1、4.4*数学归纳法数学归纳法 课标要求素养要求 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命 题. 通过利用数学归纳法证明与自然数 n 有关的 数学命题，发展学生的逻辑推理和数学运算 素养. 新知探究 五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授(19081996)给大学一年级学生讲高等数学课时， 总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公 鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半.她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到 一百天就陆续杀以佐餐.每天早晨她拿米喂鸡.到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想： “第一天早晨有米吃，第二天早晨有米
2、吃，第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百 天的早晨，一定有米吃.”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了.这只公鸡在第一百天的 早晨不但没有吃着米，反而被杀了.虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一 定有米吃.赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”. 问题“公鸡归纳法”得到的结论一定正确吗？ 提示不一定正确，“公鸡归纳法”是不完全归纳法，用其得到的结论是不一定正确的. 1.数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 nn0(n0N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当 nk(kN*，kn0)时命题成立”为条件，
3、推出“当 nk1 时命题也成 立”.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立，这种证明 方法称为数学归纳法. 2.数学归纳法中的两个步骤之间的关系 记 P(n)是一个关于正整数 n 的命题.可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若 P(k)为真，则 P(k1)也为真，结论：P(n)为真. (1)第一步验证(或证明)了当 nn0时结论成立，即命题 P(n0)为真； (2)第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若 P(k)为真，则 P(k1)也为 真. 只要将两步交替使用，就有 P(n0)为真，P(n01)真，P(k
4、)真，P(k1)真.从而完成证 明. 拓展深化 微判断 1.与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.() 提示也可用其他方法证明. 2.在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用归纳假设.() 提示数学归纳法的两个步骤缺一不可. 3.用数学归纳法证明等式时，由 nk 到 nk1，等式的项数不一定增加了一项.() 微训练 1.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1 2n(n3)条时，第一步应验证 n 等于( ) A.1B.2 C.3D.4 解析边数最少的凸 n 边形是三角形，故选 C. 答案C 2.用数学归纳法证明 12222n 12n1(nN*)的过程如下：
5、(1)当 n1 时，左边1，右边2111，等式成立. (2)假设当 nk(kN*)时等式成立，即 12222k 12k1，则当 nk1 时，12 222k 12k12k 1 12 2k 11.所以当 nk1 时等式也成立.由此可知对于任何 nN*，等式都成立.上述证明，错误是_. 解析本题在由 nk 成立证明 nk1 成立时，应用了等比数列的求和公式，而未用上归纳 假设，这与数学归纳法的要求不符. 答案未用归纳假设 微思考 1.数学归纳法的第一步 n0的初始值是否一定为 1? 提示不一定，如证明 n 边形的内角和为(n2)180时，第一个值 n03. 2.先假设 nk(kn0，kN*)时命题成
