棱锥,可证明出 ACSB,结合 SBAM,得到 SB平面 SAC,因此可得
5、SA、 SB、SC 三条侧棱两两互相垂直最后利用公式求出外接圆的直径,结合球的表面积公式,可得正三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积 取 AC 中点,连接 BN、SN,N 为 AC 中点,SA=SC,ACSN, 同理 ACBN,SNBN=N,AC平面 SBN, SB平面 SBN,ACSB,SBAM 且 ACAM=A, SB平面 SACSBSA 且 SBAC, 三棱锥 S-ABC 是正三棱锥, SA、SB、SC 三条侧棱两两互相垂直 高考数学培优专题库教师版 底面边长2 2AB ,侧棱 SA=2, 正三棱锥 S-ABC 的外接球的直径为:22 33RR,, 正三棱锥 S-ABC 的外接球的表面积
6、是 2 412SR,故选:B 二、填空题二、填空题 6 (2017 年天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为 18,则这 个球的体积为 【答案】 9 2 【解析】设正方体边长为a,则 22 6183aa, 外接球直径为 3 44279 233, 3382 RaVR. 7底面是同一个边长为a的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球,它们顶点的连线为球的直径且 垂直于底面,球的半径为R。设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、,则tan的值 是。 【答案】 a R 3 34 . 【解析】如下图所示,右图为左图的纵切面图. 如图可知, 底面ABC为正三角形, D 为 BC
7、的中点, 则ADBC,SDBC,MDBC, 故SDA 和MDA即为二面角和; 高考数学培优专题库教师版 设SM交平面 ABC 于点 P,易知 P 点在 AD 上,且为ABC的重心. 2SMR,ABa, 3 2 ADa, 233 = 323 PAaa, 133 = 326 PDaa, 22222 3 2 tantan4 3 6 tan 1tantan3 1 123 aSPMP R PD SDPD SMR PDPD SPMP aaPDSP MPPDPAa PD PD . 8已知三棱锥ABCP的所有棱长都相等,现沿PCPBPA,三条侧棱剪开,将其表面展开成一个 平 面 图 形 , 若 这 个 平 面
8、 图 形 外 接 圆 的 半 径 为62, 则 三 棱 锥ABCP的 内 切 球 的 表 面 积 为. 【答案】3 【解析】三棱锥ABCP展开后为等边三角形,设边长x,则622 sin A x ,则26x 因此三棱锥ABCP的棱长为23,三棱锥ABCP的高32,设内切球的半径为r, 则32 3 1 3 1 4 ABCABC SSr, 2 3 r,求的表面积34 2 rS. 9.已知球O的表面上有CBAP,四点,且PCPBPA,两两互相垂直,若 aPCPBPA,求这个球的 表面积和体积 解:设过BAP,的平面截球所得截面圆心为 1 O, 1 PO与球面另一交点为 D. 因 为PAPB , 所 以
9、AB是 圆 1 O的 直 径 , 且 aBPAPAB2 22 .因为PBPCPAPC,,所以PC平面PAB,又 1 OO 平面PAB, 所以PCOO / 1 .如图, 过PCOO , 1 作平面, 则直线DP为平面和平面 PAB的交线, 点PDO 1 , 连接CD, 在圆O中PDPC ,CPD为直角, 所以CD 为圆O的直径.设圆O的半径为R,在CPDRt中,aPDPCCD3 22 ,即aR32,所以 2 3a R . 所以 3322 2 3 3 4 ,34aRVaRS 球球 三、解答题三、解答题 10.棱长为cm2的正方体容器中盛满水,把半径为cm1的铜球放入水中刚好被淹没,然后再放入一个铁
10、 球,使它淹没水中,要使流出的水量最多,这个铁球半径应该为多大? 解 : 过 正 方 体 对 角 线 的 截 面 图 如 图 所 示 , 13,3,32 1 OSAOASAOAC.设小球半径为r, 2 1 tan 1 ACC,在EAO1中,rAO3 1 , SOAOAS 11 rr 313解得cmr)32( 为所求. 11. 过 球 面 上 一 点P的 三 条 弦PCPBPA,, 满 足 高考数学培优专题库教师版 60CPABPCAPB,6PCPBPA,求此球的表面积 解:由题意知,四面体ABCP是球的内接正四面体.设P是ABC的中心,则球心O在PP上.如 图 , 连 接CPOC,, 设 球
