1、高考数学培优专题库教师版 第二十三讲第二十三讲 平面向量综合问题平面向量综合问题 A A 组组 一、选择题 1.1.在ABC中，已知D是AB边上一点，若 1 2 3 ADDBCDCACB ，则 （） A 2 3 B 1 3 C 1 3 D 2 3 解析：在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD=2DB，CD=CBCA 3 1 ， 则 22 () 33 CDCAADCAABCACBCA 12 33 CACB ，= 3 2 ， 2.2. 设，ab是非零向量，若函数( )() ()f xxxabab的图象是一条直线，则 必有（） AabBabC| |abD| |ab 解析 222 ( )(
2、) ()(| )f xxxxx ababa baba b,若函数( )f x 的图象是一条直线，即其二次项系数为 0， a b =0ab. 3.3. 已知ABAC ，| t | 1 AB ，|ACt ，若P点是ABC所在平面内一点，且 4ABAC AP ABAC ，PB PC 的最大值等于() A13B15C19D21 解析：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图 所示， 则B 1 t，0，C(0，t)，AP (1，0)4(0， 1)(1， 4)， 即P(1， 4)， 所以 1 -1 -4 t PB ，( 14)PCt ， ， 因此 11 1416 174 tt PB PCtt ， 因为1
3、1 4244,tt tt 所以PB PC 的最大值等于 13，当14t t ，即 1 2 t时取等号 4.4. 如图，在四边形 ABCD 中，| 4,0,ABBDDCAB BDBD DC 高考数学培优专题库教师版 DD CC BB AA 4|DCBDBDAB，则 ACDCAB)(的值为（） A.2B.22C.4D.24 解析： 2 ()() ()(|) .ABDCACABDCABBDDCABDC | 4, | 2. |(|)4, ABBDDC ABDC BDABDC ()4.ABDCAC 二、填空题 5.5. 如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线 分别交直线AB，AC于不同的两点M
4、N，若ABmAM ， ACnAN ，则mn的值为 解析：由 MN 的任意性可用特殊位置法：当 MN 与 BC 重合时知 m=1，n=1，故 m+n=2， 6.6.给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o. 如图所示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上变动. 若,OCxOAyOB 其中, x yR,则xy 的最大值是_. 解析设AOC , , OC OAxOA OAyOB OA OC OBxOA OByOB OB ，即 0 1 cos 2 1 cos(120) 2 xy xy 0 2coscos(120)cos3sin2sin()2 6 xy 三、解答题 高考数学培
5、优专题库教师版 7.7. 已知ABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3， 4)、 B(0， 0)、 C(c， 0) (1) 若0AB AC ，求c的值；(2)若5c ，求 sinA 的值 解: (1)( 3, 4)AB (3, 4)ACc 由3(3)162530AB ACcc 得 25 3 c (2)( 3, 4)AB (2, 4)AC 6 161 cos 5 205 AB AC A AB AC 2 2 5 sin1 cos 5 AA 8.8.已知向量 321 ,OPOPOP满足条件0 321 OPOPOP，1 321 OPOPOP，求证： 321 PPP是正三角形 解：令 O 为坐标原点，可
6、设 333222111 sin,cos,sin,cos,sin,cosPPP 由 321 OPOPOP，即 332211 sincossin,cossin,cos 321 321 sinsinsin coscoscos 两式平方和为11cos21 21 ， 2 1 cos 21 ， 由此可知 21 的最小正角为 0 120，即 1 OP与 2 OP的夹角为 0 120， 同理可得 1 OP与 3 OP的夹角为 0 120， 2 OP与 3 OP的夹角为 0 120， 这说明 321 ,PPP三点均匀分部在一个单位圆上， 所以 321 PPP为等腰三角形. 9.9.已知两点M(1，0)，N(1，
