1、小题专练小题专练 01 函数、导数与不等式函数、导数与不等式(A) 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.(考点:函数的定义域,)函数 f(x)= 1 3-?+lg 2? + 3 的定义域是( ). A. - 3 2 ,3B. -,3C. - 3 2 , + D. -3,- 3 2 2.(考点:导数的几何意义,)若曲线 y=f(x)=1 2x 2+ax+b 在点(4,f(4)处的切线方程是 2x-y+1=0,则( ). A. a=10,b=1B. a=-2,b=-9C. a=-2,b=9D. a=2,b=-9
2、 3.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在区间0,+)上单调递减,则满 足 f(3x-1) 0.若函数 g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点,则实数 m 的 取值范围为(). A.(3,4)B.(-4,-3)C.3,4D.(3,6) 6.(考点:均值不等式,)设 a0,b0,若 9 是 3a与 3b的等比中项,则4 ?+ 1 ?的最小值为( ). A.4B.2C.3 4 D.9 4 7.(考点:利用导数研究函数的单调性,)若函数f(x)=kx-sin x在区间 - 6 , 3 上单调递增,则实数k的取值范 围是(). A.1,+)B. - 1 2
3、, + C.(1,+)D. 1 2 , + 8.( 考 点 : 导 数 的 综 合 应 用 , ) 已 知 奇 函 数 f(x) 的 导 函 数 为 f(x), 当 x0 时 ,f(x)+ 2?(?) ? 0. 若 a= 1 e2f - 1 e ,b=1 4f - 1 2 ,c=f(-1),则 a,b,c 的大小关系为(). A. abcB. cbaC. cabD. ac1,则 p 成立的一个必要不充分条件可以是( ). A.1x2B.-2x3C.-2x4D.-3x2 10.(考点:函数的基本性质,)下列函数中,既是偶函数,又在(0,+)上单调递增的是(). A.f(x)=ln( 1 + 4?
4、2-2x)B.f(x)=ex+e-xC.f(x)=x2+5D.f(x)=cos x 11.(考点:均值不等式,)已知正实数 x,y 满足 x+2y=1,则1 ?+ 1 ?可能的值为( ). A.3B.6C.7D.9 12.(考点:导数的应用,)设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,f(x),g(x)分别为其导函数,当 x0 时,f(x)g(x)+f(x)g(x)0 且 g(-5)=0,则使得不等式 f(x)g(x)0 且 a1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-2=0 上, 其中 m, n 均大于 0,则1 ?+ 1 ?的最小值为 . 16.(考点:利用导
5、数研究函数的极值,)已知函数 f(x)=1 3x 3+2x2-5x+2 的极大值为 a,极小值为 b,则 a+b=. 答案解析： 函数、导数与不等式函数、导数与不等式(A) 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.(考点:函数的定义域,)函数 f(x)= 1 3-?+lg 2? + 3 的定义域是( ). A. - 3 2 ,3B. -,3C. - 3 2 , + D. -3,- 3 2 【解析】要使函数有意义,则 3-? 0, 2? + 3 0,即 ? - 3 2 ,即- 3 2x3, 所以函数的定义域为 -
6、 3 2 ,3 . 故选 A. 【答案】A 2.(考点:导数的几何意义,)若曲线 y=f(x)=1 2x 2+ax+b 在点(4,f(4)处的切线方程是 2x-y+1=0,则( ). A. a=10,b=1B. a=-2,b=-9C. a=-2,b=9D. a=2,b=-9 【解析】因为 f(x)=1 2x 2+ax+b,所以 f(x)=x+a,由题可知 f(4)=2,所以 a=-2. 又切点坐标(4,f(4)满足切线方程 2x-y+1=0,f(4)=b,所以 8-b+1=0,解得 b=9. 故选 C. 【答案】C 3.(考点:函数单调性与奇偶性的综合应用,)已知定义在 R 上的偶函数 f(x
