1、高考数学培优专题库教师版 第二十六讲以平面向量为背景的取值范围问题专题第二十六讲以平面向量为背景的取值范围问题专题 一、选择题一、选择题 1已知在平面四边形已知在平面四边形 ?uli 中中，?u ? BC ，?i ? CD，?u?i ?th?, ,AD ?，AB t，点点 ? 为边为边 li 上的动点，则上的动点，则? ? ? u? ?的最小值为 的最小值为 A t? ? B ? ? ? C ? ? D t? ? 【答案】【答案】C 【解析】【解析】 如图所示，以 i 为原点，以 i? 所在的直线为 ? 轴，以 il 所在的直线为 ? 轴， 过点 u 作 u? ? ? 轴，过点 u 作 u?
2、? ? 轴， ?u ? ul，?i ? li，?u?i ?th?，AD ?，AB t， ? ?ucos?h? ?，u? ?usin?h? ?， i? ? b ? t，u? t，l? ?utan?h? ?， il i? b ?l t ?，? ?,h ，u t, ? ，l h,t ? ， 设 ? h,? ，? ? ? ?,? ，u? ? ? t,? ，h ? ? ? t ?， ? ? ? u? ? t b ?t? ? ? ? ? t t b ? ?， 当 ? ? t 时，取得最小值为? ?，故选 C. 2已知平面向量已知平面向量, ,a b c满足满足4, 3,2, 3abcbc，则，则 2 22
3、 abacabac 最最 大值为大值为( () ) A4 33 7B4 73 3 C 2 4 33 7D 2 4 73 3 【答案】【答案】D 【解析】【解析】设,OAa OBb OCc ，ab 与ac 所成夹角为，则： 2 2 2 2222 2 22 2 22 2 2 cos sin sin 4, ABC abacabac ABACABAC ABAC ABACCAB S 3,2,3bcb c ，则向量,b c 的夹角为 60， 设 3,0 ,1, 3BC，则7BC ，故： 13 3 2 sin603 22 OBC S ，设 O 到 BC 的距离为h， 则 13 33 21 , 227 OBC
4、 BC hSh ， 由4a 可知点 A 落在以 O 位圆心，4 为半径的圆上， A 到 BC 的距离的最大值为 3 21 44 7 h， 则ABC 的面积的最大值为： 13 213 3 742 7 272 故 2 2 2 abacabac 最大值为 2 2 3 3 4 2 74 73 3 2 本题选择 D 选项. 3已知已知O为原点，点为原点，点,A B的坐标分别是的坐标分别是2 ,0a和和0,2a其中常数其中常数0a ，点，点P在线段在线段AB上，且上，且 01APtABt ，则，则OA OP 的最大值为（的最大值为（） 高考数学培优专题库教师版 A 2 4aB 2 aC4aDa 【答案】【
5、答案】A 【解析】【解析】因为点,A B的坐标分别是2 ,0a和0,2a 所以2 ,22 ,0ABaa OAa ， 又由点 P 在线段 AB 上，且2,2APtABatat 所以 2 ,02,222 ,2OPOAAPaatatataat 则OA ? 22 2 ,022 ,24OPaataata ta ， 当 t=0 时候取最大为 2 4a. 故选 A. 4设设 12 ,e e 为单位向量，非零向量为单位向量，非零向量 12, , bxeye x yR . .若若 12 ,e e 的夹角为的夹角为 6 ，则，则 x b 的最大值等于的最大值等于 （） A 4B 3C 2D 1 【答案】【答案】C
6、 【解析】【解析】|b |= 22 3xxyy 只考虑 x0，则 x b = 22 3 x xxyy = 2 1 31 yy xx = 2 1 31 24 y x 2， 当且仅当 y x = 3 2 时取等号。 x b 的最大值等于 2. 故答案为：2. 5若向量若向量2,1,3abc ，且，且0a b ，则，则a cb c 的最大值是的最大值是 A 1B2C3D 3 【答案】【答案】B 【解析】【解析】 a cb cabc 33cos,3ab c ,选 D. 6 已 知 在 三 角 形已 知 在 三 角 形ABC中 ，中 ， ,90ABACBAC ， 边， 边,AB AC的 长 分 别 为