11、半 径 为x, 则xOCOP, 在COPRt中 ,xPPOP而 2)6 3 3 (6 222 CPPCPP, 故2)2(2,2 222 xxCPxOP, 2 3 x, 表 面 积 为 9 2 3 4 2 )(S 12.将半径为 R 的四个球,两两相切地放在桌面上,求上面一个球的球心到桌面的距离。 解:设四个球心分别为 A,B,C,D,则四面体 A-BCD 是棱长为 2R 的正四面体,如图所示,过 A 作 AH面 BCD 与 H,则 H 为BCD 的中心,连接 BH 并延长交 CD 于 M,连接 AM, 则 BMCD,AMCD 且 AM=3R,HM=R 3 3 ,所以 AH= 3 62 R,故上
12、面一球 的球心到桌面距离为R) 3 62 1 ( 。 B 组 一、选择题 1 已知三棱锥PABC,在底面ABC中,1AB60 ,3,ABCPA 面,2 3ABC PA , 则此三棱锥的外接球的表面积为() A 16 3 B4 3C 32 3 D16 【答案】D 【解析】底面三角形内,根据正弦定理,可得2AC, 222 ACBCAB,满足勾股定理, 0 90ABC,PA底面ABC,所以BCPA,那么BC平面PAB,所以PBBC ,那么直角三角 形PBCPAC,有公共斜边PC,所以三棱锥的外接球的球心就是PC的中点O,PC是其外接球的直径, 4PC,所以外接球的表面积164 2 RS,故选 D.
13、高考数学培优专题库教师版 2如图, 在菱形ABCD中,60 ,2 3,BADABE 为对角线BD的中点, 将ABD沿BD折 起到PBD的位置,若120PEC ,则三棱锥PBCD的外接球的表面积为() A28B32C16D12 【答案】A 【解析】设,M N分别是等边三角形,PBD CBD的外心,则 1 1,2O NNC画出图象如下图所示, 由图象可知, 11 120 ,60MO NOO N ,故1 tan603ON , 22 34ROCONNC 7,外接球面积为 2 44728R. 3 已知三棱锥 SABC, 满足 SASB, SBSC, SCSA, 且 SA=SB=SC, 若该三棱锥外接球的
14、半径为 3 , 高考数学培优专题库教师版 Q 是外接球上一动点,则点 Q 到平面 ABC 的距离的最大值为() A3B2C 3 3 D 4 3 3 【答案】D 【解析】因为三棱锥SABC中,,SASB SBSC SCSA,且SASBSC,所以三棱锥的 外接球即为以,SA SB SC为长宽高的正方体的外接球,因为该三棱柱外接球的半径为3,所以正方体的 对角线长为2 3,所以球心到平面ABC的距离为 12 33 233 ,所以点Q到平面ABC的距离的最大 值为 34 3 3 33 ,故选 D 4已知从点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成60角,且分别与球O相切于A,B,C三 点若球O的体积为3
15、6,则O,P两点间的距离为() (A)3 2(B)3 3(C)3(D)6 【答案】B 【解析】连接OP交平面ABC于O,由题意可得:ABC和PAB为正三角形,所以 33 33 ABAP O A 因为AOPOOAPA,所以 OPAP OAAO ,所以 3 AP OPOAOA AO 又因为球的体积为36,所以半径3OA,所以33OP 二、填空题 5 (2017 年新课标卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直 径若平面SCA 平面SCB,SAAC,SBBC,三棱锥SABC的体积为 9,则球O的表面积为_ 【答案】36 【解析】取SC的中点O,连接OA,OB, 因为ACSA
