1、本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 本资料分享本资料分享 自千人教师自千人教师 QQ群群 323031380 期期 待你的加入待你的加入 与分享与分享 ？ 1.1集合的概念集合的概念 第第1课时集合的概念课时集合的概念 ？ 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.通过实例通过实例,了解集合的含义了解集合的含义. 2.掌握集合中元素的三个特征掌握集合中元素的三个特征. 3.理解元素与集合的属于关系理解元素与集合的属于关系,并能用符号并能用符号“” 或或“ ”来表示来表示. 4.记住常用的数集及其记法记住常用的数集及其
2、记法. 5.体会数学抽象的过程体会数学抽象的过程,加强逻辑推理与数学运加强逻辑推理与数学运 算能力的培养算能力的培养. 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 易易 错错 辨辨 析析 随随 堂堂 练练 习习 ？ 自主自主预习预习新知导学新知导学 ？ 一、元素与集合的相关概念一、元素与集合的相关概念 【问题思考】【问题思考】 阅读下面的例子阅读下面的例子,并回答提出的问题并回答提出的问题: (1)在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,第四象限的点的全体第四象限的点的全体; (2)方程方程x2-1=0的所有实数根的所有实数根; (3)某校高一某校高一(1)班所有性格开朗
3、的女生班所有性格开朗的女生. ？ 1.以上各例子中要研究的对象分别是什么以上各例子中要研究的对象分别是什么? 提示提示:分别为点、实数根、女生分别为点、实数根、女生. 2.哪个语句中的对象不确定哪个语句中的对象不确定?为什么为什么? 提示提示:(3)中的对象不确定中的对象不确定.因为因为“性格开朗性格开朗”没有明确的划分标没有明确的划分标 准准. 3.填空填空:一般地一般地,我们把我们把研究对象研究对象统称为元素统称为元素,通常用小写拉丁通常用小写拉丁 字母字母a,b,c,表示表示.把一些把一些元素元素组成的总体叫做集合组成的总体叫做集合(简称为简称为 集集),通常用大写拉丁字母通常用大写拉丁
4、字母A,B,C,表示集合表示集合. ？ 二、集合中元素的特征二、集合中元素的特征 【问题思考】【问题思考】 1.英文单词英文单词good的所有字母能否组成一个集合的所有字母能否组成一个集合?若能组成一若能组成一 个集合个集合,则该集合中有几个元素则该集合中有几个元素?为什么为什么? 提示提示:能能.因为集合中的元素是确定的因为集合中的元素是确定的(确定性确定性);三个元素三个元素.因为因为 集合中的元素是互不相同的集合中的元素是互不相同的(互异性互异性). ？ 2.分别由元素分别由元素1,2,3和和3,2,1组成的两个集合有何关系组成的两个集合有何关系?集合中集合中 的元素有没有先后顺序的元素
5、有没有先后顺序? 提示提示:两个集合相等两个集合相等.只要构成两个集合的元素是一样的只要构成两个集合的元素是一样的,我们我们 就称这两个集合是相等的就称这两个集合是相等的.也就是说集合中的元素没有先后也就是说集合中的元素没有先后 顺序顺序(无序性无序性). ？ 3.填空填空: 集合中元素的特性集合中元素的特性:确定性确定性、互异性互异性、无序性、无序性.只要构成两个只要构成两个 集合的元素是一样的集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是我们就称这两个集合是相等相等的的. 4.做一做做一做:下列各组对象不能组成集合的是下列各组对象不能组成集合的是() A.大于大于6的所有整数的所有整数 B.高一
6、数学课本中所有的简单题高一数学课本中所有的简单题 C.被被3除余除余2的所有正整数的所有正整数 D.函数函数y=x图象上的所有点图象上的所有点 答案答案:B ？ 三、元素与集合的关系三、元素与集合的关系 【问题思考】【问题思考】 1.设集合设集合A表示表示“110之间的所有奇数之间的所有奇数”,3和和4与集合与集合A是何关是何关 系系? 提示提示:3是集合是集合A中的元素中的元素,即即3属于集合属于集合A,记作记作3A;4不是集不是集 合合A中的元素中的元素,即即4不属于集合不属于集合A,记作记作4 A. 2.填空填空:如果如果a是集合是集合A的元素的元素,就说就说a属于属于集合集合A,记作记
