1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 选择性必修第二册 人教A版 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义. 2.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应问题. 3.灵活应用等比数列的通项公式,体会等比数列与指数函数的关系. 4.3等比数列 4.3.1等比数列的概念 本资料分享自千人教师 QQ群323031380 期待你 的加入与分享 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 等 比 数 列 文字 语言 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它
2、的 前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这 个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(显 然q0) 数学 符号 在数列an中,如果=q(nN*)或=q(n2,nN*)成立,那 么称该数列为等比数列,常数q为等比数列的公比 递推 关系 =q(nN*)或=q(n2,nN*) n 1 n a a -1 n n a a 1n n a a -1 n n a a 1 |等比数列的概念 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的 等比中项.此时,G2=ab. 2 |等比中项 3|等比
3、数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1,公比为q,则数列an的通项公式为an=a1qn-1. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 当q0a10 q的范围0q10q1 an的 单调性 单调 递减 不具 单调性 单调 递增 单调 递增 不具 单调性 单调 递减 4 |等比数列的单调性 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 (1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,mN*). (2)若k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal=aman;特别地,若m+n=2r(m,n,rN*),则aman=. (3)若数列an是公比
4、为q(q0)且各项均为正数的等比数列,则数列logban(b0且 b1)是公差为logbq的等差数列;若数列an是公差为d的等差数列,则数列 (b0且b1)是公比为bd的等比数列. (4)在公比为q的等比数列an中,依次取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的 等比数列. (5)若an是公比为q的等比数列,则数列an(0)是公比为q的等比数列,数列 是公比为的等比数列,数列是公比为q2的等比数列,数列|an|是公比为| q|的等比数列. 2 r a n a b 2 k q 1 n a 1 q 2 n a 5 |等比数列的性质 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数
5、列数列 (6)若数列an是公比为q的等比数列,则在数列an中,每隔k(kN*)项取出一项,按 原来的顺序排列,所得数列仍为等比数列,且公比为qk+1. (7)在等比数列an中,若m,n,p(m,n,pN*)成等差数列,则am,an,ap成等比数列. (8)若an,bn是项数相同的等比数列,公比分别是p和q,则数列anbn与也都 是等比数列,公比分别为pq和. n n a b p q 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 1.若an+1=qan,nN*,且q0,则an是等比数列.() 提示:当a1=0时,an=0(nN*),an不是等比数列. 2.任何两个数都有
6、等比中项.( ) 提示:当两个数a,b异号时,ab0,G2=ab0,无解,没有等比中项. 3.等比数列an中,若公比q0,则an一定不是单调数列.() 提示:等比数列an中,若公比q0时,a2n-10,一 般地,等比数列an的所有奇数项、偶数项的符号分别相同. 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” 。 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 1|等比数列通项公式的应用 1.等比数列的通项公式an=a1qn-1中含有四个量:首项a1,公比q(q0),序号n及第n项 an,如果知道其中的任意三个量,那么就可以由通项公式求出第四个量,称之为 “知三求一”,作适当
7、的变形更便于灵活应用. 2.等比数列通项公式的变形 (1)an=qn(q0): 这一表述可以体现等比数列与指数函数的关系.当q0且a10时,y=qx是指数函数, 而y=qx是指数型函数,因此等比数列an各项所对应的点在指数型函数y=qx 的图象上,即等比数列an的图象是函数y=qx的图象上的一群孤立的点. 1 a q 1 a q 1 a q 1 a q 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 (2)an=amqn-m,qn-m=(m,nN*): 表明已知等比数列an中的一项am及公比q,可以求出等比数列中的任意一项an; 表明已知等比数列an中的任意两项an和a
8、m,可以求出公比q. n m a a 3.在解决等比数列问题的过程中,需要设未知量,为了尽量减少未知数的个数,常 采用以下技巧: (1)当三个数成等比数列时,可设这三个数分别为,a,aq(a0,q0); (2)当四个数成等比数列时,可设这四个数分别为,a,aq,aq2(a0,q0). a q a q 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 已知数列an是等比数列,其中a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列,求数列an的通项公 式. 思路点拨 思路一:设出公比q由a7=1表示出首项a1依次表示出a4,a5,a6由a4,a5+1,a 6成等差数列,求出q求出an
