1、10.210.3 综合拔高练 五年高考练 考点 1事件的相互独立性 1.(2020 天津,13,5 分,)已知甲、 乙两球落入盒子的概率分别为1 2和 1 3. 假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率 为;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为. 2.(2019 课标,15,5 分,)甲、 乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制 (当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队 的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为 0.6,客场取胜的概率为 0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以 41 获胜的概率是. 3.(2020 课标理,19,1
2、2 分,)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛, 约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人, 另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮 空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其 中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束. 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为1 2. (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率. 本资料分享自千人教师本资料分享自千人教师 QQQQ 群群 323031380期待你的加入与分享期待你的加入与分享 4.(2019 课标,18,12 分,)
3、11 分制乒乓球比赛,每赢一球得 1 分,当 某局打成 1010 平后,每球交换发球权,先多得 2 分的一方获胜,该局 比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率 为 0.5,乙发球时甲得分的概率为 0.4,各球的结果相互独立.在某局双 方 1010 平后,甲先发球,两人又打了 X 个球该局比赛结束. (1)求 P(X=2); (2)求事件“X=4 且甲获胜”的概率. 考点 2用频率估计概率 5.(2019 课标,14,5 分,)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经 停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正 点率为 0.98,有 10 个车次
4、的正点率为 0.99,则经停该站高铁列车所有 车次的平均正点率的估计值为. 6.(2020课标,18节选,8分,)某学生兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到 下表(单位:天): 锻炼人次 空气质量等级 0,200(200,400(400,600 1(优)21625 2(良)51012 3(轻度污染)678 4(中度污染)720 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率; (2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该 组区间的中点值为代表). 7.(2020 北京,18,14 分,)某校为举办甲、乙两
5、项不同活动,分别设计 了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否 支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表: 男生女生 支持不支持支持不支持 方案一200 人400 人300 人100 人 方案二350 人250 人150 人250 人 假设所有学生对活动方案是否支持相互独立. (1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概 率; (2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率; (3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为 p0.假设该校一年级有 500 名男生和 300 名女生,除一年级外其他年
6、级学生支持方案二的概 率估计值记为 p1.试比较 p0与 p1的大小.(结论不要求证明) 8.(2020课标文,17,12分,)某厂接受了一项加工业务,加工出来的 产品(单位:件)按标准分为 A,B,C,D 四个等级.加工业务约定:对于 A 级 品、B 级品、C 级品,厂家每件分别收取加工费 90 元,50 元,20 元;对 于 D 级品,厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂 可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件,乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工 了 100 件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下: 甲
7、分厂产品等级的频数分布表 等级ABCD 频数40202020 乙分厂产品等级的频数分布表 等级ABCD 频数28173421 (1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率; (2)分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润,以平均利 润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务? 9.(2019北京,17,12分,)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大 转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上 个月 A,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的 1 000 名学生 中随机抽取了 100 人,发现样本中 A,B 两种支付方式都不使用的有 5 人
8、,样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下: 支付金额 支付方式 不大于 2 000 元大于 2 000 元 仅使用 A27 人3 人 仅使用 B24 人1 人 (1)估计该校学生中上个月 A,B 两种支付方式都使用的人数; (2)从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人,求该学生上个月支付金额 大于 2 000 元的概率; (3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人,发现他本月的支付金额大于 2 000 元.结合 (2)的结果,能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2 000 元的人数有变化?说明理由. 三