7、作aA;如如 果果a不是集合不是集合A中的元素中的元素,就说就说a不属于不属于集合集合A,记作记作a A. ？ 四、常用的数集及其记法四、常用的数集及其记法 【问题思考】【问题思考】 1.非负整数集与正整数集有何区别非负整数集与正整数集有何区别? 提示提示:非负整数集包括非负整数集包括0,而正整数集不包括而正整数集不包括0. 2.填写下表填写下表: ？ 3.若若aQ,则一定有则一定有aR吗吗?反过来呢反过来呢? 提示提示:若若aQ,则一定有则一定有aR;反过来反过来,若若aR,则不一定有则不一定有 aQ. 4.做一做做一做:用符号用符号“”或或“ ”填空填空. (1)1N*;(2)-3N; (
8、3)0Z; (4) Q; (5) R. 答案答案:(1)(2) (3)(4) (5) ？ 【思考辨析】【思考辨析】 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打正确的在后面的括号内打“ ”,错误错误 的打的打“”. (1)某班学生所有的姓氏能组成集合某班学生所有的姓氏能组成集合.( ) (2)方程方程x2-2x+1=0的解集中含有的解集中含有2个元素个元素.( ) (3)高一数学第一册第一章的所有难题能组成集合高一数学第一册第一章的所有难题能组成集合.( ) (4)改变一个集合中元素的顺序改变一个集合中元素的顺序,所得集合仍与原来的集合相所得集合仍与原来的集合相 等等.(
9、) ？ 合作合作探究探究释疑解惑释疑解惑 ？ 探究探究一一 集合集合的判定的判定 【例【例1】 判断下列每组对象能否构成一个集合判断下列每组对象能否构成一个集合: (1)等边三角形的全体等边三角形的全体;(2)小于小于2的所有整数的所有整数; (3)所有无理数所有无理数;(4)著名的数学家著名的数学家. 解解:(1)任给一个三角形任给一个三角形,可以明确地判断是不是等边三角形可以明确地判断是不是等边三角形,要要 么是么是,要么不是要么不是,二者必居其一二者必居其一,且仅居其一且仅居其一,故故“等边三角形的等边三角形的 全体全体”能构成集合能构成集合;类似地类似地,(2)能构成集合能构成集合;(
10、3)能构成集能构成集 合合;(4)“著名的数学家著名的数学家”无明确判断标准无明确判断标准,对于某个数学家算不对于某个数学家算不 算著名无法客观判断算著名无法客观判断,因此因此“著名的数学家著名的数学家”不能构成集合不能构成集合. ？ 反思感悟反思感悟 一般一般地地,确认一组对象确认一组对象a1,a2,a3,an能否构成集合的具体过程能否构成集合的具体过程 如下如下: ？ 【变式训练【变式训练1】 下列各对象可以组成集合的是下列各对象可以组成集合的是() A.在数轴上与原点非常近的点在数轴上与原点非常近的点 B.26个英文字母个英文字母 C.高一年级视力比较好的同学高一年级视力比较好的同学 D
11、.与无理数与无理数相差很小的实数相差很小的实数 解析解析:对于对于A选项中选项中“非常近非常近”标准不明确标准不明确,故不能构成集合故不能构成集合;同同 理理C选项中的选项中的“视力比较好视力比较好”,D选项中的选项中的“相差很小相差很小”,标准均不标准均不 明确明确,故故C,D均不能构成集合均不能构成集合;B能构成集合能构成集合,因为因为26个英文字个英文字 母是确定的母是确定的. 答案答案:B ？ 探究探究二二 元素元素与集合的关系与集合的关系 【例【例2】 给出下列四个关系给出下列四个关系: ,其其 中正确的有中正确的有() A.4个个B.3个个C.2个个D.1个个 答案答案:C ？ 反
12、思感悟反思感悟 判断判断一个元素是不是某个集合的元素一个元素是不是某个集合的元素,关键是判断这个元素关键是判断这个元素 是否具有这个集合的元素的共同特征或共同属性是否具有这个集合的元素的共同特征或共同属性.要么是要么是,要要 么不是么不是,两者必居其一两者必居其一,且仅居其一且仅居其一. ？ 【变式训练【变式训练2】 用符号用符号“”或或“ ”填空填空: 答案答案: ？ 探究探究三三 集合集合中元素的特性及其应用中元素的特性及其应用 【例【例3】 已知集合已知集合A中含有两个元素中含有两个元素a-3和和2a-1,若若-3A,试求试求 实数实数a的值的值. 解解:由由-3A, 知知-3=a-3或
