1、第四章第四章三角函数与解三角形三角函数与解三角形 第三节第三节三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 考点考点 1 三角函数的单调性三角函数的单调性 (2018全国卷(理) )若 f(x)cos xsin x 在a,a上是减函数,则 a 的最大值是() A ? B ? C? ? D 【解析】f(x)cos xsin x ? sin? ? ? ? cos? ? ? ?sin ? ? ? , 当 x ? ? ? ? ? ,即 x ? ? ? ? ? 时, ysin ? ? ? 单调递增, f(x) ?sin ? ? ? 单调递减 函数 f(x)在a,a上是减函数, a,a ? ? ? ? ? ,
2、 0a ?,a 的最大值为 ?. 故选 A 【答案】A (2018江苏卷)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和 线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大 棚,大棚内的地块形状为矩形 ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求 A,B 均在线段 MN 上,C,D 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为. (1)用分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积,并确定 sin 的取值范围; (2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4
3、3. 求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【解析】 (1)如图,设 PO 的延长线交 MN 于点 H,则 PHMN, 所以 OH10. 过点 O 作 OEBC 于点 E,则 OEMN,所以COE, 故 OE40cos ,EC40sin , 则矩形 ABCD 的面积为 240cos (40sin 10) 800(4sin cos cos ) , CDP 的面积为 ? ?240cos (4040sin ) 1 600(cos sin cos ) 过点 N 作 GNMN,分别交圆弧和 OE 的延长线于点 G 和 K,则 GKKN10. 令GOK0,则 sin 0? ?,0 ? ? . 当
4、 ? ? 时,才能作出满足条件的矩形 ABCD, 所以 sin 的取值范围是 ? ? ? . 答矩形 ABCD 的面积为 800(4sin cos cos )平方米,CDP 的面积为 1 600(cos sin cos )平 方米,sin 的取值范围是 ? ? ? . (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43,设甲的单位面积的年产值为 4k,乙的单位面积 的年产值为 3k(k0) , 则年总产值为 4k800(4sin cos cos )3k1 600(cos sin cos ) 8 000k(sin cos cos ) , ? ? . 设 f()sin cos cos , ? ? , 则 f()cos2sin2sin (2sin2sin 1) (2sin 1) (sin 1) 令 f()0,得 ?, 当 ? ? 时,f()0,所以 f()为增函数; 当 ? ? ? 时,f()0,所以 f()为减函数, 因此,当 ?时,f()取到最大值 答当 ?时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【答案】见解析