1、第六章平面向量及其应用 6.1平面向量的概念 6.1.1向量的实际背景与概念 6.1.2向量的几何表示 6.1.3相等向量与共线向量 基础过关练 题组一向量的概念及几何表示 1.给出下列物理量:密度;路程;速度;质量;功;位移.下列 说法正确的是 () A.是数量,是向量 B.是数量,是向量 C.是数量,是向量 D.是数量,是向量 2.(2020 山东淄博淄川中学高一上月考)下列说法正确的是() A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 3.中国象棋中规定:马走“日”字.下图是中国象棋的半
2、个棋盘,若马在 A 处,则可跳到 A1处,也可跳到 A2处,用向量?1 ? ,?2 ? 表示马走了“一 步”.若马在 B 处或 C 处,则以 B,C 为起点表示马走了“一步”的向量 共有个. 本资料分享自千人教师本资料分享自千人教师 QQQQ 群群 323031380期待你的加入与分享期待你的加入与分享 4.在平面直角坐标系中,用有向线段表示下列向量,使它们的起点都是 原点 O,并求终点 A 的坐标. (1)|a|=2,a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 60,与 y 轴正方向的夹角为 30; (2)|a|=4,a 的方向与 x 轴正方向的夹角为 30,与 y 轴正方向的夹角为 120; (3
3、)|a|=4 2,a 的方向与 x 轴、y 轴正方向的夹角都是 135. 题组二相等向量与共线向量 5.如图,在圆 O 中,向量? ? ?,? ?,? ?是( ) A.有相同起点的向量 B.单位向量 C.模相等的向量 D.相等向量 6.若|? ? ?|=|? ?|,且? ?=? ?,则四边形 ABCD 的形状为( ) A.平行四边形B.矩形 C.菱形D.等腰梯形 7.(多选)(2020 天津静海一中高一下月考)下列说法中正确的是() A.零向量与任一向量平行 B.起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量 C.向量 a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反 D.向量 a 与 b 同
4、向,且|a|b|,则 ab 8.给出下列命题: 若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同; 若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线; 若A,B,C,D是不共线的四点,且? ? ?=? ?,则四边形ABCD为平行四边 形; 若 a,b 为非零向量,则 a=b 的充要条件是|a|=|b|且 ab. 其中真命题的序号是. 9.如图所示,ABC 的三边均不相等,E,F,D 分别是 AC,AB,BC 的中点, 在以 A,B,C,D,E,F 为起点或终点的向量中: (1)写出与?t ? ? 共线的向量; (2)写出与?t ? ? 的模相等的向量; (3)写出与?t ? ? 相等的
5、向量.深度解析 能力提升练 题组一向量的概念及几何表示 1.(2020 山东潍坊高一阶段考试,)|e|=1 是向量 e 为单位向量的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.(2020 辽宁本溪高一下月考,)把表示同一平面内所有模不小于 1 且不大于 2 的向量的有向线段的起点移到同一点 O,则这些有向线段 的终点所构成的图形的面积等于.深度解析 题组二相等向量与共线向量 3.(2019 广东深圳高一期末,)已知 A=与 a 共线的向量,B=与 a 长 度相等的向量,C=与 a 长度相等,方向相反的向量,其中 a 为非零向 量,下列关系中错误的是()
6、 A.CAB.AB=a C.CBD.(AB)a 4.(2019 河南郑州一中高一期末,)如图是 34 的网格图(每个小方格 都是单位正方形),则起点和终点都在方格的顶点处,与? ? ?平行且模为 2的向量共有() A.12 个B.18 个C.24 个D.36 个 5.(2019 吉林省实验中学高一期末,)如图所示,四边形 ABCD,CEFG,CGHD 是全等的菱形,则下列结论中不一定成立的是 () A.|? ? ?|=|?t? ? |B.? ? ?与t? ?共线 C.? ? ?与? ?共线 D.? ? ?=tt? ? 6.()设 a0,b0分别是与 a,b 同向的单位向量,则下列结论中正确的是
7、 () A.a0=b0B.a0=-b0 C.|a0|+|b0|=2D.a0b0 7.(2020 山东济南外国语学校高一下月考,)如图,半圆的直径 AB=6,C 是半圆上的一点,D,E 分别是 AB,BC 上的点,且 AD=1,BE=4,DE=3. (1)求证:? ? ? ? ? ?; (2)求|? ? ? |. 8.()一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 km 到达 B 点,然后改变方 向向北偏西40走了200 km到达C点,最后又改变方向向东行驶了100 km 到达 D 点. (1)作出向量? ? ?,? ?,? ?; (2)求|? ? ?|.深度解析 9.()在平行四边形 ABCD
8、中,E,F 分别是 CD,AB 的中点,如图所示. (1)写出与向量t? ? ? 共线的向量; (2)求证:? ? ?=t? ?. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练 1.D由物理知识可知,密度、路程、质量、功只有大小,没有方向,因此是数量;速 度、位移既有大小又有方向,因此是向量.故选 D. 2.D根据向量的相关定义,知 D 正确. 3.答案11 解析表示马在B处走了“一步”的向量如图(1)所示,共3个;表示马在C处走了 “一步”的向量如图(2)所示,共 8 个. 综上,若马在 B 处或 C 处,则以 B,C 为起点表示马走了“一步”的向量共有 11 个. 4.解析(1)如图所示,向量?