9、. 思路二:由an=a7qn-7表示出a4,a5,a6由a4,a5+1,a6成等差数列,求出q求出an. 思路三:由a7=1及a4,a5+1,a6成等差数列得出a4+a6=2(a5+a7)由等比数列的性质 求出q求出an. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 解析解法一:设等比数列an的首项为a1,公比为q, 由a7=a1q6=1,得a1=q-6, 从而a4=a1q3=q-3,a5=a1q4=q-2,a6=a1q5=q-1. 因为a4,a5+1,a6成等差数列,所以a4+a6=2(a5+1), 即q-3+q-1=2(q-2+1), 即q-1(q-2+1)=2
10、(q-2+1), 所以q=,故an=a1qn-1=q-6qn-1=. 解法二:设等比数列an的公比为q, 由a7=1,得an=a7qn-7=qn-7. 取n=4,5,6,得a4=q-3,a5=q-2,a6=q-1. 又a4,a5+1,a6成等差数列,所以q-3+q-1=2(q-2+1), 即q-1(q-2+1)=2(q-2+1), 1 2 -7 1 2 n 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 从而q=,故an=qn-7=. 解法三:设等比数列an的首项为a1,公比为q, 由a7=1,且a4,a5+1,a6成等差数列, 知a4,a5+a7,a6成等差数列,所以
11、a4+a6=2(a5+a7), 即a4+a6=2q(a4+a6), 易知a4,a6同号,所以a4+a60,所以q=, 故an=a7qn-7=qn-7=. 1 2 -7 1 2 n 1 2 -7 1 2 n 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 已知四个数,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,中间两个数之积为16,第 一个数与第四个数之积为-128,请求出这四个数. 思路点拨 设未知量列方程组求解. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 解析依题意设后三个数分别为,a,aq(a0,q0), 前三个数成等差数列, 第一个数为-
12、a. 由已知得即 整理得q2-2q-8=0,解得q=4或q=-2. 又a2=16q,q0,q=4,a=8. 当a=8时,所求的四个数分别为-4,2,8,32; 当a=-8时,所求的四个数分别为4,-2,-8,-32. a q 2a q 16, 2 -128, a a q a aaq q 2 22 16 , 2-128, aq a a q 解题模板 与等比数列的项有关的问题,常用通项公式将条件转化为等比数列的首项、 公比,进而求出结论. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值. (1)用一个
13、式子表示n(nN*)年后这辆车的价值; (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱?(保留一位小数) 解析(1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,an, 由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1-10%)2,. 由等比数列的定义,知数列an是等比数列,首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9, an=a1qn-1=13.50.9n-1. n年后车的价值为an+1=13.50.9n万元. (2)由(1)得a5=a1q4=13.50.948.9(万元), 用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元. 第第1讲描述运动的基
14、本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 解题模板 解决等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型,即寻求前后两个量的数 量关系,将实际问题转化成等比数列的问题,通过解决等比数列问题,进而得到实 际问题的解. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 2|等比数列的判定与证明 证明一个数列是不是等比数列只能从两个方面入手:一是利用定义;二是利用等 比中项.而判定一个数列是不是等比数列,还可以利用数列的通项公式. 对于等比数列的定义需要理解:从第2项起,每一项与它的前一项的比是同一个常 数,这个常数(不包括0)具有任意性,且是“同一个”. 判定或证明一个数列
15、是不是等比数列常用的方法有以下几种: (1)定义法:=q(q为常数且不为零,nN*)an为等比数列; (2)等比中项法:=anan+2(nN*且an0)an为等比数列; (3)通项公式法:an=a1qn-1(a10且q0)an为等比数列. 1n n a a 2 1n a 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 在数列an中,已知a1=1,an=3an-1+2(n2). (1)证明:数列an+1是等比数列; (2)求数列an的通项公式. 思路点拨 (1)思路一:由an=3an-1+2,求出的值an+1为等比数列.思路二:设bn=an+1 求出bn=3bn-1bn为
16、等比数列an+1为等比数列. (2)由(1)求出an+1求出an. -1 1 1 n n a a 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 解析(1)证明:证法一:由an=3an-1+2(n2), 得an+1=3an-1+2+1=3(an-1+1)(n2), 又a1=1,a1+1=20, =3(n2), 数列an+1是首项为2,公比为3的等比数列. 证法二:设bn=an+1,则an=bn-1,an-1=bn-1-1(n2), 代入an=3an-1+2(n2)得, bn-1=3(bn-1-1)+2=3bn-1-1(n2), bn=3bn-1(n2), 又b1=a1+
17、1=20,=3(n2), -1 1 1 n n a a -1 n n b b 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 数列bn是首项为2,公比为3的等比数列, 即数列an+1是首项为2,公比为3的等比数列. (2)由(1)得an+1=23n-1, an=23n-1-1. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 已知数列an的前n项和为Sn,Sn=1+kan(k0且k1). (1)证明:数列an为等比数列; (2)求数列an的通项公式. 思路点拨 (1)由Sn=1+kan写出Sn-1=1+kan-1(n2,nN*)由Sn-Sn-1得