9、年模拟练 应用实践 1.(多选)()2020 年春节期间,某调查公司在一服务区从七座以下小 型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查,将他们在某段高速公路的 车速(km/h)分成六 段:60,65),65,70),70,75),75,80),80,85),85,90,得到如图所示的 频率分布直方图.下列结论正确的是() A.这 40 辆小型汽车车速的众数的估计值为 77.5 B.在该服务区任意抽取一辆小型汽车,车速超过 80 km/h 的概率为 0.35 C.若从车速在60,70)的小型汽车中任意抽取 2 辆,则至少有一辆车的 车速在65,70)的概率为14 15 D.若从车速在60,70)的小
10、型汽车中任意抽取2辆,则车速都在60,65) 内的概率为1 3 2.(2020 北京师范大学附属中学高一期末,)甲、乙二人独立地破译 同一密码,甲破译出密码的概率为 0.8,乙破译出密码的概率为 0.7,记 事件 A:甲破译出密码,事件 B:乙破译出密码. (1)求甲、乙二人都破译出密码的概率; (2)求恰有一人破译出密码的概率; (3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下: 解:“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译出密码”, 所以随机事件“密码被破译”可以表示为 A+B, 所以 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7=1.5. 请指出小明同学错误的原因,并给出正
11、确解答过程.深度解析 3.()某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4 元,售价每瓶 6 元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶 2 元的价格当天全 部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有 关.如果最高气温不低于 25,需求量为 500 瓶;如果最高气温位于区间 20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了 确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得 下面的频数分布表: 最高气温10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天数216362574 以最高气温位于各区
12、间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位:元).当六月份这种酸 奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的 概率. 4.(2020 山东济南历城二中高一下检测,)某商店销售某海鲜,统计了 春节前后 50 天海鲜的需求量 x(10 x20,单位:公斤),其频率分布直 方图如图所示.该海鲜每天进货 1 次,商店每销售 1 公斤可获利 50 元, 若供大于求,剩余的降价处理,每处理 1 公斤亏损 10 元;若供不应求,可 从其他商店调拨,销售 1 公斤可获利 30 元
13、.假设商店每天该海鲜的进 货量为 14 公斤,商店的日利润为 y 元. (1)求商店的日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式; (2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替. 求这 50 天商店销售该海鲜日利润的平均数; 估计日利润在区间580,760)内的概率. 答案全解全析答案全解全析 五年高考练 1.答案 1 6; 2 3 解析设“甲、乙两球都落入盒子”为事件 A, 则 P(A)=1 2 1 3= 1 6. 设“甲、乙两球至少有一个落入盒子”为事件 B ,则 P(B)=1- 1 1 2 1 1 3 =1-1 3= 2 3. 2.答案0.18 解析由题意可知七场四胜制且甲队以 41
14、获胜,则共比赛了 5 场,且第 5 场甲 胜,前 4 场中甲胜 3 场.第一类:第 1 场、第 2 场中甲胜 1 场,第 3 场、第 4 场甲胜, 则 P1=(0.60.4+0.40.6)0.52=23 5 2 5 1 4= 3 25;第二类:第 1 场、 第 2 场甲胜,第 3 场、第 4 场中甲胜 1 场,则 P2=0.62(0.50.5+0.50.5)= 3 5 221 4= 9 50,所以甲 队以 41 获胜的概率 P= 3 25 + 9 50 0.6=0.18. 3.解析(1)甲连胜四场的概率为 1 16. (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛. 比赛四场结束,
15、共有三种情况: 甲连胜四场的概率为 1 16; 乙连胜四场的概率为 1 16; 丙上场后连胜三场的概率为1 8. 所以需要进行第五场比赛的概率为 1- 1 16- 1 16- 1 8= 3 4. (3)丙最终获胜,有两种情况: 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为1 8; 比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空 结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为 1 16, 1 8, 1 8. 因此丙最终获胜的概率为1 8+ 1 16+ 1 8+ 1 8= 7 16. 4.解析(1)X=2 就是 1010 平后,两人又打了 2 个球该局比赛结束,则这 2 个球
16、 均由甲得分,或者均由乙得分.因此 P(X=2)=0.50.4+(1-0.5)(1-0.4)=0.5. (2)X=4 且甲获胜,就是 10 10 平后,两人又打了 4 个球该局比赛结束,且这 4 个球 的得分情况为:前两球是甲、乙各得 1 分,后两球均为甲得分. 因此所求概率为0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1. 5.答案0.98 解析设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98 的事件为 B,正点率为 0.99 的事件为 C,则用频率估计概 率有 P(A)= 10 10+20+10= 1 4,P(B)= 20 10+20+10= 1 2
17、,P(C)= 10 10+20+10= 1 4,所以经停该站高铁列车所 有车次的平均正点率的估计值为 0.971 4+0.98 1 2+0.99 1 4=0.98. 6.解析(1)由所给数据,该市一天的空气质量等级为 1,2,3,4 的概率的估计值如 下表: 空气质量等级1234 概率的估计值0.430.270.210.09 (2)一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 1 100(10020+30035+50045)=350. 7.解析(1)设“该校男生支持方案一”为事件 A,“该校女生支持方案一”为事 件 B. 依题意知,抽取的样本中共有男生 600 人,其中支持方案一的有 200 人,故
18、 P(A)=200 600= 1 3;抽取的样本中共有女生 400 人,其中支持方案一的有 300 人,故 P(B)=300 400= 3 4. (2)由(1)可知,“该校男生支持方案一”的概率估计值为1 3;“该校女生支持方案一” 的概率估计值为3 4. 设“抽取的该校 2 个男生和 1 个女生中,支持方案一的恰有 2 人”为事件 C,该事 件包括“2 个男生均支持方案一而女生不支持方案一”“2 个男生中有且只有 1 人支持方案一且女生支持方案一”,故所求概率为 P(C)= 1 3 2 1 3 4 +21 3 1 1 3 3 4= 13 36. (3)p1 80 160= 1 2,则 p2p