6、立，再证 nk1 时命题也成立，就可说明命题成立， 请说明原因. 提示假设当 nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当 nk1 时命题也成立，其本质是证 明一个递推关系，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点不断发展，以至无穷.如果不证 明 nk1 时命题也成立，即便前面验证了命题对许多正整数都成立，也不能保证命题对后 面的所有正整数都成立. 题型一用数学归纳法证明等式 【例 1】用数学归纳法证明：122232342n(n1)2n（n1） 12 (3n211n 10)，其中 nN*. 证明当 n1 时，左边1224， 右边1（11） 12 (31211110)4， 所以左边右边，等式成立. 假
7、设当 nk(k1，kN*)时，等式成立， 即 122232342k(k1)2k（k1） 12 (3k211k10)， 那么当 nk1 时， 122232342k(k1)2(k1)(k2)2 k（k1） 12 (3k211k10)(k1)(k2)2 k（k1） 12 (3k5)(k2)(k1)(k2)2 （k1） （k2） 12 (3k25k12k24) （k1） （k2） 12 3(k1)211(k1)10. 即当 nk1 时，等式也成立， 综上，对任何 nN*，等式都成立. 规律方法用数学归纳法证明等式时，一是弄清 n 取第一个值 n0时等式两端项的情况；二是 弄清从 nk 到 nk1 等式
8、两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是 证明 nk1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向 nk1 时证明目 标的表达式进行变形. 【训练 1】用数学归纳法证明：132522(2n1)2n 12n(2n3)3(nN*). 证明(1)当 n1 时，左边1，右边2(23)31，左边右边，所以等式成立. (2)假设当 nk(kN*)时，等式成立，即 132522(2k1)2k 12k(2k3)3. 则当 nk1 时，132522(2k1)2k 1(2k1)2k2k(2k3)3(2k 1)2k2k(4k2)32k 12(k1)33， 即当 nk1 时，等式也成立. 由
9、(1)(2)知，等式对任何 nN*都成立. 题型二用数学归纳法证明不等式 【例 2】数列an满足 an1 an 2an1，a 11. (1)证明：数列 1 an是等差数列； (2)求数列 1 an的前 n 项和 Sn，并用数学归纳法证明 1 S1 1 S2 1 Sn n n1. (1)证明an1 an 2an1， 1 an1 2an1 an ，化简得 1 an12 1 an，即 1 an1 1 an2， 故数列 1 an是以 1 为首项，2 为公差的等差数列. (2)解由(1)，知 Snn2， 当 n1 时， 1 S11， n n1 1 2，不等式显然成立. 假设当 nk(k1，kN*)时，不
10、等式成立，即 1 S1 1 S2 1 Sk k k1， 则当 nk1 时， 1 S1 1 S2 1 Sk 1 Sk1 k k1 1 （k1）2， 又 k k1 1 （k1）2 k1 k21 1 k1 1 （k1）21 1 k2 1 k2 k （k1）2 1 （k2） （k1）20， 1 S1 1 S2 1 Sk 1 Sk1 k1 k2， 综上，原不等式成立. 规律方法用数学归纳法证明不等式的四个关键： 【训练 2】用数学归纳法证明 11 2 1 3 1 2n 1 2n(nN *). 证明(1)当 n1 时，11 2 3 2，不等式成立. (2)假设当 nk(kN*)时，不等式成立. 即 11
11、2 1 3 1 2k 1 2k， 则当 nk1 时， 11 2 1 3 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 2k2k 1 2k2 k1 2k 1 2(k1)， 即当 nk1 时，不等式成立. 由(1)和(2)可知，不等式对所有的 nN*都成立. 题型三用数学归纳法证明整除等数学命题 【例 3】证明：当 nN*时，f(n)32n 28n9 能被 64 整除. 证明(1)当 n1 时，f(1)348964 能被 64 整除. (2)假设当 nk(k1，kN*)时，f(k)32k 28k9 能被 64 整除， 则当 nk1 时，f(k1)32(k 1)28(k1)9932k28k179(32k28
12、k9)64k 64. 故 f(k1)也能被 64 整除. 综合(1)(2)，知当 nN*时，f(n)32n 28n9 能被 64 整除. 规律方法用数学归纳法证明整除问题的关键是证明当 nk1 时，代数式可被除数整除， 一般利用构造法，构造出含有除数及 nk 时的代数式，根据归纳假设即可证明. 【训练 3】求证：n 棱柱中过侧棱的对角面(即过棱柱的两条不相邻的侧棱的截面)的个数是 f(n)1 2n(n3)，其中 n4，nN *. 证明(1)当 n4 时，四棱柱有 2 个对角面， 此时 f(4)1 24(43)2，命题成立. (2)假设当 nk(k4，kN*)时，命题成立. 即 k 棱柱中过侧棱