7、方 程的 长 分 别 为 方 程 2 2 134 30 xx的两个实数根的两个实数根， 若斜边若斜边BC上有异于端点的上有异于端点的,E F两点两点， 且且1,EFEAF， 则则tan的取值范围为的取值范围为 （） A 3 4 3 , 311 B 33 , 93 C 3 4 3 , 911 D 3 2 3 , 911 【答案】【答案】C 【解析】【解析】有题可知 22 2AC2 3,4ABBCABAC，. 建立如图所示的坐标系，有点 0,0 ,2,0 ,0,2 3ABC. 设 31 (0, 44 BFBCBEBC ，则 33 22 ,2 3,2 ,2 3 22 FE . 所以 22 33 22
8、 ,2 32 ,2 33434123 22 AE AF 2 2 11111 164316,9 844 . 因为点A到BC边的距离d3 AB AC BC ， 所以AEF的面积 13 S3 22 AEF EF 为定值. 所以 1 1 2 1 2 2 AEF AEAFsin S tan AE AF AEAF cos ，故 233 4 3 , 911 AEF S tan AE AFAE AF ，故选 C. 7已知已知 ?,? 是单位向量，是单位向量，? ? ? h. .若向量若向量 ? 满足满足 ? ? ? ? ? ?,则则 ? 的取值范围是（的取值范围是（） At ? ?, t b ?Bt ? ?,
9、 t b t C?, t b ?D?, t b t 【答案】【答案】A 【解析【解析】设 ? ?,h?，? ?h,?，? ?,?，则? ?tb ? ?t ?. 设 ? ? b cos?, ? ? b sin?，则 ? ?tb ?t? b t tsin? b ? ? ?，故 t ? ? ? ? ?t b ?，故选 A. 8已知非零向量已知非零向量, a b满足满足2ab，且关于且关于x的方程的方程 2 0 xa xa b 有实根有实根，则向量则向量a与与b夹角夹角 的取值范围是（的取值范围是（） 高考数学培优专题库教师版 A0, 6 B, 3 C 2 , 33 D, 6 【答案】【答案】B 【解
10、析】【解析】设a与b的夹角为，因为 2 40aa b ，所以 2 4 a a b， 1 cos 2 a b a b 本题选择 B 选项. 9在在ABC中，中， 0 90ABC，6BC ，点，点P在在BC上，则上，则PC PA 的最小值是的最小值是 （） A -36-36B -9-9C 9 9D 3636 【答案】【答案】B 【解析】【解析】90 ,0ABCAB PC ,则 PC PAPBBA PCPB PCBAPC 9 4 PBPC PB PC ，故选 B. 10设设,M N P是单位圆上三点，若是单位圆上三点，若1MN ，则 ，则MN MP 的最大值为（的最大值为（） A 3 3B 1 2
11、C 3 2 D3 【答案】【答案】C 【解析】【解析】,M N P是半径为 1 的圆上三点，1MN ， 根据余弦定理可知MN边所对的圆心角为 60则P=30 在MNP中，根据正弦定理可知 1 2,2N N30 MPMN MPsin sinPsin . 31 2Ncos 150N2sNNN 22 MN MPsinincossin 2 3sNNsNincosin 312N 2N 22 cos sin 13 sin 2N 622 MN MP 的最大值为 3 2 ，故选 C. 11已知两点已知两点1,1A ，3,5B，点，点C在曲线在曲线 2 2yx上运动，则上运动，则AB AC 的最小值为（的最小值
12、为（） A 2 2B 1 2 C2D 1 2 【答案】【答案】D 【解析】【解析】设 2 00 ,2A xx，则 2 00 4,4 ,2ABACxx ， 2 2 000 111 848 222 AB ACxxx ，即AB AC 的最小值为 1 2 ，故选 D. 12已知向量已知向量OA 与与OB 的夹角为的夹角为，2OA ，1OB ，OPtOA ，1OQt OB ， PQ 在在 0 t时取最小值，当时取最小值，当 0 1 0 4 t 时，时，cos的取值范围为（的取值范围为（） A 1 ,0 2 B 11 , 24 C 1 ,1 4 D 1 1 , 2 4 【答案】【答案】D 【解析】【解析】
