1、公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1 导数结合洛必达法则巧解高考压轴题导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 2010 年和 2011 年高考中的全国新课标卷中的第 21 题中的第2 步，由不等式恒成立来求参数 的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。 洛必达法则简介： 法则 1若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) lim0 xa
2、f x 及 lim0 xa g x ； (2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) lim xa fx l gx ， 那么 lim xa f x g x = lim xa fx l gx 。 法则 2若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) lim0 x f x 及 lim0 x g x ； (2)0A，f(x) 和 g(x)在, A与,A 上可导，且 g(x)0； (3) lim x fx l gx ， 那么 lim x f x g x = lim x fx l gx 。 法则 3若函数 f(x) 和 g(x)满足下列条件：(1) lim x
3、a f x 及 lim xa g x ； (2)在点 a 的去心邻域内，f(x) 与 g(x) 可导且 g(x)0； (3) lim xa fx l gx ， 那么 lim xa f x g x = lim xa fx l gx 。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1 将上面公式中的 xa，x换成 x+，x-，x a ，x a 洛必达法则也成立。 2 洛必达法则可处理 0 0 ， ，0，1 ， 0 ， 0 0 ， 型。 3 在着手求极限以前，首先要检查是否满足 0 0 ， ，0，1 ， 0 ， 0 0 ， 型定式， 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提
4、条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法 则不适用，应从另外途径求极限。 4 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 二高考题处理 1.(2010 年全国新课标理)设函数 2 ( )1 x f xexax 。 （1）若0a ，求( )f x的单调区间； （2）若当0 x 时( )0f x ，求a的取值范围 原解原解： （1）0a 时，( )1 x f xex ，( )1 x fxe. 当(,0)x 时，( )0fx ；当(0,)x时，( )0fx .故( )f x在(,0)单调减少，在 (0,)单调增加 （II）( )1 2 x fxeax 由（I）知1 x ex ，当且仅
5、当0 x 时等号成立.故 ( )2(1 2 )fxxaxa x， 从而当120a，即 1 2 a 时，( )0 (0)fxx，而(0)0f， 于是当0 x 时，( )0f x . 由1(0) x ex x 可得1(0) x ex x .从而当 1 2 a 时， ( )12 (1)(1)(2 ) xxxxx fxea eeeea ， 故当(0,ln2 )xa时，( )0fx ，而(0)0f，于是当(0,ln2 )xa时，( )0f x . 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！
6、WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 2 综合得a的取值范围为 1 , 2 原解在处理第（原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解另解:（II）当0 x 时，( )0f x ，对任意实数 a,均在( )0f x ； 当0 x 时，( )0f x 等价于 2 1 x x a e x 令 2 1 x x g x e x (x0),则 3 22 ( ) xx xx g x ee x ， 令 220 xx h xxxx ee ， 则 1 xx hxxe e ， 0 x hxx
7、e， 知 hx在0,上为增函数， 00hxh；知 h x在0,上为增函数， 00h xh； 0gx ，g(x)在 0,上为增函数。 由洛必达法则知， 2 000 1 1 222 limlimlim xxx xxx x x eee x ， 故 1 2 a 综上，知 a 的取值范围为 1 , 2 。 2 （2011 年全国新课标理） 已知函数， 曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy 。 （）求a、b的值； （）如果当0 x ，且1x 时， ln ( ) 1 xk f x xx ，求k的取值范围。 原原解解： （） 22 1 (ln ) ( ) (1) x x b x fx
8、 xx 由于直线230 xy 的斜率为 1 2 ，且过点(1,1)，故 (1)1, 1 (1), 2 f f 即 1, 1 , 22 b a b 解得1a ，1b 。 （）由（）知 ln1 f( ) 1 x x xx ，所以 2 2 ln1(1)(1) ( )()(2ln) 11 xkkx f xx xxxx 。 考虑函数( )2lnh xx 2 (1)(1)kx x (0)x ，则 2 2 (1)(1)2 ( ) kxx h x x 。 （i）设0k ，由 22 2 (1)(1) ( ) k xx h x x 知，当1x 时，( )0h x ，h（x）递减。而(1)0h 故当(0,1)x时，
9、( )0h x ，可得 2 1 ( )0 1 h x x ； 当 x（1，+）时，h（x）0 从而当 x0,且 x1 时，f（x）-（ 1 ln x x + x k ）0，即 f（x） 1 ln x x + x k . （ ii ） 设 0k0,故 h（x） 0, 而 h（1）=0，故当 x（1， k1 1 ）时，h（x）0，可得 2 1 1 x h（x）0,而 h （1） =0， 故当 x（1， +）时，h（x）0，可得 2 1 1 x h（x）0,与题设矛盾。 综合得，k 的取值范围为（-，0 原解在处理第（原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：）时非常难想到，现利用
10、洛必达法则处理如下： 另解另解： （II）由题设可得，当0,1xx时，k 1 h =0 h x在0,上为增函数 1h=0 当(0,1)x时， 0h x ，当 x（1，+）时， 0h x 当(0,1)x时， 0gx，当 x（1，+）时， 0gx g x在0,1上为减函数，在1,上为增函数 由洛必达法则知 2 111 ln1ln1 2121210 221 limlimlim xxx xxx g x xx 0k ，即k 的取值范围为（-，0 规律总结规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求 分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴 的方法。