16、,BCSB ,所以SCOA ,SCOB 因为平面SAC平面SBC,所以平面OA平面SBC 设rOA ,所以,所以球的表面积为 高考数学培优专题库教师版 6一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为 32 3 ,那么这个三棱 柱的体积是_. 【答案】48 3 【解析】由题意可得,球的半径为2R ,则正三棱柱的高为24hR,底面正三角形中心到各边 的距离为2R ,所以底面边长为4 3,从而所求三棱柱的体积为 2 3 4 3448 3 4 VSh.故 正确答案为48 3. 7若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,则圆锥的体积为 【答案】3 【解析】过圆锥的旋转
17、轴作轴截面,得ABC及其内切圆 1 O和外切圆 2 O,且两圆同圆心,即 ABC的内心与外心重合,易得ABC为正三角形,由题意 1 O的半径为1r ,ABC的边长为 2 3,圆锥的底面半径为3,高为3, 1 3 33 3 V 三、解答题 8.已知棱长为 3 的正四面体 A-BCD,E,F 分别是棱 AB,AC 上的点,且 AF=2FC,BE=2AE,求四面体 A-EFD 的 内切球的半径。 解 : 如 图 所 示 , 设 四 面 体 A-EFD 的 内 切 球 半 径 为r, 球 心 为 O , 连 接 OA,OE,OF,OD, 则 EFDOADEOAFDOAEFOEFDA VVVVV ,四面
18、体A-EFD的各面面积为 高考数学培优专题库教师版 2 3 9 2 ABCAEF SS, 2 33 3 2 ABCAFD SS, 4 33 3 1 ABCAED SS,DEF各 边 边 长 分 别 为 EF=3,DF=DE=7, 4 35 EFD S, 2 2 9 2 BCDAEFDA VV,又 )( 3 1 DEFAEDAFDAEFEFDA SSSSrV ,) 4 35 4 33 2 33 2 3 ( 3 1 2 2 r,所以 8 6 r, 故四面体 A-EFD 的内切球半径为 8 6 。 9.已知四面体 P-ABC, PA=4, AC=72,PB=BC=32,PA面 PBC,求四面体 P-
19、ABC 的内切球与外接球面 积的比。 解 : 由 题 意, 已 知PA面 PBC , PA=4 , AC=72,PB=BC=32, 如 图 , 由勾 股 定 理 得 , 32,72PCAB,所以PBC为等边三角形,ABC为等腰三角形,等边三角形 PBC 所在小圆的直 径4 60sin 32 PD,那么四面体 P-ABC 的外接球直径 AD=2R=241616,所以22R, 34412 4 3 3 1 3 1 PASV PBCABCP ,表面积316532 2 1 12 4 3 2432 2 1 S. 设内切球半径为r,那么r316 3 1 34,所以 4 3 r,故四面体 P-ABC 的内切球
20、半径与外接球半径的 比 16 23 22 4 3 ,即表面积之比为 16 23 。 10.球与正四面体的六条棱都相切,则球与正四面体的体积比是多少? 解:如图,设正四面体棱长为a,球半径为 R,取 AB 中 点 E,CD 中点 F,连接 AF,BF,EF,则 AF=BF=a 2 3 , ABEF ,同理可得CDEF ,EF是 AB,CD 的公垂线段, 则EF的长是AB,CD的距离, aaaAEAFEF 2 2 4 1 4 3 2222 ,又由球与正四面 体 的 六 条 棱 相 切 , 得 EF 是 该 球 的 直 径 , 即 32 2 , 2 2 2 3 3 a RaR, 高考数学培优专题库教
21、师版 333 24 2 32 2 3 4 3 4 aaRV 球 ,又 3 12 2 aV 正四面体 ,故 2 正四面体 球 V V 。 11.已知正三棱锥 P-ABC,点 P,A,B,C 都在半径为3的球面上,若 PA,PB,PC 两两垂直,求正三棱锥 P-ABC 外接球球心到截面 ABC 的距离。 解:把正三棱锥补成正方体,如图所示,可知外接球球心O 为体对 角线 PD 的中点,且 PO=3,又 P 到平面 ABC 的距离为h, APCBABCP VV ,则 3 32 , 222 2 1 3 1 )22( 4 3 3 1 2 hh, 则球心 O 到截面 ABC 的距离为 PO=h= 3 3
22、。 C C 组组 一、选择题 1已知, ,A B C三点都在以O为球心的球面上,,OA OB OC两两垂直,三棱锥OABC的体积为 4 3 ,则球O的表面积为() A. 3 B.16C. 32 3 D.32 【答案】B 【 解 析 】 设 球 的 半 径 为R, 由 题 意OAOBOCR, 可 得 三 棱 锥OABC体 积 , 2 411 332 RR,解得2R ,则球的表面积为 22 44216SR,故选 B. 2三棱锥PABC的四个顶点均在半径为 2 的球面上,且2 3ABBCCA,平面PAB 平面 高考数学培优专题库教师版 ABC,则三棱锥PABC的体积的最大值为() A4B3C4 3D