13、解：建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意有：2,0 ,cos ,sinAB， 由向量关系可得： 2 ,0 ,11cos , 1sinOPtOAtOQt OBtt ， 则： 22 1cos21sinPQOQOPttt ， 整理可得： 2 54cos24cos1PQtt ， 满足题意时： 0 24cos13 2 54cos22 4cos5 t ， 据此可得三角不等式： 131 0 22 4cos54 ， 解得： 11 cos 24 ，即cos的取值范围是 1 1 , 2 4 . 本题选择 D 选项. 高考数学培优专题库教师版 13已知平面向量已知平面向量a ，b ，1a ，2b ，且且1a b
14、. .若若e 为平面单位向量为平面单位向量， abe 的的 最大值为（最大值为（） A6B6 6C7D7 7 【答案】【答案】C 【解析【解析】 a eb e abea eb ea eb e ee ，其几何意义为a 在e 上的投影的绝对 值与b 在e 上投影的绝对值的和，当e 与ab 共线时，取得最大值， 2 2 27 max a eb eababa b ，则 abe 的最大值为7，故选 C. 14 如 图 在如 图 在ABC中中 ，120 ,1,2,BACABACD为为BC边 上 一 点 （ 含 端 点边 上 一 点 （ 含 端 点 ） ， 0DCBD ，则则AD BC 的最大值为（的最大值
15、为（） A 2B 3C 4D 5 【答案】【答案】D 【解析】【解析】1 2cos1201AB AC , 11 ADACCDACCBACABAC 1 11 ACAB , 22 1115 111111 AD BCACABACABACABAC AB ， 因为 0，所以 5 5 1 ，即AD BC 的最大值为5. 15已知点已知点M是边长为是边长为 2 的正方形的正方形ABCD的内切圆内的内切圆内（含边界含边界）一动点一动点，则则MA MB 的取值范围是的取值范围是 （ ） A1,0B1,2C1,3D1,4 【答案】【答案】C 【解析【解析】 试题分析： 建立坐标系如图所示， 设,M x y， 其中
16、1, 1A ，1, 1B， 易知 22 1xy， 而 2 2 1,11,111MA MBxyxyxy ，若设0, 1E，则 2 1MA MBME ，由 于02ME，所以 2 1MA MBME 的取值范围是1,3，故选 C. 16已知已知, a b 为单位向量，且为单位向量，且ab ，向量，向量c 满足满足3cab ，则，则c 的取值范围为（的取值范围为（） A1,12 B22,22 C2,2 2 D32,32 【答案】【答案】D 【解析】【解析】法一：由3abc 得 2 9abc ，即 2 22 2 2 2 9cababacb c ，所 以 2 27cab c ， 则 有 2 2cos,7ca
17、b cab c ， 又 因 为2ab ， 所 以 2 2 2cos,7ccab c ，由于cos,1,1ab c ，所以有 2 2 272 2ccc ，解得： 3232c ，故选则 D. 法 二 ： 设 向 量1,0 ,0,1ab ， 设 向 量,cx y ， 则1,1abcxy ， 所 以 有 高考数学培优专题库教师版 22 113xy，即 22 119xy，所以点, x y的轨迹是以1, 1 为圆心，3 为半径 的圆，如下图， 因为 22 cxy ，可以看作圆上动点, x y到原点0,0距离的最大值、最小值，先求圆心 1, 1A 到原点0,0的距离为2，所以 max 32crd ， min
18、 32crd ，所以 3232c ，故选择 D. 17如图如图，扇形扇形?中中，? ?,?u ?h?，?是是?u中点中点，?是弧是弧?u上的动点上的动点，?是线段是线段?上的动上的动 点，则点，则? ? ? ? ? ?的最小值为 的最小值为 A hB ? ? t C ? t D ? ? ? t 【答案】【答案】D 【解析】【解析】 建立如图所示平面直角坐标系， 设 ?cos?,sin?,?h, ? t ?,?,h?， 则? ? ? ? cos?, ? t ? sin?,? ? ? ? cos?, ? sin?，故? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t sin? b?cos?，因为 h
