1、第三章第三章导数及其应用导数及其应用 第二节第二节导数的应用第导数的应用第 2 课时课时 考点考点 2 函数极值和最值的综合函数极值和最值的综合 （2018天津卷（文） ）设函数 f（x）（xt1） （xt2） （xt3） ，其中 t1，t2，t3R，且 t1，t2，t3是公差为 d 的等差数列 （1）若 t20，d1，求曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （2）若 d3，求 f（x）的极值； （2）若曲线 yf（x）与直线 y（xt2）6 ?有三个互异的公共点，求 d 的取值范围 【解析】 （1）由已知，可得 f（x）x（x1） （x1）x3x， 故 f（x）3x21.因此
2、 f（0）0，f（0）1. 又因为曲线 yf（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程为 yf（0）f（0） （x0） ，故所求切线方程为 xy 0. （2）由已知可得 f（x）（xt23） （xt2） （xt23） （xt2）39（xt2） x33t2x2（3? ?9）x? ? ?9t2. 故 f（x）3x26t2x3? ?9. 令 f（x）0，解得 xt2 ?或 xt2 ?. 当 x 变化时，f（x） ，f（x）的变化情况如下表： 所以函数 f（x）的极大值为 f（t2 ?）（ ?）39（ ?）6 ?， 函数 f（x）的极小值为 f（t2 ?）（ ?）39 ?6 ?. （3）曲线 yf（x）
3、与直线 y（xt2）6 ?有三个互异的公共点等价于关于 x 的方程（xt2d） （x t2）（xt2d）（xt2）6 ?0 有三个互异的实数解 令 uxt2，可得 u3（1d2）u6 ?0. 设函数 g（x）x3（1d2）x6 ?，则曲线 yf（x）与直线 y（xt2）6 ?有三个互异的公共点 等价于函数 yg（x）有三个零点 g（x）3x2（1d2） 当 d21 时，g（x）0，这时 g（x）在 R 上单调递增，不合题意 当 d21 时， 令 g（x）0，解得 x1 ? ? ，x2 ? ? . 可得，g（x）在（，x1）上单调递增，在x1，x2上单调递减，在（x2，）上单调递增 所以 g（x
4、）的极大值为 g（x1）g ? ? ? ? ?h? ? ? 6 ?0. g（x）的极小值为 g（x2）g ? ? ? ?h? ? ? 6 ?. 若 g（x2）0，则由 g（x）的单调性可知函数 yg（x）至多有两个零点，不合题意 若 g（x2）0，即（d21）? ?27，也就是|d| ?，此时|d|x2，g（|d|）|d|6 ?0，且2|d|x1， g（2|d|）6|d|32|d|6 ?62 ?6 ?0，从而由 g（x）的单调性，可知函数 yg（x）在区间 （2|d|，x1） ， （x1，x2） ， （x2，|d|）内各有一个零点，符合题意 所以 d 的取值范围是（， ?）（ ?，） 【答案】
5、见解析 （2018北京卷（文） ）设函数 f（x）ax2（3a1）x3a2ex. （1）若曲线 yf（x）在点（2，f（2） ）处的切线斜率为 0，求 a； （2）若 f（x）在 x1 处取得极小值，求 a 的取值范围 【解析】 （1）因为 f（x）ax2（3a1）x3a2ex， 所以 f（x）ax2（a1）x1ex， f（2）（2a1）e2. 由题意知 f（2）0，即（2a1）e20，解得 a? ?. （2）由（1）得 f（x）ax2（a1）x1ex （ax1） （x1）ex. 若 a1，则当 x ? ? 时，f（x）0； 当 x（1，）时，f（x）0. 所以 f（x）在 x1 处取得极小值 若 a1，则当 x（0,1）时，ax1x10， 所以 f（x）0. 所以 1 不是 f（x）的极小值点 综上可知，a 的取值范围是（1，） 【答案】见解析