23、3 2 【答案】B 【解析】根据题意:半径为2的球面上,且2 3ABBCCA,ABC为截面为大圆上三角形, 设圆形为O,AB的中点为N,2 231ON ,PABABC平面平面,三棱锥PABC 的体积的最大值时,,PNAB PNABC平面,2 2 13PB ,三棱锥PABC的体积的最 大值为 2 13 2 333 34 . 3已知四面体ABCD的一条棱长为a,其余棱长均为2 3,且所有顶点都在表面积为20的球面 上,则a的值等于() A3 3B2 5C3 2D3 【答案】A 【解析】如图所示的四面体ABCD中,设ACa,其余的棱长均为2 3,取BD的中点E,连接 ,AE CE,则3AECE,又所
24、有顶点都在表面积为20的球面上,所以球的半径为5R ,球心O 落 在 线 段EF上 , 且 2 22 3( )9 24 aa EF , 在 直 角OCF中 , 则 222 OFFCR, 即 2 2 22 ( 95)( )5 42 aa ,解得3 3a ,故选 A 4在三棱锥BCDA中,ABC 与BCD 都是边长为 6 的正三角形,平面 ABC平面 BCD,则该三棱 锥的外接球的体积为() A.155B.60C.1560D.1520 【答案】D 【解析】取 BC 的中点为 M,E、F 分别是正三角形 ABC 和正三角形 BCD 的中心,O 是该三棱锥外接球的 球心,连接 AM、DM、OF、OE、
25、OM、OB,则 E、F 分别在 AM、DM 上,OF平面 BCD,OE平面 ABC,OMBC, AMBC,DMBC,所以AMD 为二面角 ABCD 的平面角,因为平面 ABC平面 BCD,所以 AMDM,又 高考数学培优专题库教师版 AM=DM=33,所以FMEM =AM 3 1 =3,所以四边形 OEMF 为正方形,所以 OM=6,在直角三角形 OMB 中,球半径 OB= 22 BMOM = 22 3)6(=15,所以外接球的体积为 3 )15(4 3 =1520, 故选 D. 5一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径为的铁球,这时 水面恰好和球面相切问将球从
26、圆锥内取出后,圆锥内水平面的高是() A B C D 【答案】B 【解析】 如图,作轴截面,设球未取出时,水面高,球取出后,水面高 , 则以为底面直径的圆锥容积为 , 球取出后,水面下降到,水的体积为 高考数学培优专题库教师版 又,则, 解得,选 B 6已知三棱锥SABC所有顶点都在球O的球面上,且SC 平面ABC,若1SCABAC, 0 120BAC,则球O的表面积为. 【答案】5 【解析】 0 1,1,120ABACBAC, 1 1 1 2 1 1 ()3 2 BC ,三角形C的 外接圆直径 0 3 22 sin120 r ,1r ,SC 平面OSCSCABC , 1,为等腰三角形,该三棱
27、锥 的外接球的半径 2 5 4 1 1R,该三棱锥的外接球的表面积为54 2 RS.因此,本题正确答案 是:5 7三棱锥PABC中,15,6,ABBCACPC平面ABC,2PC ,则该三棱锥的外接 球表面积为() A 25 3 B 25 2 C 83 3 D 83 2 【答案】D 【 解 析 】 由 题 意 得 , 在ABC中 , 因 为15,6ABBCAC, 由 余 弦 定 理 得 222 ( 15)( 15)61 cos 521515 B , 所 以 2 6 sin 5 B , 所 以ABC外 接 圆 的 半 径 为 65 6 2 sin22 6 5 AC r B ,即 5 6 4 r ,
28、所以球的半径为 2 22 83 8 RrPC,所以球的表面积为 2 8383 44 82 SR,故选 D 8半径为R的球内部装有 4 个半径相同的小球,则小球半径r的可能最大值为() A 3 23 R B 1 13 R C 6 36 R D 5 25 R 【答案】C 【解析】四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时,这些小球的半径最大,以四个小球球心为 顶点的正四面体棱长为r2,该正四面体的中心(外接球球心)就是大球的球心,该正四面体的高为 高考数学培优专题库教师版 r r r 3 62 3 32 4 2 2 ,该正四面体的外接球半径为x,则 22 2 3 32 3 62 r xx, 解得r