19、? ? ? ?，所以? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t sin? b ?cos? ? ? ? ? ? t sin? b cos?；又因为 ? ? ? ? t sin? b cos? ? ? ? ? b ?sin? b ? ? ? ? t sin? b ?tan? t?，所 以 ? ? ? ? t sin? b cos? ? ? ? t sin? b ? ? ? ? ? t （当且仅当 sin? b ? ? 取等号） ，应选答案D。 二、填空题二、填空题 18 ABCD在直角梯形中，/ /12ABADDCABADCDAB，,E F分 别 为分 别 为 ABAC，的中点，设以的中点，设以A
20、为圆心，为圆心，AD为半径的圆弧为半径的圆弧DE上的动点为上的动点为P(如图所示如图所示)，则，则AP PF 的取的取 值范围是值范围是 _. 【答案】【答案】 110 ,1 22 【解析】【解析】 以 A 为原点，以 AB 为 x 轴，以 AD 为 y 轴建立平面直角坐标系，设=0 2 PAE ，则 cos ,sinP， 3 1 , 2 2 F ，cos ,sinAP ， 31 cos ,sin 22 PF ， 高考数学培优专题库教师版 311310 coscossinsinsincos1sin1 22222 AP PF ，（ 其 中 tan3为锐角，） ，当sin1时，AP PF 取得最大
21、值 10 1 2 ，当P在D点位置时 2 ，AP PF 取最小值 101010111 sin1cos111 22222210 ，则 AP PF 的取值范围 110 ,1 22 . 19定义域为定义域为?,?的函数的函数 ? ?的图象的两个端点为的图象的两个端点为A A，B B，?,?是是 ?图象上的任意一点，其图象上的任意一点，其 中中 ? ? b ? ? ? ? ? ?，向量，向量? ? ? ? ? ?b ? ?u? ?，其中 ，其中O O是坐标原点是坐标原点?若不等式若不等式? ? ? ? 恒成 恒成 立立，则称函数则称函数 ?在在?,?上上“k k阶线性近似阶线性近似”?若若 ? ? b
22、 ? ?在 在?,t?上上“k k阶线性近似阶线性近似”，则实数则实数k k的取值范的取值范 围是围是_ 【答案】【答案】? ? t ?t, b ? 【解析】【解析】 由题意知 ? ?，? t，? ?,t?，u?t, ? t?； ?直线AB的方程为 ? ? t ? b ? t； ? ? ? b t? ? t ? ?， ? ? ? ?,t? b ? ?t, ? t ? ?t? ?, ? t ? ? t ?； ? ?，N两点的横坐标相同，且点N在直线AB上； ? ? ? ? ? ?b ? ? ? ? t ? ? ? t ? ? ? t b ? ? ? ? t ?， ? t b ? ? ? t ?
23、t ? ? ? t，? t时取“”； 又 t ? ? t， ? ? ? ? ? t b ? ? ? ? t ? ? ? t ?t； 要使? ? ? ? 恒成立，k的取值范围是 ? ? ? t ?t 故答案为：? ? t ?t, b ? 20 在在?ul 中中， i 是是 ul 的中点的中点， ? 是是 ?i 的中点的中点， 过点过点 ? 作一直线作一直线 ? 分别与边分别与边 ?u,?l交于交于 ?,?， 若若? ? ? ? ?u? ?， ，? ? ? ? ?l? ?，则，则 ? b ? 的最小值是的最小值是_ 【答案】? ? 【解析】 ?ul 中，i 为 ul 边的中点，? 为 ?i 的中点
24、， 且? ?u? ?,? ? ?l? ?， ? ? ? ? ?b ? ?u? ?b ? ? t ?i ? ? ? ? ?u ? ?b ?l? ?， ? ? ? ? ? ? ?u ? ?b ? ? ?l ? ?， 同理，? ? ? ? ?u ? ?b ? ? ? ? ?l ? ?， 又?与? ?共线， ?存在实数?，使? ? ? ? h ， 即 ? ? ? ? ?u ? ?b ? ? ?l ? ? ? ? ? ?u ? ?b ? ? ? ? ?l ? ?， ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，解得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ， ? ? b ?