7、0)，且点P使NPNMPNPMMNMP,成公差 小于零的等差数列. (1)点P的轨迹是什么曲线？ (2)若点P坐标为(x0,y0),Q为PM与PN的夹角，求 tan. 解：(1)设P(x,y）,由M(1，0） ，N(1，0）得，PM=MP=(1x, 高考数学培优专题库教师版 y） ,NPPN=(1 x, y),MN= NM=(2,0), MPMN=2(1+x), PMPN=x 2+y21, NPNM =2(1x).于是，NPNMPNPMMNMP,是公差小于零 的等差数列，等价于 0 3 0)1 (2)1 (2 )1 (2)1 (2 2 1 1 222 x yx xx xxyx 即 所以，点P的
8、轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P的坐标为(x0,y0) , 3 0 , 1cos 2 1 , 30 4 1 | cos 42)24)(24( )1 ()1 (| , 21 0 2 0 2 000 2 0 2 0 2 0 22 0 2 0 x x PNPM PNPM xxx yxyxPNPMyxPNPM |3 cos sin tan, 4 1 1cos1sin 0 2 0 2 0 2 yx x 10.10.已知ABC 的角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c， 设向量( , )ma b ， (sin,sin)nBA ，(2,2)pba . （1） 若m /n ，求证
9、：ABC 为等腰三角形； （2） 若m p ，边长 c = 2，角 C = 3 ，求ABC 的面积 . 证明： （1）/ ,sinsin,mnaAbB u vv Q 即 22 ab ab RR ，其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径，ab ABC为等腰三角形 解（2）由题意可知/0,(2)(2)0mpa bb a u vu v 即 abab 由余弦定理可知， 222 4()3abababab 高考数学培优专题库教师版 2 ()340abab即 4(1)abab 舍去 11 sin4 sin3 223 SabC 11.11.在ABC中，1,2, 3, 5ABACBC ，记ABAC 与的夹角为.
10、 （）求的取值范围； （）求函数 2 ( )2sin ()3cos2 4 f 的最大值和最小值. 解(1)由余弦定理知： 2222 125 cos 2 1 24 aa ，又 3, 5a， 所以 1 0cos 2 ，又0, 3 2 （ ， ）即为的取值范围； （） 2 ( )2sin ()3cos22sin(2)1 43 f ，因为 2 ,2 3 233 ， 所以 3 2sin(2)1 23 ， 因此 max ( )3f，( )31fmin. B B 组组 一、选择题 1.1.把函数exy 的图像按向量(2)，0a平移，得到( )yf x的图像，则( )f x （） Ae2 x Be2 x C
11、2 exD 2 ex 解把函数y=e x 的图象按向量a =(2,3)平移，即向右平移 2 个单位，向上平 移 3 个单位，平移后得到y=f(x)的图象，f(x)= 2 3 x e ，选 C。 高考数学培优专题库教师版 2.2.设a=(4,3),a在b上的投影为 2 25 ,b在x轴上的投影为 2,且|b|1,则b 为（） A.(2,14)B.(2,- 7 2 )C.(-2, 7 2 )D.(2,8) 解析：设a在b的夹角为，则有|a|cos= 2 25 ，=45，因为b在x 轴上的投影为 2,且|b|1,结合图形可知选 B 3.3.设两个向量 22 (2,cos)a 和( ,sin), 2
12、m bm 其中,m为实数.若 2 ,ab 则 m 的取值范围是() A. 6,1B.4,8C.(,1 D. 1,6 解析由 22 (2,cos)a ,( ,sin), 2 m bm 2 ,ab 可得 22 22 cos2sin m m ，设 k m 代入方程组可得 222 22 cos2sin kmm k mm 消去m化简得 2 2 22 cos2sin 22 k kk ，再化简得 2 2 42 2cos2sin0 22kk 再令 1 2 t k 代入上式得 222 (sin1)(16182)0tt可得 2 (16182)0,4tt解不等式得 1 1, 8 t 因而 11 1 28k 解得61
