1、5.2.2同角三角函数的基本关系 课后训练课后训练巩固提升巩固提升 A组 1.已知 sin =1 3, 2 , ,则 tan =() A.-2B.- 2C.- 2 2 D.- 2 4 解析:sin =1 3, 2 , cos =-1-sin2?=-2 2 3 . tan =sin? cos? ? 1 3 -2 2 3 =- 2 4 . 答案:D 2.已知 sin -cos =-5 4,则 sin cos 等于( ) A. 7 4 B.- 9 16 C.- 9 32 D. 9 32 解析:由题意,得(sin -cos )2=25 16, 即 sin2+cos2-2sin cos =25 16.
2、又 sin2+cos2=1,1-2sin cos =25 16. sin cos =- 9 32. 答案:C 3.已知sin?+cos? sin?-2cos? ? 1 2,则 tan 的值为( ) A.-4B.-1 4 C.1 4 D.4 解析:sin?+cos? sin?-2cos? ? 1 2, tan?+1 tan?-2 ? 1 2,解得 tan =-4. 答案:A 4.已知角是第三象限角,且 sin4+cos4=5 9,则 sin cos 的值为( ) A. 2 3 B.- 2 3 C.1 3 D.-1 3 解析:由 sin4+cos4=5 9, 得(sin2+cos2)2-2sin2
3、cos2=5 9. sin2cos2=2 9. 是第三象限角,sin 0,cos 0. sin cos = 2 3 . 答案:A 5.若 tan + 1 tan?=3,则 sin cos = . 解析:tan + 1 tan?=3, sin? cos? + cos? sin?=3,即 sin2?+cos2? sin?cos? =3. sin cos =1 3. 答案:1 3 6.若角为第三象限角,则 cos? 1-sin2? + 2sin? 1-cos2?的值为 . 解析:为第三象限角,sin 0,cos 0,则 sin?cos2? 1-sin? =. 解析:cos =-3 50, 是第三象限
4、角,且 sin =-4 5. 原式=sin?cos 2? 1-sin? =sin?(1-sin 2?) 1-sin? =sin (1+sin )=-4 5 ?1-4 5 =- 4 25. 答案:- 4 25 9.已知 tan =2 3,求下列各式的值: (1) cos?-sin? cos?+sin? + cos?+sin? cos?-sin?; (2) 1 sin?cos?; (3)sin2-2sin cos +4cos2. 解:(1) cos?-sin? cos?+sin? + cos?+sin? cos?-sin? = 1-tan? 1+tan? + 1+tan? 1-tan? ? 1-2
5、 3 1+2 3 + 1+2 3 1-2 3 ? 26 5 . (2) 1 sin?cos? ? sin2?+cos2? sin?cos? ? tan2?+1 tan? ? 13 6 . (3)sin2-2sin cos +4cos2 =sin 2?-2sin?cos?+4cos2? sin2?+cos2? =tan 2?-2tan?+4 tan2?+1 ? 4 9- 4 3+4 4 9+1 ? 28 13. 10.求证: sin? 1-cos? ? 1+cos? sin? . 证明:左边= sin? 1-cos?= sin?(1+cos?) (1-cos?)(1+cos?) =sin?(1+
6、cos?) 1-cos2? ? sin?(1+cos?) sin2? =1+cos? sin? =右边, 原等式成立. B 组 1.已知角的终边与单位圆的交点 P - 1 2,? ,则 sin tan =( ) A.- 3 3 B. 3 3 C.-3 2 D.3 2 解析:点 P-1 2 ,?在单位圆上,m= 3 2 . 由三角函数的定义,得 cos =-1 2,sin = 3 2 . sin tan =sin 2? cos? ? 3 4 -1 2 =-3 2. 答案:C 2.已知 sin +3cos =0,则 cos2-sin2=() A.4 5 B.-4 5 C.-3 5 D.3 5 解析
7、:sin +3cos =0,tan =-3, cos2-sin2= 1-tan2? 1+tan2? ? 1-(-3)2 1+(-3)2=- 4 5. 答案:B 3.已知角是第三象限角,且 sin =-1 3,则 3cos +4tan =( ) A.- 2B. 2C.- 3D. 3 解析:因为是第三象限角,且 sin =-1 3, 所以 cos =-2 2 3 ,tan = 1 2 2 ? 2 4 . 所以 3cos +4tan =-22+2=-2. 答案:A 4.已知 sin? cos?-sin?=- 3 4,则 2 3sin2?-cos2?=( ) A.10 3 B.-10 3 C.10 1
8、3 D.-10 13 解析: sin? cos?-sin?=- 3 4,tan =-3. 2 3sin2?-cos2? ? 2(sin2?+cos2?) 3sin2?-cos2? =2(tan 2?+1) 3tan2?-1 ? 2?(-3)2+1 3?(-3)2-1 ? 20 26 ? 10 13. 答案:C 5.在ABC 中, 2sin A= 3cos?,则角 A=. 解析:由题意知 cos A0,故 A 为锐角. 将2sin A=3cos?两边平方,得 2sin2A=3cos A. 故 2cos2A+3cos A-2=0,解得 cos A=1 2或 cos A=-2(舍去). 故 A= 3
9、. 答案: 3 6.已知角的始边与 x 轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边经过点 P(3,4),则 sin?+2cos? sin?-cos? =. 解析:根据角的终边经过点 P(3,4),利用三角函数的定义,可得 tan =4 3. 故sin?+2cos? sin?-cos? ? tan?+2 tan?-1 ? 4 3+2 4 3-1 ? 10 3 1 3 =10. 答案:10 7.已知(0,),sin +cos = 3-1 2 ,求 tan 的值. 解:将 sin +cos = 3-1 2 的两边平方, 得 1+2sin cos =1- 3 2 ,即 sin cos =- 3 4 .
10、 故 sin cos = sin?cos? sin2?+cos2? ? tan? 1+tan2?=- 3 4 ,解得 tan =-3或 tan =- 3 3 . 因为(0,),0sin +cos = 3-1 2 |cos |. 由|tan |1.得 tan =-3. 8.已知关于 x 的方程 2x2-bx+1 4=0 的两根为 sin 和 cos , 4 , 2 . (1)求实数 b 的值; (2)求sin?+cos? cos?-sin?的值. 解:(1)因为 sin ,cos 为方程 2x2-bx+1 4=0 的两根, 所以=b2-20,且 sin?+cos? ? ? 2 , sin?cos? ? 1 8 . 将式两边平方,式代入整理,得? 2 4 =1+1 4,解得 b= 5,此时=5-20. 又 sin +cos =? 20,所以 b= 5. (2)由(1)得 sin +cos = 5 2 , 4 , 2 , 故 sin cos . 又 sin cos =1 8, 所以 sin -cos =1-2sin?cos? 3 2 , 所以sin?+cos? cos?-sin? =-sin?+cos? sin?-cos? =- 5 2 ? 2 3=- 15 3 .