25、? ? ? ? ? b ? ? ? ? ? ? ? ? b ? ? b ? ? ? t? ? ? ? ? ? ? b ? ? ? ?， 当且仅当? ? t 时， “=”成立，故答案为? ?. 21已知点已知点 ?,h?，O O为原点为原点，对于圆对于圆O O：?tb ?t ? 上的任意一点上的任意一点P P，直线直线l l：? ? ? 上总存在上总存在 点点Q Q满足条件满足条件? ? ? b ? ? ? t? ? ?，则实数 ，则实数k k的取值范围是的取值范围是_ 【答案】【答案】 h, ? ? 【解析】【解析】 高考数学培优专题库教师版 根据题意，? 是圆 ? ?tb ?t ? 上任意一
26、点， 可设 ?tcos?,tsin?， 若点 ? 满足条件? ? ? b ? ? ? t? ? ?，则 ? 是 ? 的中点， 则 ? 的坐标为?tb cos?,sin?， 若 ? 在直线 l? ? ? 上，则 sin? ?tb cos? ? ?， 变形可得 ? sin?b? tbcos?， 即 ? 表示单位圆上的点?cos?,sin? 与点 ? ? t, ?连线的斜率， 设过点 ? 的直线 ? ? ? ?b t?与圆?tb ?t ? 相切， 则有?t? ?b?t ?， 解可得 ? h 或? ?， 则有 h ? sin?b? tbcos? ? ? ?，即 ? 的取值范围为?h, ? ? ?,故答
27、案为?h, ? ? ? 22如图如图，向量向量? ? ? ? ?u ? ?， ，? ? ? t， ，?u ? ? ?， ，P P是以是以O O为圆心为圆心、? ? ?为半径的圆弧 为半径的圆弧?l ?上的动点 上的动点，若若 ? ? ? ? ? ? b ?u ? ?，则 ，则mnmn的最大值是的最大值是_ 【答案】【答案】? 【解析】【解析】 因为? ? ? ? ?u ? ?，? ? t，?u? ? ?， 所以? ? t ?,?u? ? t ?,? ?u? ? h, 因为 ? 为圆上，所以? ? ? t ?， ? ? ? ? ? ? ?b ?u? ?， ? ? ? ? t ? ? ?b ?u?
28、 ?t， ? ? ?tb ?t， ? ?tb ?t? ?， ? ? ? ?， ? ? ? ?，故答案为 1 23在在ABCABC 中，角中，角 A A，B B，C C 的对边分别为的对边分别为 a a，b b，c c，若（，若（2a2ac c）u? ? ? ul? ?=c =clu? ? l? ?且且| |u? ?ul? ?|=2|=2， 则则ABCABC 面积的最大值为面积的最大值为_ 【答案】【答案】 ? 【解析】【解析】 （ （2ac）u? ?ul? ?=clu? ?l? ?， 可化为：（t? ?）?u? ? ?ul ?u ? lu? ? ?l?l， 即： （2a-c）cacosB=ca
29、bcosC， （ 2a-c）cosB=bcosC， 根据正弦定理有（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC， 2sinAcosB=sin（C+B） ，即 2sinAcosB=sinA， sinA0， ?u ? t ，即 u ? ? ； ?u? ? ul? t，? ?l? t ，即 b2=4，根据余弦定理 b2=a2+c2-2accosB， 可得 4=a2+c2-ac，由基本不等式可知 4=a2+c2-ac2ac-ac=ac，即 ac4， ABC 的面积 ? ? t ?i?u ? ? t ? ? ? ? t ? ， 即当 a=c=2 时，ABC 的面积的最大值为 ? 故答案为： ?.
30、24已知点已知点 ? ? ?,h?,u?,h?和圆和圆 l? ?tb ? ?t ? 上的动点上的动点 ?，则则 ?tb ?u?t的取值范围的取值范围 是是_. 【答案】【答案】 t ?,?h 【解析】【解析】 设已知圆的圆心为 C,由已知可得? ? ? ?,h ,?u? ? ?,h ， ? ?b ?u? ? h?,? ? ?u? ? ?, 高考数学培优专题库教师版 又由中点公式得? ?b ?u? ? t? ?，所以： ? ? t b ?u? ? t ? ? ?b ?u? ? t ? t ? ? ?u? ? t? ? t b t ? ? ? ? ? ?b ? ? t ? ? ? t b t, 又
31、因为?l? ? ?,? ，点 P 在圆(x3)2+(y4)2=4 上，所以 l? ? t,且? ? ?l? ?b l? ?， 所以 ?l? ? l? ? ? ? ?l? ?b l? ? ?l? ?b l? ?， 即 ? ? ? ? ? ? ?,故 th ? ? ? t b ?u? ? t t ? ? t b t ? ?hh， 所以|PA|2+|PB|2的最大值为 100，最小值为 20. ?tb ?u?t的取值范围是 t ?,?h . 25如图，在梯形如图，在梯形 ?uli 中，中，?uli，?u ?，?i ?，li t. .? 是线段是线段 ?i 上一点上一点， （可与（可与 ?， i 重合
32、重合） ，若，若?l ? ? u? ?，则 ，则?u? ? ?i? ?的取值范围是的取值范围是_ 【答案】【答案】? ? ?,? 【解析】【解析】 设 ? ? ?i? ?,? ? h,? , ? u? ? ?u? ? ?i? ? ?u? ?， ?l? ? ?i? ?b il? ? ?i? ?b ? t ?u ? ?， ? u? ?l? ? ?i ? ? ?u? ? ? ?i ? ?b ? t ?u ? ? ?i ? ? t ? ? t ?u ? ? t b ? t ? ? ? ?i ? ? ?u? ? ? ? ? b ? t ? ? ? ?i ? ? ?u? ? ?， ? ?i ? ? ?u?