13、k . 4.4.在直角坐标系xOy中，, i j 分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三 角形ABC中，2ABij ，3ACik j ，则k的可能值有 A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个 【解析】【解析】解法一：解法一：23(1)BCBAACijik jikj （1） 若A为直角，则 (2)(3)606AB ACijik jkk ； （2） 若B为直角，则 高考数学培优专题库教师版 (2)(1) 101AB BCij ikjkk ； （3） 若C为直角，则 2 (3)(1) 30AC BCik j ikjkkk 。 所以k的可能值个数是2，选B 解法二：解法二：数形结合如图，将 A
14、放在坐标原点，则 B 点坐标为(2,1)，C 点 坐标为(3,k)，所以 C 点在直线 x=3 上，由图知，只可能 A、B 为直角，C 不可能 为直角所以k的可能值个数是 2，选 B 二、填空题 5.5. 如图， 在ABC中，120 ,2,1,BACABACD是边BC上一点，2,DCBD 则AD BC _. 【分析】法一：由余弦定理得 222222 cos 22 ABACBCABADBD B ABACABBD 可得 7BC 13 , 3 AD ， 又,AD BC 夹角大小为ADB， 222 3298 cos 29 4 13791 BDADAB ADB BDAD ， 所以AD BC 8 cos
15、3 ADBCADB . 法 二 ： 根 据 向 量 的 加 减 法 法 则 有:BCACAB 112 () 333 ADABBDABACABACAB ,此时 22 12122 ()() 33333 AD BCACABACABACAC ABAB 1818 3333 . 6.6.如图 2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ADxAByAC ， 则x ，y . 高考数学培优专题库教师版 图 2 解析作DFAB,设12ABACBCDE ， 60DEB , 6 , 2 BD 由45DBF 解得 623 , 222 DFBF故 3 1, 2 x 3 . 2 y 三、解答题 7.7.已知点O是，内的一点
16、， 00 90BOC150AOBABC ,OAcOCbOBa设且, 3, 1, 2cba试用.,cba表示和 解： 以 O 为原点， OC， OB 所在的直线为x轴和y轴建立如图 3 所示的坐标系. 由 OA=2， 0 120AOx，所以,31-A,120sin2 ,120cos2 00 ，即A， 易求3,0C1-0B，设 . 3 1 - 3- -3 31- 3,01-031-,OA 2 1 1 2 2121 ， ，即OCOB cba 3 1 3 . 8.8.已知向量 sin ,cos,3cos ,cosaxxbxx 且0b ，函数 21f xa b （I）求函数 f x的最小正周期及单调递增
17、区间； （II）若a b ，分别求tan x及 cos2 1 x f x 的值。 （I）解； 2 cos21 2 3sin cos2cos13sin221 2 3sin2cos22sin 2 6 222, 262 x f xxxxx xxx T kxkkZ 令 得到的单调递增区间为, 36 kk kZ 高考数学培优专题库教师版 （II） 222 2 ,sin3cos ,cos0tan3 cos2cossin1tan1 31 142 3sin cos2cos2 3tan22 332 a bxxxx xxxx f xxxxx 则 9.9.已知ji , 是 x,y 轴正方向的单位向量， 设a =j
18、yix )3(,b =j yix )3(, 且满足|a |+|b |=4. 求点 P(x,y)的轨迹 C 的方程. 如果过点 Q(0，m)且方向向量为c =(1,1) 的直线 l 与点 P 的轨迹交 于 A，B 两点，当AOB 的面积取到最大值时，求 m 的值。 解：(1)a =j yix )3(, |b |=j yix )3(,且|a |+|b |=4. 点 P(x,y)到点(3,0)，(-3,0)的距离这和为 4，故点 P 的轨迹 方程为1 4 2 2 y x (2)设 A( 11, y x),B( 22, y x)依题意直线 AB 的方程为 y=x+m.代入椭圆方程， 得04485 22
19、 mmxx，则 1 x+ 2 x=- 5 8m, 1 x 2 x=) 1( 2 5 4 m 因此， 22 5 2 2 1 )5(mmdABS AOB 当 22 5mm 时，即 m= 2 10 时，1 max S 10.10.已知向量)2,(sina与)cos, 1 (b互相垂直，其中(0,) 2 （1）求sin和cos的值； （2）若 10 sin(),0 102 ，求cos的值 解（1）a与b互相垂直，则0cos2sinba，即cos2sin， 代入1cossin 22 得 5 5 cos, 5 52 sin，又(0,) 2 ， 5 5 cos, 5 52 sin. 高考数学培优专题库教师版
