1、第九章第九章 平面解析几何平面解析几何 第六节第六节 双曲线双曲线 考点考点 2 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 （2018北京卷（理） ）已知椭圆 M：? ? ? ? ?1（ab0） ，双曲线 N： ? ? ? ?1.若双曲线 N 的两条渐近线 与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双 曲线 N 的离心率为_ 【解析】方法一双曲线 N 的渐近线方程为 y ? ?x，则 ? ?tan 60 ?，双曲线 N 的离心率 e1满足? ?1 ? ? ?4，e12. 由 ? t? ? ? ? ? ? t ?得 x 2 ? ?. 如图，设 D 点的
2、横坐标为 x， 由正六边形的性质得|ED|2xc，4x2c2. ? ?a 2b2，得 3a46a2b2b40， 3? ? ? ? ? ? 0，解得? ? ?2 ?3. 椭圆 M 的离心率 e2满足? ?1? ?42 ?. e2 ?1. 方法二双曲线 N 的渐近线方程为 y? ?x， 则? ?tan 60 ?. 又 c1 ? ?2m，双曲线 N 的离心率为? ?2. 如图，连接 EC，由题意知，F，C 为椭圆 M 的两焦点，设正六边形的边长为 1，则|FC|2c22，即 c21. 又 E 为椭圆 M 上一点，则|EF|EC|2a，即 1 ?2a， a? ? ? . 椭圆 M 的离心率为? ? ?
3、 ? ? ?1. 【答案】 ?12 （2018浙江卷）双曲线? ? ?y 21 的焦点坐标是（ ） A （ ?，0） ， （ ?，0）B （2,0） ， （2,0） C （0， ?） ， （0， ?）D （0，2） ， （0,2） 【解析】双曲线方程为? ? ?y 21， a23，b21，且双曲线的焦点在 x 轴上， c ? ? ? ? ?2， 即得该双曲线的焦点坐标为（2,0） ， （2,0） 故选 B 【答案】B （2018天津卷（理） ）已知双曲线? ? ? ? ?1（a0，b0）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与 双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线
4、的距离分别为 d1和 d2，且 d1d26，则双曲线 的方程为（） A? ? ? ? ?1 B? ? ? ? ?1 C? ? ? ? ? 1D? ? ? ? ? 1 【解析】如图，不妨设 A 在 B 的上方， 则 A ? ? ? ，B ? h ? ? .其中的一条渐近线为 bxay0，则 d1d2?h? ? ? ? ? 2b6，b3. 又由 e? ?2，知 a 2b24a2，a ?. 双曲线的方程为? ? ? ? ? 1. 故选 C 【答案】C （2018全国卷（理） ）设 F1，F2是双曲线 C：? ? ? ? ?1（a0，b0）的左、右焦点，O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线
5、，垂足为 P.若|PF1| ?|OP|，则 C 的离心率为（） A ? B2 C ? D ? 【解析】如图，过点 F1向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为 P，连接 PF2，由题意可知，四边形 PF1PF2 为平行四边形，且PPF2是直角三角形 因为|F2P|b，|F2O|c，所以|OP|A 又|PF1| ?a|F2P|，|PP|2a， 所以|F2P| ?ab， 所以 c ? ? ?a，所以 e? ? ?. 【答案】C （2018全国卷（理） ）双曲线? ? ? ? ?1（a0，b0）的离心率为 ?，则其渐近线方程为（ ） Ay ?xBy ?x Cy ? ? xDy ? ? x 【解析】双曲线
6、? ? ? ? ?1 的渐近线方程为 bxay0. 又离心率? ? ? ? ?， a2b23a2，b ?a（a0，b0） 渐近线方程为 ?axay0，即 y ?x. 故选 A 【答案】A （2018全国卷（理） ）已知双曲线 C：? ? ? y21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与 C 的 两条渐近线的交点分别为 M，N.若OMN 为直角三角形，则|MN|等于（） A? ? B3 C2 ? D4 【解析】由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y ? ? x. 设两渐近线的夹角为 2，则有 tan ? ? ? ? ，所以30. 所以MON260. 又OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MNON，如图所示 在 RtONF 中，|OF|2，则|ON| ?. 则在 RtOMN 中，|MN|ON|tan 2 ?tan 603. 故选 B 【答案】B （2018江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线? ? ? ? ?1（a0，b0）的右焦点 F（c,0）到一条渐 近线的距离为 ? ? c，则其离心率的值为_ 【解析】双曲线的渐近线方程为 bxay0，焦点 F（c,0）到渐近线的距离 d ? ?Bb ? ? c， a ?h ? ?c，e ? ?2. 【答案】2