33、 ? t ? ? ?t ? t ? b ? ?t ? ? ?,? ，故答案为 ? ?,? . 26 在在ABC 中中， D 为为 AB 的中点的中点， 若若 tBA? ? DC? ? ?AB? ? AC? ?， 则则 tanA b tanB b tanC 的最小值是的最小值是_ 【答案】【答案】? ? ? 【解析】【解析】 根据 D 为 AB 的中点，若 tBA? ? DC? ? ?AB? ? AC? ?，得到?u ? ? ?l? ?b lu? ? ?u? ? ?l? ?， 化简整理得u? ? ul? ? ?u? ? ?l? ?，即 ?cosu ?cos?， 根据正弦定理可得 sin?cosu
34、 ?sinucos?，进一步求得 tan? ?tanu， 所以 tan? b tanu b tanl tan? b tanu ? tan?btanu ?tan?tanu ?tanu ? ?tanu ?tantu ?thtan?u ?tantu， 求导可得当 tanu ? t 时，式子取得最大值，代入求得其结果为 ?th? ? ? ? ? ? ? ? ， 故答案为? ? ? . 27已知已知? ? ? ? ?b ? h 与与?t?b ? ? ? ? h 相交于点相交于点 ?，线段，线段 ?u 是圆是圆 l? ? b ? t b ? b ? t ? 的一条动弦，且的一条动弦，且 ?u t ?，则，
35、则|? ? ?b ?u? ?|的最小值是 的最小值是_ 【答案】【答案】? t ? t 【解析】【解析】 l1：mxy3m+1=0 与 l2：x+my3m1=0， l1l2，l1过定点（3，1） ，l2过定点（1，3） ， 点 P 的轨迹方程为圆（x2）2+（y2）2=2， 作垂直线段 CDAB，CD= tt-（?） t=1， 所以点 D 的轨迹为（? b ?tb ?b ?t ?, 则|? ?b ?u? ?|=|?l? ?b l? ?b ?l? ?b lu? ? t?l? ?b li? ? t?i? ?， 因为圆 P 和圆 D 的圆心距为 ?tb ?tb ?tb ?t ? t ? ? bt，
36、所以两圆外离， 所以|PD|最小值为 ? t ? ? ?t t t ? ?， 所以|? ? ?b ?u|?的最小值为 4 t2. 故答案为：4 t2. 28如图，已知扇形如图，已知扇形 ?u 的弧长为的弧长为? t ? ?，半径为，半径为 ? t，点，点 l 在弧在弧 ?u 上运动，且点上运动，且点 l 不与点不与点 ?,u 重重 合，则四边形合，则四边形 ?lu 面积的最大值为面积的最大值为_ 【答案】【答案】? ? 高考数学培优专题库教师版 【解析】【解析】 已知扇形 ?u 的弧长为? t ? ?，半径为 ? t，所以?u t? ? 。 由三角形的面积公式可知S?l? ? t i?l ?
37、? ? ?l ?i?l，S?lu ? t i?u?l ? ?u ? ?l ?i?u?l，所以四边形 ?lu 面积为S?l?b S?lu ?i?l b i?u?l?，因为?l b ?u?l ?u t? ? ，所以?u?l t? ? ? ?l，由此四边形 ?lu 面积为S?l?b S?lu ? i?l b sin t? ? ? ?l ? ? t i?l b ? t ?l ? ?sin?l b ? ? ?，?l ?（h， t? ? ），?l b ? ? ?（ ? ? ， ? ? ），所以最大值为 ? ?，当?l ? ?时取等号。 29 若若?ul 中中， ?u t,ul ?,?u ?， i 为为?u
38、l 所在平面内一点且满足所在平面内一点且满足?u ? ? ?i? ? ? ?l? ? ?i? ? ?，则，则 ?i 长度的最小值为长度的最小值为_ 【答案】【答案】 t 【解析】【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，u? ? ?, ?,l?, ?， 设 i?,?，所以?u? ? ? ? ?, ? ?,?l? ? ?, ?,?i? ? ?,?， 所以?u? ? ?i? ? ? ?l? ? ?i? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 即?b ? ? ?，令 ? b ? ? ? ? ? ? ，则 ? ? ? ? ? ? ? ?b ? ，所以 ? ?， 所以 ?i ?tb ?t ? ? ?