20、 （2） 2 0 ， 2 0 ， 22 ， 则 10 103 )(sin1)cos( 2 ， 11.11.如图，已知ABC 中，|AC|=1,ABC= 2 3 ,BAC=,记( )fAB BC 。 （1） 求( )f关于的表达式; （2） 求( )f的值域。 解： （1）由正弦定理，得 |1| 22 sin sinsin() 33 BCAB 2 sin() sin2 32 3 3 |sin ,|sin() 22 333 sinsin 33 BCAB 41 ( )| |cossinsin() 3332 fAB BCABBC 231311 (cossin )sinsin2cos2 322666 1
21、1 sin(2).(0) 3663 （2）由0 3 ，得 5 2, 666 1 sin(2)1, 26 111 0sin(2) 3666 ，即( )f的值域为 1 (0 , 6 . C C 组组 一、选择题 1.1. 在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是 高考数学培优专题库教师版 （A） 2 ACAC AB （B） 2 BCBA BC （C） 2 ABAC CD （D） 2 2 () ()AC ABBA BC CD AB 【解析【解析】 ： 2 ()00ACAC ABACACABAC BC ，A 是正确的，同理 B 也正确， 对于 D 答案可变形为 2222 CDABAC
22、BC ， 通过等积变换判断为正确. 2.2.设 F 为抛物线 y 2=4x 的焦点， A、 B、 C 为该抛物线上三点， 若 FCFBFA=0 0， 则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9(B)6(C)4(D) 3 解 设F为抛物线y 2=4x的焦点， A、 B、 C为该抛物线上三点， 若 FCFBFA=0 0， 则 F 为ABC 的重心， A、B、C 三点的横坐标的和为 F 点横坐标的 3 倍，即 等于 3， |FA|+|FB|+|FC|=(1)(1)(1)6 ABC xxx，选 B。 3 3.设 D 是正 123 PP P及其内部的点构成的集合，点 0 P是 123 PP P的中心，若
23、 集合 0 |,| |,1,2,3 i SP PD PPPPi，则集合 S 表示的平面区域是() A三角形区域B四边形区域 C五边形区域D六边形区域 解析本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要考查阅读与理 解、 信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属 于创新题型.如图，A、B、C、D、E、F 为各边三等分点，答案是集合 S 为六边 形 ABCDEF，其中， 02 1,3 i P AP APA i即点 P 可以是点 A. 4.4.已知 O，N，P 在ABC所在平面内，且,0OAOBOC NANBNC，且 PA PBPB PCPCPA，则点 O，N，P 依次是AB
24、C的() A.重心 外心 垂心B.重心 外心 内心 高考数学培优专题库教师版 C.外心 重心 垂心D.外心 重心 内心 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） 解析 ,0OAOBOCOABCNANBNCOABC由知为的外心；由知， 为的重心 00, ,. PA PBPB PCPAPCPBCA PBCAPB APBCPC ， 同理，为 ABC的垂心，选 二、填空题 5.5.在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0， 3)，C(3,0)，动点D 满足|CD |1，则|OAOBOD|的最大值是_ 解析设D(x，y)，由CD (x3，y)及|CD|1 知(x3)2y21，即动点
25、 D的轨迹为以点C为圆心的单位圆 又O A OBOD(1,0)(0， 3)(x，y)(x1，y 3)， |OA OBOD| x1 2 y 3 2. 问题转化为圆(x3) 2y21 上的点与点 P(1， 3)间距离的最大值 圆心C(3,0)与点P(1， 3)之间的距离为31 2 0 3 2 7，故 x1 2 y 3 2的最大值为 71. 6.6.如图，在半径为 1 的扇形AOB中，AOB60，C为弧上的动点，AB与 OC交于点P，则OP BP最小值是_ 解析因为OP OBBP，所以OPBP(OBBP)BPOBBP(BP)2.又因 为AOB60，OAOB，OBA60.OB1.所以OB BP|BP|