13、的对角面有 f(k)1 2k(k3)个. 现在考虑 nk1 时的情形. 对于(k1)棱柱 A1A2Ak1B1B2Bk1，棱 Ak1Bk1与其余和它不相邻的(k2)条棱共增加 了(k2)个对角面，而面 A1B1BkAk变成了对角面.因此对角面的个数为 f(k)(k2)11 2k(k 3)k11 2(k2)(k1) 1 2(k1)(k1)3，即 f(k1) 1 2(k1)(k1)3成立. 由(1)和(2)，可知原结论成立. 题型四归纳猜想证明 【例 4】将正整数进行如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13， 14，15)，(16，17，18，19，20
14、，21)分别计算各组包含的正整数的和如下： S11， S2235， S345615， S47891034， S5111213141565， S6161718192021111， (1)求 S7的值； (2)由 S1，S1S3，S1S3S5，S1S3S5S7的值，试猜测 S1S3S2n1的结果，并用 数学归纳法证明. 解(1)S722232425262728175. (2)S11；S1S316；S1S3S581；S1S3S5S7256；猜测 S1S3S2n1n4. 证明如下： 记 MnS1S3S2n1. 当 n1 时，猜想成立. 假设当 nk(kN*，k1)时，猜想成立，即 MkS1S3S2k1
15、k4. 则当 nk1 时， 由题设，可知 Sn是由 123(n1)1n（n1） 2 1 开始的 n 个连续自然数的和， 所以 Sn n（n1） 2 1 n（n1） 2 2 n（n1） 2 n n（n 21） 2 ， 所以 S2k1（2k1）（2k1） 21 2 (2k1)(2k22k1)4k36k24k1， 从而 Mk1MkS2k1k44k36k24k1(k1)4， 所以当 nk1 时猜想也成立. 由，可知对任意 nN*，猜想都成立. 规律方法“归纳猜想证明”的一般步骤 【训练 4】已知数列an满足 a11 6，前 n 项和 S nn（n1） 2 an. (1)求 a2，a3，a4的值； (2
16、)猜想 an的表达式，并用数学归纳法证明. 解(1)a11 6，前 n 项和 S nn（n1） 2 an， 令 n2，得 a1a23a2，a21 2a 1 1 12. 令 n3，得 a1a2a36a3，a3 1 20. 令 n4，得 a1a2a3a410a4，a4 1 30. (2)猜想 an 1 （n1） （n2），下面用数学归纳法给出证明. 当 n1 时，结论成立； 假设当 nk(kN*，k1)时，结论成立，即 ak 1 （k1） （k2）， 则当 nk1 时，Skk（k1） 2 ak k 2（k2），S k1（k1） （k2） 2 ak1，即 Skak1 （k1） （k2） 2 ak1，
17、 k 2（k2）a k1（k1） （k2） 2 ak1， k（k3） 2 ak1 k 2（k2）， ak1 1 （k2） （k3）， 当 nk1 时结论成立. 由可知，对一切 nN*都有 an 1 （n1） （n2）成立. 一、素养落地 1.通过利用数学归纳法证明数学命题，提升逻辑推理和数学运算素养. 2.在应用数学归纳法证题时应注意以下几点： (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为 1； (2)递推是关键：正确分析由 nk 到 nk1 时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明 问题的保障； (3)利用假设是核心： 在第二步证明中一定要利用归纳假设， 这是数学归纳
18、法证明的核心环节， 否则这样的证明就不是数学归纳法证明. 二、素养训练 1.用数学归纳法证明“1aa2a2n 11a2n 2 1a (a1)”.在验证 n1 时，左端计算所 得项为() A.1aB.1aa2 C.1aa2a3D.1aa2a3a4 解析将 n1 代入 a2n 1得 a3，故选 C. 答案C 2.用数学归纳法证明 11 2 1 3 1 2n11)时，第一步应验证不等式( ) A.11 22 B.11 2 1 32 C.11 2 1 33 D.11 2 1 3 1 43 解析由题意得，当 n2 时，不等式为 11 2 1 32，故选 B. 答案B 3.用数学归纳法证明“11 2 1