13、或-3=2a-1. 若若-3=a-3,则则a=0. 此时集合此时集合A中含有两个元素中含有两个元素-3,-1,符合题意符合题意; 若若-3=2a-1,则则a=-1. 此时集合此时集合A中含有两个元素中含有两个元素-4,-3,符合题意符合题意. 综上所述综上所述,a=0或或a=-1. ？ 1.若将本例中的条件若将本例中的条件“-3A”换成换成“aA”,求实数求实数a的值的值. 解解:由由aA,知知a=a-3或或a=2a-1,解得解得a=1,此时集合此时集合A中有两个元中有两个元 素素-2,1,符合题意符合题意. 故所求故所求a的值为的值为1. 2.若将本例中的条件若将本例中的条件“-3A”去掉去
14、掉,求实数求实数a的取值范围的取值范围. 解解:由集合中元素的互异性由集合中元素的互异性, 得得a-32a-1,即即a-2. 故所求故所求a的取值范围为的取值范围为a-2. ？ 反思感悟反思感悟 解答解答此类问题一般是先根据集合中元素的确定性解出字母所此类问题一般是先根据集合中元素的确定性解出字母所 有可能的值有可能的值,再根据集合中元素的互异性对元素进行检验再根据集合中元素的互异性对元素进行检验.主主 要培养逻辑推理与数学运算素养要培养逻辑推理与数学运算素养. ？ 易易 错错 辨辨 析析 ？ 因忽视集合中元素的互异性致错因忽视集合中元素的互异性致错 【典例】【典例】 关于关于x的方程的方程x
15、2-(a+1)x+a=0的解集中有几个元素的解集中有几个元素? 错解错解:因为因为x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)=0,所以方程的解为所以方程的解为1,a,则方则方 程的解集中有两个元素程的解集中有两个元素1,a. 以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改你如何改 正正?你如何防范你如何防范? 提示提示:以上错解中没有注意到字母以上错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性的取值带有不确定性.事事 实上实上,当当a=1时时,不满足集合中元素的互异性不满足集合中元素的互异性. ？ 正解正解:因为因为x2-(a+1)x+a=(x-a
16、)(x-1)=0,所以方程的解为所以方程的解为1,a. 若若a=1,则方程的解集中只有一个元素则方程的解集中只有一个元素1; 若若a1,则方程的解集中有两个元素则方程的解集中有两个元素1,a. ？ 防范措施防范措施 1.先由解方程得到先由解方程得到x的可能值的可能值,再根据元素的互异性进行检验再根据元素的互异性进行检验. 2.在解方程求得在解方程求得x的值后的值后,不要因忘记验证集合中元素的互异不要因忘记验证集合中元素的互异 性性,而造成失分而造成失分. 3.注意培养数学抽象和数学运算素养注意培养数学抽象和数学运算素养. ？ 【变式训练】【变式训练】 若一个集合中的三个元素若一个集合中的三个元
17、素a,b,c是是ABC的三的三 边长边长,则此三角形一定不是则此三角形一定不是() A.锐角三角形锐角三角形 B.直角三角形直角三角形 C.钝角三角形钝角三角形 D.等腰三角形等腰三角形 解析解析:ABC的三边长两两不等的三边长两两不等,故选故选D. 答案答案:D ？ 随随 堂堂 练练 习习 ？ 1.下列各组对象可以构成集合的是下列各组对象可以构成集合的是() A.相当大的数相当大的数 B.某班视力较差的学生某班视力较差的学生 C.某中学某中学2019年所有入校的高一新生年所有入校的高一新生 D.某班个子比较高的同学某班个子比较高的同学 解析解析:“相当大相当大”这个词界限不确定这个词界限不确
18、定,不明确哪些元素在该集合不明确哪些元素在该集合 中中,故故A不构成集合不构成集合;同样同样B,D也不构成集合也不构成集合.故选故选C. 答案答案:C ？ 2.设集合设集合A中只含有一个元素中只含有一个元素a,则有则有() A.0AB.a AC.aAD.a=A 解析解析:因为集合因为集合A中只含有一个元素中只含有一个元素a,所以所以a属于集合属于集合A,aA. 答案答案:C ？ 3.用符号用符号或或 填空填空: (1)若若A表示由所有素数组成的集合表示由所有素数组成的集合,则则1A,2A, 3A. 答案答案:(1) (2) ？ 4.以方程以方程x2-6x-7=0和方程和方程x2-x-2=0的根为元素的集合中共有的根为元素的集合中共有 个元素个元素. 解析解析:方程方程x2-6x-7=0的根是的根是-1,7;方程方程x2-x-2=0的根是的根是-1,2. 由集合元素的互异性知由集合元素的互异性知,以这两个方程的根为元素的集合中以这两个方程的根为元素的集合中 共有共有3个元素个元素. 答案答案:3 ？ 5.已知集合已知集合M中含有中含有3个元素个元素:0,x2,-x,求求x满足的条件满足的条件.