39、 ?tb ?b ?t ? ? ?h?tb t?tb ?t? t ? t?tb ?tb t? ? t ? ?h? b t? t， 当且仅当 ? ? ? t ?时，?i 取得最小值 t. 30如图如图，棱形棱形 ?uli 的边长为的边长为 2 2，? ?h?,M,M 为为 DCDC 的中点的中点，若若 N N 为菱形内任意一点为菱形内任意一点（含边界含边界） ，则则 ? ? ?的最大值为的最大值为_ 【答案】【答案】9 【解析】【解析】 如图， 以点 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系， 由于菱形 ABCD 的边长为 2，?=?h?，M 为 DC 的中点，故点 ?h
40、,h?， 则 u?t,h?,l?, ?,i?, ?,?t, ?， 设 ?,?，N 为菱形内（包括边界）一动点， 对应的平面区域即为菱形 ABCD 及其内部区域. 因为? ? ?t, ?,? ? ?,?，则? ? ? t?b ?， 令 ? t?b?， 则 ? ? t ? ? ? b ? ? ?， 由图像可得当目标函数 ? t?b? 过点 l?, ?时， ? t?b ? 取得最大值，此时 ? t ? ? b? ? ?， 故答案为 9. 31在在?ul 中中，?u ?l ?,?l ? ? ?u? ? ?l? ? t， ，点点 ? 是是?ul 所在平面内一点所在平面内一点，则当则当? ? ? t b
41、?u? ? t b ?l? ? t 取得最小值时，取得最小值时，? ? ? ul? ?_ 【答案】【答案】24. 【解析】【解析】 由?l ? ? ?u? ? ?l? ? t，得 ?l ? ? ? ?u ? ? cos? ?l? ? t， 高考数学培优专题库教师版 ? ?u? ? cos? ?l? ? ?， ? ul? ? ?l? ?，即?l ? t， 以 l 为坐标原点建立如图所示的坐标系， 则 ? ?,h ,u h,? t ，设 ? ?,? ， 则? ? t b ?u? ? t b ?l? ? t ? ? ? t b ?tb ?tb ? ? ? t t b ?tb ?t ?t? ?b ?t
42、? ?t t? b ? ? ? ? t b ? ? t t t b ? ， ?当 ? ?,? t t时取得最小值，此时 ? ?,t t ， 则? ? ?u? ? t, ? t t ? h, ? ? t t?，故答案为 t?. 32在在?ul 中中, ,i 为为 ?u 的中点的中点, ,?l tli ?,?ul 的面积为的面积为 6,u? ? li 且且 u? 交交 li 于点于点 ?, ,将将 ?uli 沿沿 li 翻折翻折, ,翻折过程中，翻折过程中，?l 与与 u? 所成角的余弦值取值范围是所成角的余弦值取值范围是_ 【答案】【答案】 h, ? ? . 【解析】【解析】 ：如图所示，根据题
43、意，过 ? 作 li 的垂线，垂足为 ?, 过 u 作 li 的垂线，垂足为 ?,由题 ?l tli ?,?ul 的面积为 6， ?li ? t ?ul ? t ? ? li ?, ? u? ? ? ， 设u? ?,?l? ?的夹角为?， ? u? ? ?l? ? u? ? ? ?b ?l? ? u? ? ? ? ? ? ? ?tcos? ? ? ? ? ? ? cos? ? ? ? , 故 l 与 u? 所成角的余弦值取值范围是 h, ? ? . 即答案为 h, ? ? . 33如图如图，在边长为在边长为 1 的正方形的正方形 ABCD 中中，E 为为 AB 的中点的中点，P 为以为以 A
44、为圆心为圆心，AB 为半径的圆弧为半径的圆弧（在在 正方形内正方形内，包括边界点包括边界点）上的任意一点上的任意一点，则则? ? ? u? ?的取值范围是 的取值范围是_； 若向量若向量?l ? ? ?i? ?b ? ?， ，则则 ? b ?的最小值为的最小值为_. 【答案】【答案】?h,? ? t 【解析】【解析】 如 图， 以 A 为 原点 ，以 AB 所 在直 线为 x 轴 ，建 立平 面直 角坐 标系 ，结 合题 意， 可知 ?h,h?,u?,h?,?sin?,cos? ? ?h, ? t ?，所以? ? u? ? ?cos?,sin? ? ?cos? ? ?,sin? cos?cos
45、? ? ? b sin? ? sin? cost? ? cos? b sint? ? ? cos?，因为? ? ?h, ? t ?，所以 cos? ? ?h,?，所以 ? ? cos? ? ?h,?， 所以? ? u? ?的范围是?h,?； 根据?l? ? ?i? ?b ? ?，可得?,? ? ? t, ? b ?cos?,sin?，即 ? ? t ? b ? ? ? ? b ?i? ，从而可以求得? tsin?tcos? sin?btcos? ,? ? sin?btcos?， 所以? b ? tsin?tcos?b? sin?btcos? ， 因为? ? ?h, ? t ?，所以 sin?