29、x 2 6 ,rrR 2 6 ,Rr 63 6 ,故答案为 C 二、填空题 9如图,三个半径都是 10cm 的小球放在一个半球面的碗中,小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水 平面,则这个碗的半径 R 是_cm 【答案】 10 21 10 3 【解析】依题意可得碗的球心为 O,半径为 R.其它三个球的球心分别是 123 ,O O O.这四个点构成了一 个正三棱锥,其中侧棱表示两个球内切的圆心距关系.底面长为两个外切求的圆心距.所以 1 OO=R-10. 12 20OO .通过解直角三角形可得 10 21 10 3 R .故填 10 21 10 3 . 三、解答题 10有三个球和一个正方体,第一个球
30、与正方体各个面内切,第二个球与正方体各条棱相切,第三个 球过正方体各顶点,求三个球表面积的比。 解:设正方体棱长为a,则内切球半径 2 1 a R ,棱切 球其 直径 为正方体各面的对角线长,则aR 2 2 2 ;外接球直径为正方 体的 体对 高考数学培优专题库教师版 角线,故aR 2 3 3 ,所以表面积之比为3:2:1)3( :)2( :1 222 。 11.如图所示,已知球 O 是棱长为 1 的正方体 1111 DCBAABCD 的内切球,求平面 1 ACD截球 O 的 截面积。 解:根据正方体的几何特征知,平面 1 ACD截球 O 的截面是边长为 2的正三角形, 且球与以点 D 为公共
31、点的三个面的切点恰为三角形 1 ACD三边的中点, 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积,由 图得 1 ACD的内切圆的半径为 6 6 30tan 2 2 ,故所求的截面圆的面 积是 6 ) 6 6 ( 2 。 12.已知 AB 是球 O 的直径,C,D 是球面上的两点,且 D 在以 BC 为直径的小圆上,如图所示,设此小圆 所在平面为, (1)求证:平面 ACB平面; (2)设 AB 与所成角为,过球半径 OD 且垂直于的 截面截 BC 弦于 E 点,求OED与经过点 O,D 的截面面积之比,并求为何值时,面积之比最大。 (1)证明:连接球心 O 与小圆圆心 1 O,由球的性质知, 1
32、 OO 圆面O1, 连接AC, 在BAC中, 显然有 1 OO平行等于AC 2 1 ,因为 1 OO圆面 O1,所以AC圆面 O1,又 AC面 ACB,所以面ACB 圆面 O1,即面 ACB平面。 (2)因为面 OED圆面 O1,面 ACB圆面 O1,且面ACB面 ODE=OE,故 OE圆面 O1,因为 OO1圆面 O1,所以 O1,E两 点 重 合,即 E 为小圆的圆心。在 R 1 BOOt中,设球半径为 R,有 OE=Rcos,sinRBE ,所以在DOORt 1 中,DEcossin 222 2 1 2 RRROOOD,故OEDRt的面积 2sin 4 1 cossin 2 1 2 1
33、2 RRRDEOES OED ,又因为经过 O,D 的截面必为大圆,且它的面积为 2 R,所以 4 2sin 2sin 4 1 2 2 R R S S OED 截面 ,当12sin时,它们面积之比最大且最大值为 4 1 ,此时 高考数学培优专题库教师版 4 , 2 2 ,所以所求面积之比为 4 2sin ,当 4 时面积之比最大且最大值为 4 1 。 13.若三棱锥的三条侧棱两辆垂直,且侧棱长均为3,则求其外接球的表面积。 【解】将等边三角形ABC当作底面,由PCPBPA知道ABCP 为正三棱锥,P点在底面射 影为底面中心 1 O,由推论 3 知道球心一定在直线 1 PO上,易算得6AB,2 1 AO,1 1 PO,设球半 径 为R, 当1R时 , 有 222 )1 ()2(RR, 解 得 2 3 R( 舍 去 ), 当1R时 , 有 222 ) 1()2(RR,解得 2 3 R,所以球的表面积为9。