19、0, 故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即 p1 3 2,所以该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率, 即 p1p0. 8.解析(1)由试加工产品等级的频数分布表知, 甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 40 100=0.4; 乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为 28 100=0.28. (2)由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润6525-5-75 频数40202020 因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为6540+25205207520 100 =15. 由数据知乙分厂
20、加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润70300-70 频数28173421 因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为7028+3017+0347021 100 =10. 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务. 9.解析(1)由题知,样本中仅使用 A 的学生有 27+3=30 人,仅使用 B 的学生有 24+1=25 人,A,B 两种支付方式都不使用的学生有 5 人. 故样本中 A,B 两种支付方式都使用的学生有 100-30-25-5=40 人. 估计该校学生中上个月 A,B 两种支付方式都使用的人数为 40 1001 000=400. (2)记事
21、件 C 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽取1 人,该学生上个月的支付金 额大于 2 000 元”,则 P(C)= 1 25=0.04. (3)记事件 E 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人,该学生本月的支付金额 大于 2 000 元”. 假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由(2) 知,P(E)=0.04. 答案示例 1:可以认为有变化. 理由如下: P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付 金额大于 2 000 元的人数发生了变化.所以可以认为有变化. 答案示例 2:无法确定有没有变化. 理由如下: 事
22、件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确 定有没有变化. 三年模拟练 应用实践 1.ABC在 A 中,由题图可知,众数的估计值为最高矩形底边中点横坐标对应的值 75+80 2 =77.5,A 正确;在 B 中,车速超过 80 km/h 的频率为 0.055+0.025=0.35, 用频率估计概率知 B 正确;在 C 中,由题可知,车速在60,65)内的小型汽车数为 2, 车速在65,70)内的小型汽车数为 4,运用古典概型求概率得,至少有一辆车的车速 在65,70)的概率为14 15,即车速都在60,65)内的概率为 1 15,故 C 正确,D 错误.故选
23、 ABC. 2.解析(1)由题意可知 P(A)=0.8,P(B)=0.7,且事件 A,B 相互独立,事件“甲、乙 二人都破译出密码”可表示为 AB, 所以 P(AB)=P(A)P(B)=0.80.7=0.56. (2)事件“恰有一人破译出密码”可表示为?B+A?,且?B,A?互斥, 所以 P(?B+A?)=P(?B)+P(A?)=P(?)P(B)+P(A)P(?) =(1-0.8)0.7+0.8(1-0.7)=0.38. (3)小明同学的错误在于事件 A,B 不互斥,而用了互斥事件的概率加法公式. 正确解答过程如下: “密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译出密码”,可以表示为 ?B+
24、A?+AB,且?B,A?,AB 两两互斥, 所以 P(?B+A?+AB)=P(?B)+P(A?)+P(AB)=P(?)P(B)+P(A)P(?)+P(A)P(B)=(1-0. 8)0.7+0.8(1-0.7)+0.80.7=0.94. 误区警示 在处理“恰有一个”类型的问题时,要时刻注意,当事件A发生时,事件B一定不发 生,或者事件 B 发生时,事件 A 一定不发生,不能只注意某一个事件发生,而忽略掉 另一个事件的情况,要注意“恰有一个”的意思是有且仅有一个. 3.解析(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶,当且仅当最高气温低于 25, 由题表数据知,最高气温低于 25 的频率为2+16
25、+36 90 =0.6, 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时, 若最高气温不低于 25,则 Y=6450-4450=900; 若最高气温位于区间20,25), 则 Y=6300+2(450-300)-4450=300; 若最高气温低于 20,则 Y=6200+2(450-200)-4450=-100. 所以 Y 的所有可能值为 900,300,-100. Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20, 由题表数据知,最高气温不低于 20 的频率为36+25+7+4 90 =0.8, 因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.
26、8. 4.解析(1)商店的日利润 y 关于需求量 x 的函数表达式为 y= 50 14 + 30 (?-14),14? 20, 50?-10(14-?),10? 14, 化简,得 y= 30? + 280,14 ? 20, 60?-140,10? 14. (2)由频率分布直方图得: 海鲜需求量在区间10,12)的频率是 20.08=0.16, 海鲜需求量在区间12,14)的频率是 20.12=0.24, 海鲜需求量在区间14,16)的频率是 20.15=0.30, 海鲜需求量在区间16,18)的频率是 20.10=0.20, 海鲜需求量在区间18,20的频率是 20.05=0.10, 这 50
27、 天商店销售该海鲜日利润的平均数为 (1160-140)0.16+(1360-140)0.24+(1530+280)0.30+(1730+280) 0.20+(1930+280)0.10=83.2+153.6+219+158+85=698.8(元). 由于 x=14 时,3014+280=6014-140=700, 所以 y= 30? + 280,14 ? 20, 60?-140,10? 14 在区间10,20上单调递增,因为 580700760, 所以令 60 x-140=580,解得 x=12; 令 30 x+280=760,解得 x=16. 所以海鲜需求量在区间12,16)的频率即为日利润在区间580,760)内的概率. 所以所求概率为 0.24+0.30=0.54.