46、? ?h,?,cos? ? ?h,?，所以当 cos?取得最大值 1 时，同时 sin?取得最小值 0， 这时? b ?取得最小值为h?tb? hbt ? t，所以? b ?的最小值是 ? t. 34已知已知?，?是两个单位向量是两个单位向量， 而而 ? ?， ? ? ? ? ? t， ， ? ? ? ?，? ? ? t， 则对于任意实数则对于任意实数?,?t，? ? ? ?t?的最小值是的最小值是_ 【答案】【答案】? 【解析】【解析】 ? ? ? ?t?t ? ?tb ?t?tb ?tt?t? t? ? ? t?t? ? ?b t?t? ? 高考数学培优专题库教师版 =?b ?tb ?tt
47、? t? ?tb ?t ?b ?t? t t ?tb ? ? ?t? t?tb ? ? ? 当且仅当?t=t，?=h 时取等号，即 ? ? ? ?t?的最小值是 3. 35如图如图，在正方形在正方形 ABCD 中中，E 为为 AB 的中点的中点，P 为以为以 A 为圆心为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点为半径的圆弧上的任意一点， 设向量设向量?l ? ? ?i? ?b ? ?,则 则?+?最小值为最小值为_ 【答案】【答案】? t 【解析】【解析】 以 ? 为原点，以 ?u 所在直线为 ? 轴，建立平面直角坐标系. 设正方形 ?uli 的边长为 ?， 则 E（ ? t ，h） ，C（1，1
48、） ，D（h，1） ，A（h，h） 设 P（cos?，sin?） ，? ?l ? ? ?,? .又向量 所以，?（ ? t ，? 1）b ?（cos?，sin?）（ ? t b ?cos?，? ? b ?sin?） ， ? 2 b ?cos?1 ? ? b ?sin?1 ，? ? ?h, t ? ? 2sin?2cos? 2cos?bsin? ? 3 2cos?bsin? ， ? b ? 3b2sin?2cos? 2cos?bsin? ?2cos?sin?b3sin?b3 2cos?bsin? ? 1 b 3sin?b3 2cos?bsin? 令 ? sin?b? tcos?bsin? ,?
49、? ?h, t ?，则? t?cos?btsin? （tcos?bsin?） t? h 所以当? h 时，? b ?取最小值为. 36如图如图，正方形正方形 ?uli 的边长为的边长为 t，三角形三角形 i?l 是等腰直角三角形是等腰直角三角形（? 为直角顶点为直角顶点） ，?，? 分别为分别为 线段线段 li，?u 上的动点（含端点上的动点（含端点） ，则，则? ? ? ? ?的范围为 的范围为_ 【答案】【答案】?,? 【解析】【解析】 以 AB 所在直线为 x 轴，以 AD 所在直线为 y 轴，以 A 为坐标原点建立平面直角坐标系， 正方形 ?uli 的边长为 t，三角形 i?l 是等腰
50、直角三角形， ?,? 设 ?,t?,?,h?， h ? ? ? t,h ? ? ? t， h ? ? ? ?,h ? ? t， 又? ? ? ? ?, ? ,? ? ? ?, ?， ? ? ? ? ? ?, ? ? ? ?, ? ? ? ?b ? b?， 由基本不等式得 ? ?b ? b? ? ? t ? b ? ? ? ? ?tb ?，当且仅当 ? ? 时等号成立。 又 h ? ? t， ? ? ? ? ? ?tb ? ? ?， 故? ? ? ?的范围为?,? 37设向量设向量1,2a ，1,1b ，且，且a 与与ab 夹角为锐角，则实数夹角为锐角，则实数的取值范围是的取值范围是_ 【答案】