19、3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n(nN *)”， 由 n k(nN*)的假设证明 nk1 时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为() A. 1 k1 1 2k 1 2k1 B. 1 k1 1 2k 1 2k1 1 2k2 C. 1 k2 1 2k 1 2k1 D. 1 k2 1 2k1 1 2k2 解析由所证明的等式可知，当 nk1 时，右边 1 （k1）1 1 2（k1）1 1 2（k1） 1 k2 1 2k1 1 2k2，故选 D. 答案D 4.某个与正整数有关的命题：如果当 nk(kN*)时命题成立，则可以推出当 nk1 时该命 题也成立.现已知 n5
20、 时命题不成立，那么可以推得() A.当 n4 时命题不成立 B.当 n6 时命题不成立 C.当 n4 时命题成立 D.当 n6 时命题成立 解析因为当 nk(kN*)时命题成立，则可以推出当 nk1 时该命题也成立，所以假设当 n4 时命题成立，那么 n5 时命题也成立，这与已知矛盾，所以当 n4 时命题不成立. 答案A 5.对于不等式 n2nn1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当 n1 时， 12111，不等式成立. (2)假设当 nk(kN*)时，不等式成立，即 k2kk1， 则当 nk1 时， （k1）2（k1） k23k2 （k23k2）（k2） （k2）2(k
21、1)1. nk1 时，不等式成立，则上述证法() A.过程全部正确 B.n1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 nk 到 nk1 的推理不正确 解析在 nk1 时，没有应用 nk 时的归纳假设，故选 D. 答案D 基础达标 一、选择题 1. 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 对 任 意 正 偶 数 n ， 均 有 1 1 2 1 3 1 4 1 n1 1 n 2 1 n2 1 n4 1 2n ，在验证 n2 正确后，归纳假设应写成() A.假设 nk(kN*)时命题成立 B.假设 nk(kN*)时命题成立 C.假设 n2k(kN*)时命题成立 D.假设 n2(k1)(kN*)时命题成立
22、 解析因为题目要求是对 n 为正偶数，等式成立. 答案C 2.利用数学归纳法证明不等式 11 2 1 3 1 2n1n(n2，nN *)的过程中，由 nk 到 n k1 时，左边增加了() A.1 项B.k 项 C.2k 1项 D.2k项 解析增加项为：1 2k 1 2k1 1 2k2 1 2k 11共 2 k项. 答案D 3.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n1 边形对角线的条数 f(n1)等于() A.f(n)n1B.f(n)n C.f(n)n1D.f(n)n2 解析增加一个顶点，就增加(n13)条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，对 f(n 1)f(n)1n13f(n)n1.
23、故选 C. 答案C 4.已知数列an的前 n 项和 Snn2an(n2)， 而 a11， 通过计算 a2， a3， a4， 猜想 an等于() A. 2 （n1）2 B. 2 n（n1） C. 2 2n1 D. 2 2n1 解析a21 3，a 31 6，a 4 1 10，猜想 a n 2 n（n1）. 答案B 5.用数学归纳法证明：1 1 12 1 123 1 123n 2n n1时，由 nk 到 nk 1 左边需要添加的项是() A. 2 k（k2） B. 1 k（k1） C. 1 （k1） （k2） D. 2 （k1） （k2） 解析当 nk 时，假设成立的等式为 1 1 12 1 123
24、 1 123k 2k k1， 当 nk1 时，要证明的等式为 1 1 12 1 123 1 123k 1 123k（k1） 2（k1） （k1）1， 故 左 边 需 要 添 加 的 项 为 1 123k（k1） 1 （k11）（k1） 2 2 （k1） （k2）.故选 D. 答案D 二、填空题 6.在用数学归纳法证明“f(n)1 n 1 n1 1 n2 1 2n1(nN *，n3)”的过程中，假设当 nk(kN*，k3)时，不等式 f(k)1 成立，则需证当 nk1 时，f(k1)(n1)2(nN*)时，初始值 n0应等于_. 解析由题意，当 n1 时，21(11)2；当 n2 时，22(21