26、cos 120 1 2|BP |.所以OPBP1 2|BP |BP|2(|BP|1 4) 21 16 1 16.故当且仅当 |BP |1 4时， OP BP最小值是1 16. 三、解答题 7.7.已知向量m m(sinx，cosx)，n n(3 2， 3 2 )，xR R，函数f(x)m mn n. (1)求f(x)的最大值； 高考数学培优专题库教师版 (2)在ABC中， 设角A，B的对边分别为a，b， 若B2A， 且b2af(A 6 )， 求角C的大小 解(1)f(x)3 2sin x 3 2 cosx 3sin(x 6 )， 所以f(x)的最大值为 3. (2)因为b2af(A 6 )，由
27、(1)和正弦定理，得 sinB2 3sin 2A. 又B2A，所以 sin 2A2 3sin 2A， 即 sinAcosA 3sin 2A， 而A是三角形的内角， 所以 sinA0，故 cosA 3sinA，tanA 3 3 ， 所以A 6 ，B2A 3 ，CAB 2 . 8.8.已知ABC中， 角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若向量m m(cosB,2cos 2C 2 1)与向量n n(2ab，c)共线 (1)求角C的大小； (2)若c2 3，SABC2 3，求a，b的值 解(1)m m(cosB，cosC)，n n(2ab，c)，m mn n， ccosB(2ab)cosC， sin
28、CcosB(2sinAsinB)cosC， sinA2sinAcosC，cosC1 2， C(0，)，C 3 . (2)c 2a2b22abcos C， a 2b2ab12， SABC1 2absin C2 3， ab8， 由得 a2 b4 或 a4 b2 . 高考数学培优专题库教师版 9.9.在ABC中，AC10，过顶点C作AB的垂线，垂足为D，AD5，且满足 AD 5 11DB . (1)求|AB AC|； (2)存在实数t1，使得向量x xAB tAC，y ytABAC，令 kx xy y，求k 的最小值 解(1)由AD 5 11DB ，且 A，B，D三点共线，可知|AD |5 11|D
29、B |. 又AD5，所以DB11. 在 RtADC中，CD 2AC2AD275， 在 RtBDC中，BC 2DB2CD2196， 所以BC14. 所以|AB AC|CB|14. (2)由(1)，知|AB |16，|AC|10，|BC|14. 由余弦定理，得 cosA10 2162142 21016 1 2. 由x xAB tAC，y ytABAC， 知kx xy y (AB tAC)(tABAC) t|AB |2(t21)ACABt|AC|2 256t(t 21)16101 2100t 80t 2356t80. 由二次函数的图象， 可知该函数在1，)上单调递增， 所以当t1 时，k取得最小值
30、516. 10.10.已知向量OP (cos x， sinx),OQ 3 3 sinx，sinx ， 定义函数f(x) OP OQ. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)当OP OQ时，求锐角 x的值 高考数学培优专题库教师版 解析：(1)f(x) 3 3 sinxcosxsin 2x 1 2 3 3 1 2sin 2x 3 2 cos 2x 1 2 3 3 sin 2x 3 ， 2k 2 2x 3 2k3 2 ，kZ， 即k 12xk 7 12 ，kZ. f(x)的单调递增区间为 k 12，k 7 12 (kZ) (2)当OP OQ时，f(x)0， 即1 2 3 3 sin 2x 3
31、 0, sin 2x 3 3 2 ， 又 3 2x 3 4 3 ，故 2x 3 2 3 ，故x 6 . 11已知向量a(sin，2)与b(1，cos)互相垂直，其中 0， 2 . (1)求 sin和 cos的值； (2)若 sin() 10 10 ，0 2 ，求 cos的值 解析：(1)a与b互相垂直，则absin2cos0，即 sin 2cos，代入 sin 2 cos 2 1 得 sin2 5 5 ，cos 5 5 ， 高考数学培优专题库教师版 又 0， 2 ，sin2 5 5 ，cos 5 5 . (2)0 2 ，0 2 ， 2 2 . cos() 1sin 2（）3 10 10 . coscos()coscos()sinsin() 5 5 3 10 10 2 5 5 10 10 2 2 .