7、)在区间0,+)上单调递减,则满 足 f(3x-1)f(8)的 x 的取值范围是(). A. -3, 7 3 B. -,- 7 3 (3,+)C. - 7 3 ,3D.(-,-3) 7 3 , + 【解析】因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 所以 f(3x-1)f(8)等价于 f(|3x-1|)8, 所以 3x-18, 解得 x3, 故 x 的取值范围为 -,- 7 3 (3,+).故选 B. 【答案】B 4.(考点:函数的图象,)函数 f(x)= ?3 2?-4的图象大致为( ). 【解析】由题意,函数 f(x)= ?3 2?-4的定义域为x|xR,x2,排除 A;又 f(1)0,排除
8、 D.故选 B. 【答案】B 5.(考点:函数的零点,)已知函数 f(x)= 2? + 6,? 0, ?2-2x + 4,x 0.若函数 g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点,则实数 m 的 取值范围为(). A.(3,4)B.(-4,-3)C.3,4D.(3,6) 【解析】函数 g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点等价于函数 y=f(x)与 y=m 的图象有三个不同的交点, 作出函数 f(x)的图象如图所示. 函数 y=m 的图象为水平的直线,由图象可知,当 m(3,4)时,两函数的图象有三个不同的交点,即函数 g(x)有三 个不同的零点.故选 A. 【答案】A 6.(考点:均值不等
9、式,)设 a0,b0,若 9 是 3a与 3b的等比中项,则4 ?+ 1 ?的最小值为( ). A.4B.2C.3 4 D.9 4 【解析】因为 9 是 3a与 3b的等比中项, 所以 3a3b=3a+b=92,即 a+b=4, 所以4 ?+ 1 ?= 1 4(a+b) 4 ? + 1 ? =5 4+ 1 4 4? ? +? ? 5 4+ 1 44= 9 4, 当且仅当4? ? =? ?,即 a= 8 3,b= 4 3时,等号成立, 所以4 ?+ 1 ?的最小值为 9 4. 故选 D. 【答案】D 7.(考点:利用导数研究函数的单调性,)若函数f(x)=kx-sin x在区间 - 6 , 3
10、上单调递增,则实数k的取值范 围是(). A.1,+)B. - 1 2 , + C.(1,+)D. 1 2 , + 【解析】 由题意可得 f(x)=k-cos x,因为 f(x)在 - 6 , 3 上单调递增,所以 f(x)0 在 - 6 , 3 上恒成立,即 f(x)min=k-1 0,所以 k1.故选 A. 【答案】A 8.( 考 点 : 导 数 的 综 合 应 用 , ) 已 知 奇 函 数 f(x) 的 导 函 数 为 f(x), 当 x0 时 ,f(x)+ 2?(?) ? 0. 若 a= 1 e2f - 1 e ,b=1 4f - 1 2 ,c=f(-1),则 a,b,c 的大小关系
11、为(). A. abcB. cbaC. cabD. ac0 时,2xf(x)+x2f(x)0,即当 x0 时,g(x)0,所以函数 g(x)在(0,+)上单调递增. 又函数 f(x)为奇函数,所以 g(-x)=(-x)2 f(-x)=-x2 f(x)=-g(x),所以函数 g(x)为奇函数,所以当 x- 1 2-1,所以 g - 1 e g-1 2 g(-1),所以 abc. 【答案】B 二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对 的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分. 9.(考点:不等式的综合应用,)已