25、)2；当 n3 时，23(31)2； 当 n4 时，24(41)2；当 n5 时，25(61)2，所以用数学归纳 法证明不等式 2n(n1)2(nN*)时，初始值 n0应等于 6. 答案6 8.用数学归纳法证明 1 22 1 32 1 （n1）2 1 2 1 n2.假设 nk 时， 不等式成立，则当 nk 1 时，应推证的目标不等式是_. 解析观察不等式中各项的分母变化，知 nk1 时， 1 22 1 32 1 k2 1 （k1）2 1 （k2）2 1 2 1 k3. 答案 1 22 1 32 1 k2 1 （k1）2 1 （k2）2 1 2 1 k3 三、解答题 9.用数学归纳法证明 11
26、4 11 9 1 1 16 1 1 n2n1 2n (n2，nN*). 证明(1)当 n2 时，左边11 4 3 4，右边 21 22 3 4，所以左边右边，所以 n2 时等式 成立. (2)假设 nk(k2，kN*)时等式成立，即 11 4 11 9 1 1 16 11 k2k1 2k ， 那么 nk1 时， 11 4 11 9 1 1 16 11 k2 1 1 （k1）2k1 2k 1 1 （k1）2 k1 2k k（k2） （k1）2 k2 2（k1） （k1）1 2（k1） ， 即 nk1 时等式成立. 综合(1)(2)知，对任意 n2，nN*等式恒成立. 10.用数学归纳法证明： 1
27、 22 1 32 1 42 1 n21 1 n(n2，nN *). 证明(1)当 n2 时，左边 1 22 1 4， 右边11 2 1 2. 因为1 4 1 2，所以不等式成立. (2)假设当 nk(k2，kN*)时，不等式成立， 即 1 22 1 32 1 42 1 k21 1 k， 则当 nk1 时， 1 22 1 32 1 42 1 k2 1 （k1）21 1 k 1 （k1）2 1（k1） 2k k（k1）2 1 k2k1 k（k1）21 k（k1） k（k1）2 1 1 k1， 所以当 nk1 时，不等式也成立. 综上所述，对任意 n2 的正整数，不等式都成立. 能力提升 11.用数
28、学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3(nN*)能被 9 整除”，要利用归纳假设证 nk 1 时的情况，只需展开() A.(k3)3B.(k2)3 C.(k1)3D.(k1)3(k2)3 解析假设当 nk 时，原式能被 9 整除， 即 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除. 当 nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让 其出现 k3即可. 答案A 12.已知数列an的前 n 项和 Sn1nan(nN*). (1)计算 a1，a2，a3，a4； (2)猜想 an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论. 解(1)计算得 a11 2；a 21 6；a
29、 3 1 12；a 4 1 20. (2)猜想 an 1 n（n1）.下面用数学归纳法证明： 当 n1 时，猜想显然成立. 假设 nk(kN*)时，猜想成立， 即 ak 1 k（k1）. 那么，当 nk1 时，Sk11(k1)ak1， 即 Skak11(k1)ak1. 又 Sk1kak k k1， 所以 k k1a k11(k1)ak1， 从而 ak1 1 （k1） （k2） 1 （k1）（k1）1. 即 nk1 时，猜想也成立. 故由和可知，猜想成立. 创新猜想 13.(多选题)已知一个命题 p(k)，k2n(nN*)，若当 n1，2，1 000 时，p(k)成立，且当 n1 001 时也成
30、立，则下列判断中正确的是() A.p(k)对 k528 成立 B.p(k)对每一个自然数 k 都成立 C.p(k)对每一个正偶数 k 都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立 解析由题意知 p(k)对 k2，4，6，2 002 成立，当 k 取其他值时不能确定 p(k)是否成立， 故选 AD. 答案AD 14.(多选题)设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：当 f(k)k1 成立时，总有 f(k 1)k2 成立.则下列命题总成立的是() A.若 f(6)7 成立，则 f(5)6 成立 B.若 f(3)4 成立，则当 k1 时，均有 f(k)k1 成立 C.若 f(2)3 成立，则 f(1)2 成立 D.若 f(4)5 成立，则当 k4 时，均有 f(k)k1 成立 解析若 f(5)6 不成立， 则 f(5)6， 由题意知 f(6)7， 与 f(6)7 成立矛盾， 所以 f(5)6 成立， A 正确.若 f(4)5 成立， 则 f(n01)n02(n04， n0N*)， 即 f(k)k1(k5)， 结合 f(4)5， 所以当 k4 时，均有 f(k)k1 成立，故 D 正确.所以选 AD. 答案AD