9、? ?即为所求.由图可知,xA=2cos 60=1,yA=2sin 60= 3,A(1, 3). 图 (2)如图所示,向量? ? ?即为所求. 由图可知,xA=4cos 30=2 3,yA=-4sin 30=-2,A(2 3,-2). 图 (3)如图所示,向量? ? ?即为所求. 由图可知,xA=-4 2cos 45=-4,yA=-4 2sin 45=-4,A(-4,-4). 图 5.C由题图可知,三个向量的起点不同,方向不同,但模长相等,所以不是相等向量, 故 A、D 错误,C 正确;不能确定? ? ?,? ?,? ?的模长是 1,故 B 错误. 6.C? ? ?=? ?,四边形ABCD为平
10、行四边形,又|? ?|=|? ?|,四边形ABCD为 菱形. 7.AB对于选项 A,零向量的方向是任意的,零向量与任一向量平行,A 正确;对于 选项 B,根据相等向量的定义知,B 正确;对于选项 C,若 a,b 中有一个是零向量,则不 能说a与b的方向相同或相反,C错误;对于选项D,向量不能比较大小,D错误.故选 AB. 8.答案 解析错误,两个向量的起点相同,终点相同,则两个向量相等;但两个向量相等, 不一定有相同的起点和终点; 错误,若 b=0,则 a 与 c 不一定共线; 正确,因为? ? ?=? ?,所以|? ?|=|? ?|且? ? ?,又 A,B,C,D 是不共线的四点, 所以四边
11、形 ABCD 为平行四边形; 错误,当 a=b时,可得|a|=|b|,ab,且 a 与 b 方向相同;当|a|=|b|,ab,且向量 a,b 方向 相反时,不能得到 a=b,所以|a|=|b|且 ab 是 a=b 的必要不充分条件.故答案为. 9.解析因为 E,F 分别是 AC,AB 的中点,所以 EFBC,EF=1 2BC.又因为 D 是 BC 的中点,所以 BD=DC=1 2BC=EF. (1)与?t ? ?共线的向量有t? ?,? ?,? ?,? ?,? ?,? ?,? ?. (2)与?t ? ?的模相等的向量有t? ?,? ?,? ?,? ?,? ?. (3)与?t ? ?相等的向量有
12、? ?,? ?. 导师点睛 判断一组向量是否相等,关键要看这组向量是否方向相同,长度相等,与起点和终 点的位置无关.对于共线向量,只需判断它们是否同向或反向即可. 能力提升练 1.C单位向量是指模长为1的向量,因此若|e|=1,则e是单位向量;若e是单位向量, 则|e|=1. 故|e|=1 是向量 e 为单位向量的充要条件. 2.答案3 解析如图所示,这些有向线段的终点构成的图形是一个圆环,其面积为 22-12=3. 解题反思 起点相同,长度也相同的向量的终点组成以该起点为圆心、向量的模为半径的圆. 3.B因为 AB 中包含与 a 长度相等且方向相反的向量,所以 B 中的关系错误. 4.C由题
13、意知,与? ? ?平行且模为 2的向量共有 24 个.故选 C. 5.C由题可知|? ? ?|=|?t? ? |,? ? ? ?t? ?,? ?=tt? ? ,但? ? ?与? ?不一定共线,所以 A,B,D 中的结论成立,C 中的结论不一定成立. 6.C因为 a0,b0分别是与 a,b 同向的单位向量,而 a,b 的方向是不确定的,所以 a0与 b0的方向也不确定,所以 A,B,D 错误;因为|a0|=|b0|=1,所以|a0|+|b0|=2,所以 C 正确.故 选 C. 7.解析(1)证明:由题意知,在DBE 中,BD=5,DE=3,BE=4,DBE 是直角三角 形,且DEB=90. 又点
14、 C 为半圆上一点,AB 为直径, ACB=90. ACDE,? ? ? ? ? ?. (2)易知ABCDBE, ? ?= ? ?,即 ? 3 =6 5, AC=18 5 ,即|? ? ?|=18 5 . 8.解析(1)向量? ? ?,? ?,? ?如图所示. (2)由题意易知? ? ?与? ?方向相反,故? ?与? ?共线, 又|? ? ?|=|? ?|, 在四边形 ABCD 中,ABCD, 四边形 ABCD 为平行四边形, ? ? ?=? ?,|? ?|=|? ?|=200(km). 解题反思 准确画出向量的关键是先确定向量的起点,再确定向量的方向,然后根据向量的大 小确定向量的终点,用有向线段来表示向量是向量的几何表示,必须确定起点、长 度和方向,三者缺一不可. 9.解析(1)与向量t? ? ? 共线的向量有?t ? ?,? ?,? ?. (2)证明:在平行四边形ABCD中,ABCD,AB=CD,因为E,F分别是CD,AB的中点, 所以 EDBF 且 ED=BF,所以四边形 BFDE 是平行四边形,故? ? ?=t? ?.
