1、选修选修 4-4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 第二节第二节 参数方程参数方程 考点考点 1 参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化 (2018全国卷(理) )选修 44:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,O 的参数方程为 ?cos ?, ?sin ? (为参数) ,过点(0, ?)且倾斜角为的直线 l 与O 交于 A,B 两点 (1)求的取值范围; (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程 【解析】 (1)O 的直角坐标方程为 x2y21. 当 ?时,l 与O 交于两点 当 ?时,记 tan k,则 l 的方程为 ykx ?.l 与O 交于两点当且仅当 ? ?t
2、?1,解得 k1 或 k1, 即 ? , 3 ? 或 ? , ? . 综上,的取值范围是 ? , 3 ? . (2)l 的参数方程为 ? cos?, ? ? t sin? 为参数, ? ? ? ? 3 ? . 设 A,B,P 对应的参数分别为 tA,tB,tP, 则 tP?t? ? ,且 tA,tB满足 t22 ?tsin 10. 于是 tAtB2 ?sin ,tP ?sin . 又点 P 的坐标(x,y)满足 ? ?cos?, ? ? t ?sin?, 所以点 P 的轨迹的参数方程是 ? ? ? sin?, ? ? ? ? ? ? ? cos? ?为参数, ? ? ? ? 3 ? . 【答案
3、】见解析 (2018全国卷(理) )选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?cos ?, ?sin ? (为参数) ,直线 l 的参数方程为 ?cos ?, ?sin ? (t 为参数) (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2) ,求 l 的斜率 【解析】 (1)曲线 C 的直角坐标方程为? ? ? ? ?t1. 当 cos 0 时,l 的直角坐标方程为 ytan x2tan , 当 cos 0 时,l 的直角坐标方程为 x1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程(13cos2)t24(2cos sin )t8 0. 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内, 所以有两个解,设为 t1,t2,则 t1t20. 又由得 t1t2? ?cos?tsin? ?t3cos? ,故 2cos sin 0,于是直线 l 的斜率 ktan 2. 【答案】见解析