1、第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 高中数学 选择性必修第三册 人A版 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 6.2.3组合 6.2.4组合数 1.理解组合的概念,掌握组合数公式及组合数性质. 2.正确认识组合与排列的区别与联系. 3.能应用组合数公式解决一些简单的实际问题. 第六章第六章计数原理计数原理 本资料分享自千人QQ群 323031380 期待你的加入与分享 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 1 |组合与组合数
2、1.从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组 ,叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个组合 . 2.从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数 ,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的组合数 ,用符号 表示. Cm n 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 2 |组合数公式与性质 1.组合数公式:= = = (n,m N*,mn). 2.规定:=1 . 3.组合数性质:= ; = + . Cm n A A m n m m ( -1)( -2)( -1) ! n nnn m m ! !( -
3、)! n m n m 0 Cn Cm n - Cn m n 1 Cm n Cm n -1 Cm n 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 3 |应用组合知识解决实际问题的四个步骤 1.判断:判断实际问题是不是组合问题. 2.方法:选择用直接法还是间接法解题. 3.计算:利用组合数公式并结合两个计数原理计算. 4.结论:根据计算结果写出方案个数. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 1.从a1,a2,a3三个不同元素中任取两
4、个元素组成一个组合是.( ) 从三个不同元素中任取两个元素的组合数为. 2.从1,3,5,7中任取两个数相乘可得个积.() 3.=543=60.( ) =10. 4.=2 020.() 2 3 C 2 3 C 2 4 C 3 5 C 3 5 C 54 3 3 2 1 2 019 2 020 C 1 2 020 C 判断正误，正确的画“ ” ，错误的画“ ” . 5.从a,b,c,d中选取2个合成一组,其中a,b与b,a是同一个组合.() 6.组合和排列一样,都与“顺序”有关.( ) 排列要考虑元素之间的顺序,组合则与顺序无关. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动
5、的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 1 |组合数的运算与性质 组合数公式的主要适用范围 形式主要适用范围 乘积式= 含具体数字的组合数的求值 阶乘式= 含字母的组合数的有关变形及证明 m n C m n C n! m!(n-m)! 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 组合数的性质及其应用 (1)性质“=”的意义及作用: (2)性质“=+”的顺用,逆用,变形应用: 顺用是将一个组合数拆成两个;逆用是“合二为一”;变形是=-的使用,为 某些项相互抵消提供了方便,在解题时要注意灵活运用. C
6、m n - Cn m n 1 Cm n Cm n -1 Cm n Cm n1 Cm n -1 Cm n 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 (1)式子(nN*)可表示为() A. B. C.101 D.101 (2)求值:+; (3)证明:=. 100 100 An 100 100 Cn 100 100 Cn 101 100 Cn 5- C n n 9- 1 C n n Cm n - n n m -1 Cm n 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基
7、本概念讲描述运动的基本概念 解析 (1)分式的分母是100!,分子是101个连续自然数的乘积,最大的为n+100,最小 的为n,故=101=101. (2)由组合数的概念知 所以4n5.又因为nN*, 101 100 Cn 05-, 09-1, nn nn 所以n=4或n=5. 当n=4时,+=+=5; 当n=5时,+=+=16. (3)证明:=. 答案(1)D 5- C n n 9- 1 C n n 1 4 C 5 5 C 5- C n n 9- 1 C n n 0 5 C 4 6 C - n n m -1 Cm n - n n m ( -1)! !( -1- )! n m nm ! !(
8、- )! n m n m Cm n 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 (1)计算+的值为() A. B. C.-1 D.-1 (2)解方程3=5; 3 4 C 3 5 C 3 6 C 3 2 019 C 4 2 020 C 5 2 020 C 4 2 020 C 5 2 020 C -7 -3 Cx x 2 -4 Ax (3)解不等式. 解析 (1)+=+-=+-1= +-1=-1. 4 Cn 6 Cn 3 4 C 3 5 C 3 6 C 3 2 019 C 4 4 C 3 4 C 3 5 C 3 2 0
9、19 C 4 4 C 4 5 C 3 5 C 3 2 019 C 4 2 019 C 3 2 019 C 4 2 020 C (2)由排列数和组合数公式,知原方程可化为 3=5, 则=, ( -3)! ( -7)!4! x x ( -4)! ( -6)! x x 3( -3) 4! x5 -6x 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 即(x-3)(x-6)=40, 解得x=11或x=-2. 易知x7,则x=11. (3)由得, 4 Cn 6 Cn ! 4!( -4)!6!( -6)! 6 nn nn n 2-
10、9 -10 0, 6 nn n -110, 6. n n 又nN*,所以该不等式的解集为6,7,8,9. 答案(1)C 方法总结 与排列、组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式以 及组合数的性质,涉及具体数字的可以直接用公式计算;涉及字母的多选用阶乘式 计算;计算时应注意利用组合数的性质=简化运算.另外要注意中m、n的 范围,因此求解后要验证所得结果是否符合题意. Cm n - Cn m n Cm n 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 2 |分组与分配问题 分组问题和分配问题是有区别的,前者组
11、与组之间只要元素个数相同,就是不可区 分的,而后者即使两组元素个数相同,但因元素不同,仍然是可区分的. 1.分组问题的求解策略 常见形式处理方法 非均匀不 编号分组 将n个不同元素分成m(mn)组,每组元素数目均 不相同,且不考虑各组间的顺序,不管是否分尽, 分法种数N= 1 m n C 2 1 m n-m C 3 12 m n-(mm ) C 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 均匀不编 号分组 将n个不同元素分成不编号的m组,假定其中r组 元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为 (其中N为非均匀不编号