18、=an为等比 数列. (2)由等比数列的通项公式,写出an的通项公式. -1 n n a a-1 k k 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 解析(1)证明:因为Sn=1+kan, 所以Sn-1=1+kan-1,n2,nN*, -,得Sn-Sn-1=kan-kan-1(n2,nN*), 即(k-1)an=kan-1.因为k0且k1, 所以=(n2,nN*)为常数. 又a1=S1=1+ka1,所以a1=(k1), 所以an是首项为,公比为的等比数列. (2)由(1)得,an=-. -1 n n a a-1 k k 1 1-k 1 1-k-1 k k 1 1-k
19、 -1 -1 n k k -1 ( -1) n n k k 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 3|等比数列性质的应用 1.与等比数列有关的问题中,常常涉及次数较高的指数运算,若按常规的解题方 法,则需建立关于a1,q的方程组求解,这种方法运算量比较大,如果结合等比数列的 有关性质来求解,那么会起到化繁为简的效果. 2.在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 已知数列an为等比数列,且an0. (1)若a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; (2
20、)若a5a6=9,求log3a1+log3a2+log3a10的值. 思路点拨 解决与等比数列项之积有关的问题时,常利用性质:若k+l=m+n(k,l,m,nN*),则akal =aman,找出相应的关系简化运算. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 解析(1)由等比数列的性质可得, a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2=25, an0,a3+a50,a3+a5=5. (2)根据等比数列的性质得,a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, a1a2a9a10=(a5a6)5=95, log3a1+log3a2+log
21、3a10=log3(a1a2a9a10)=log395=10. 2 3 a 2 5 a 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 4|构造等比数列求通项公式 当已知数列不是等比数列时,往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数 列.利用等比数列的通项公式求出包含an的关系式,进而求出an.常见类型有: (1)an+1=can+d(c1,cd0)可化归为an+1-=c,当a1-0时,数列 为等比数列,从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题;也可消去常数项, 由an+1=can+d,an=can-1+d(n2,nN*),两式相减,得an+1-an=c(an-an-
22、1),当a2-a10时,数列 an+1-an是公比为c的等比数列. (2)an+1=can+dn(cd0,cd)可化归为an+1-=c或将递推关系式两边同除 以dn+1化为(1)型或两边同除以cn+1,累加求通项. (3)an+1=can+dn+t(cdt0,c1)可化归为an+1-=c+dn,即(2)型. 1- d c - 1- n d a c 1- d c - 1- n d a c 1 - n d d c - - n n d a d c 1- t c - 1- n t a c 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 在数列an中,a1=1,an+1=2an+
23、1,求数列an的通项公式. 思路点拨 思路一:引入参数k,使an+1+k=2(an+k),则数列an+k为等比数列.思路二:通过观察递 推关系式的特征,直接消去常数,转化为等比数列求通项公式. 解析解法一:令an+1+k=2(an+k),即an+1=2an+k,又an+1=2an+1,k=1.又a1+1=2,数列 an+1是以2为首项,2为公比的等比数列,an+1=22n-1,即an=2n-1. 解法二:an+1=2an+1,an=2an-1+1(n2),两式相减得,an+1-an=2(an-an-1)(n2).an+1- an是公比为2的等比数列,其中首项为a2-a1=2a1+1-a1=a1
24、+1=2,an+1-an=22n-1=2n. 2an+1-an=2n,an=2n-1. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 在数列an中,已知a1=,an+1=an+,求数列an的通项公式. 5 6 1 3 1 1 2 n 思路点拨 用待定系数法构造等比数列求解. 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 解析令an+1-A=, 得an+1=an+. 根据已知条件得=1,即A=3, 所以an+1-3=. 又a1-3=-0, 所以是首项为-,公比为的等比数列. 所以an-3=-, 1 1 2 n 1 3 1 - 2 n n a A
25、 1 33 A 1 1 2 n 3 A 1 1 2 n 1 3 1 -3 2 n n a 1 1 2 2 3 1 -3 2 n n a 2 3 1 3 1 2 n 2 3 -1 1 3 n 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 第四章第四章 数列数列 所以an=3-2. 方法归纳形如an=pan-1+kqn(n2,pqk0,p1,q1)的递推关系式,除利用待定系 1 2 n 1 3 n 数法直接化归为等比数列外,也可以两边同除以qn得=+k,进而化归为等 比数列,还可以两边同除以pn得=+k,再利用累加法求出,进而求得an. n n a q p q -1 -1 n n a q n n a p -1 -1 n n a p n q p n n a p