12、知 p: 1 ?-11,则 p 成立的一个必要不充分条件可以是( ). A.1x2B.-2x3C.-2x4D.-3x1 ?-2 ?-10(x-1)(x-2)01x1),则 y=t+1 ?,由对勾函数的性质可 得,y=t+1 ?在 t(1,+)时是增函数,又 t=e x单调递增,所以 f(x)=ex+e-x在(0,+)上单调递增,故选项 B 符合题 意; 对于选项 C,f(-x)=(-x)2+5=x2+5=f(x),即 f(x)=x2+5 为偶函数,由二次函数的性质可知 f(x)=x2+5 在(0,+)上单调递 增,故选项 C 符合题意; 对于选项 D,由余弦函数的性质可知 y=cos x 是偶
13、函数,但不在(0,+)上单调递增,故选项 D 不符合题意. 综上,BC 正确. 【答案】BC 11.(考点:均值不等式,)已知正实数 x,y 满足 x+2y=1,则1 ?+ 1 ?可能的值为( ). A.3B.6C.7D.9 【解析】因为 x,y 都为正实数,所以 1 ?+ 1 ?= ?+2? ? + ?+2? ? =3+ 2? ? + ? ?3+2 2? ? ? ?=3+2 2 当且仅当 2? ? = ? ? ,即 x = 2y 时取等号 ,显然 63+2 2,73+2 2,93+2 2,故选项 B,C,D 符合题意. 【答案】BCD 12.(考点:导数的应用,)设 f(x),g(x)分别是
14、定义在 R 上的奇函数和偶函数,f(x),g(x)分别为其导函数,当 x0 时,f(x)g(x)+f(x)g(x)0 且 g(-5)=0,则使得不等式 f(x)g(x)0 成立的 x 的值可以是(). A.-6B.-4C.4D.6 【解析】f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x), 令 h(x)=f(x)g(x),则 h(-x)=-h(x), 故 h(x)=f(x)g(x)为定义在 R 上的奇函数. 当 x0 时,f(x)g(x)+f(x)g(x)0, 即当 x0 时,h(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)0, h(x)=f(x
15、)g(x)在区间(-,0)上单调递减, 奇函数 h(x)在区间(0,+)上也单调递减, 如图,g(-5)=0, g(5)=0, h(-5)=h(5)=0, 当 x(-5,0)(5,+)时,h(x)=f(x)g(x)0,可得-3x1. 又因为 y=log1 2t 为减函数,而函数 t=-x 2-2x+3 在区间(-3,-1)上单调递增,在(-1,1)上单调递减.故 f(x)=log1 2(-x 2-2x+3) 在区间(-3,-1)上单调递减,在(-1,1)上单调递增. 易知 t=-x2-2x+3 在区间(-3,1)上的值域为(0,4,故 f(x)=log1 2t 的值域为-2,+). 【答案】(
16、-1,1)-2,+) 14.(考点:函数单调性的应用,)若函数 f(x)=x2+4(a+2)x+3 在(-,4上不是单调函数,则实数 a 的取值范围 是. 【解析】由题意可得,f(x)图象的对称轴为直线 x=-2(a+2),且满足-2(a+2)-4. 故实数 a 的取值范围为(-4,+). 【答案】(-4,+) 15.(考点:均值不等式,)函数 y=loga(x-3)+2(a0 且 a1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny-2=0 上, 其中 m, n 均大于 0,则1 ?+ 1 ?的最小值为 . 【解析】由题意可得点 A(4,2),代入 mx+ny-2=0 得 4m+2n-2=
17、0,即 2m+n=1. 所以 1 ?+ 1 ?= 1 ? + 1 ? (2m+n)=3+? ?+ 2? ? 3+2 ? ? 2? ? =3+2 2,当且仅当? ?= 2? ? ,即 m=1- 2 2 ,n= 2-1 时等号成立. 【答案】3+2 2 16.(考点:利用导数研究函数的极值,)已知函数 f(x)=1 3x 3+2x2-5x+2 的极大值为 a,极小值为 b,则 a+b=. 【解析】f(x)=1 3x 3+2x2-5x+2,f(x)=x2+4x-5.令 f(x)=0,解得 x=-5 或 x=1. 列表如下: x(-,-5)-5(-5,1)1(1,+) f(x)+0-0+ f(x)极大值 极小值 a=f(-5)=106 3 ,b=f(1)=-2 3, a+b=106 3 -2 3= 104 3 . 【答案】104 3