12、分组中的分法种数).如果 再有k组均匀分组,则应再除以 非均匀编 号分组 将n个不同元素分成m组,各组元素数目均不相等, 且考虑各组间的顺序,其分法种数为N r r N A k k A m m A 均匀编号 分组 将n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同 且考虑各组间的顺序,其分法种数为 r r N A m m A 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 2.相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法:如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置,便可看作排成一行的小球的 空隙中插入了若干隔板,相邻两块隔板形成一个“
13、盒”.每一种插入隔板的方法对 应着小球放入盒子的一种方法,此方法称为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分 配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(nm),有种方法.可理解为(n-1)个空 中插入(m-1)块板. -1 -1 Cm n 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的方法? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)分成三份,每份2本; (4)分配给甲、乙、丙三人,每人2本; (
14、5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 解析 (1)先从6本书中选择1本,有种方法, 再从剩余5本书中选择2本,有种方法, 还剩3本书全选,有种方法, 所以总共有=60种方法. (2)在(1)的基础上进行分配即可,所以有=360种方法. (3)从6本书中选择2本书,有种方法, 再从剩余4本书中选择2本书,有种方法, 1 6 C 2 5 C 3 3 C 1 6 C 2 5 C 3 3 C 1 6 C 2 5 C
15、3 3 C 3 3 A 2 6 C 2 4 C 还剩2本书全选,有种方法, 所以共有=90种方法. 但是,这些方法中有重复.假如6本书分别为A、B、C、D、E、F,若三个步骤分别选 出的是AB,CD,EF,则根据顺序的不同,所有情况为(AB,CD,EF),(AB,EF,CD),(CD,AB, EF),(CD,EF,AB),(EF,AB,CD),(EF,CD,AB),但这只能算一种方法. 2 2 C 2 6 C 2 4 C 2 2 C 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 所以不同的方法共有=15种. (4)在
16、(3)的基础上进行分配,则分配方法共有=90种. (5)从6本书中选择4本书的方法有种,从剩余2本书中选择1本书的方法有种, 因为在最后两本书的选择中发生了重复,所以分配方法共有=15种. (6)在(5)的基础上进行分配即可,即有=90种方法. 222 642 3 3 C C C A 222 642 3 3 C C C A 3 3 A 4 6 C 1 2 C 41 62 2 2 C C A 41 62 2 2 C C A 3 3 A 方法总结 不同元素的分配问题往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型: 不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组.注意各种分组类型中不同分组方式的 解法. 第六章第
17、六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 把10个相同的小球全部放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子中的小球数 不小于盒子的编号数,则不同的方法共有 种. 解析 首先在编号为2,3的两个盒子中分别放入1,2个小球,这样还剩10-3=7个小球, 则问题变为求把7个相同的小球全部放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子至少 放一个球的不同方法的种数,由隔板法可知共有=15种方法. 答案 15 2 6 C 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运
18、动的基本概念 3 |排列、组合的综合应用问题 春节是中华民族的传统节日,在宋代人们用写“桃符”的方式祈福避祸,而现 代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式表达对新年的美好祝愿.某商家 在春节前开展商品促销活动,凡购物金额满50元的顾客,均可以从“福”字、春联 和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 1.若有4名顾客都领取一件礼品,一共有多少种领取方式? 提示:有4名顾客都领取一件礼品,一共有34=81种领取方式. 2.若这4名顾客都领取了一件礼品,他们中有且仅有2人领取
19、的礼品种类相同的概率 应如何计算? 提示:他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同有=36种领取方式,则他们中有 2 4 C 3 3 A 且仅有2人领取的礼品种类相同的概率P=. 36 81 4 9 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 正确区分“有序”与“无序” 区分排列与组合的重要标志是“有序”和“无序”,无序的问题用组合的知识解 答,有序的问题用排列的知识解答. 辩证看待“元素”与“位置” 排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准,哪些事件看成元素或位置, 随解题者的思维方式的变化而变化,要视具体情况
20、而定.有时“元素选位置”解决 问题更简捷,有时“位置选元素”效果会更好. 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 如图,一个正方形花圃被分成5份. (1)若给这5个部分种植花,要求相邻两部分种植不同颜色的花,现有红、黄、蓝、 绿4种颜色的花,问有多少种不同的种植方法? (2)若在这5个部分放入7个不同的盆栽,要求每个部分都有盆栽,问有多少种不同的 放法? 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 解析 (1)先对A部分种植,有4种
21、不同的种植方法;再对B部分种植,有3种不同的种 植方法;对C部分种植,进行分类: 若C与B的颜色相同,则D有2种不同的种植方法,E有2种不同的种植方法,共有43 122=48种不同的种植方法; 若C与B的颜色不同,则C有2种不同的种植方法,D有1种不同的种植方法,E有2种 不同的种植方法,共有43212=48种不同的种植方法. 综上,共有48+48=96种不同的种植方法. (2)将7个盆栽分成5组,有2种分法: 分成2、2、1、1、1,有种分法; 分成3、1、1、1、1,有种分法, 22 75 2 2 C C A 3 7 C 第六章第六章计数原理计数原理 第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念 将分好的5组全排列,对应5个部分, 则一共有=16 800种放法. 方法总结 解排列、组合问题要遵循两个原则:按元素(或位置)的性质进行分 类;按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列、组合问题常以元素(或位置) 22 3 75 7 2 2 C C C A 5 5 A 为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置). 第六章第六章计数原理计数原理
