高考真题 （2019天津卷（文） ）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形， 平面PAC 平面PCD，PACD，2CD ，3AD ， （）设GH，分别为PBAC，的中点，求证：GH平面PAD； （）求证：PA平面PCD； （）求直线AD与平面PAC所成角的正弦值. 【解析】 （I）证明：连接BD，易知ACBDH，BHDH， 又由BGPG，故GHPD， 又因为GH 平面PAD，PD 平面PAD， 所以GH平面PAD. （II）证明：取棱PC的中点N，连接DN，依题意，得DNPC， 又因为平面PAC 平面PCD，平面PAC平面PCDPC， 所以DN 平面PAC，又PA平面PAC，故DNPA， 又已知PACD，CDDND， 所以PA平面PCD. （III）解：连接AN，由（II）中DN 平面PAC， 可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角. 因为PCD为等边三角形，2CD 且N为PC的中点， 所以 3DN ，又DNAN， 在Rt AND中， 3 sin 3 DN DAN AD ， 所以，直线AD与平面PAC所成角的正弦值为 3 3 . 【答案】 （I）见解析； （II）见解析； （III） 3 3 .
