1、课时作业课时作业 40二元一次不等式二元一次不等式(组组)与简单的线性规划问题与简单的线性规划问题 一、选择题 1(2021湖南长郡适应性考试)已知实数 x，y 满足不等式组 xy0， 2xy6， xy2， 则点(x，y)构成平面区域的面积是 (A) A3B5 2 C2D3 2 解析：根据题意作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示分别求得 A(2,2)，B(4，2)，C(1,1)，求 出点 B 到直线 yx 的距离 d |42| 12123 2，AC 21 2212 2，S ABC1 2ACd 1 2 23 23. 故选 A. 2若实数 x，y 满足约束条件 x3y40， 3xy40，
2、 xy0， 则 z3x2y 的最大值是(C) A1B1 C10D12 解析：根据题意画出不等式组所表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，画出直线 l0：3x2y0，平移 l0可知， 当经过点 C(2,2)时，z 取最大值，即 zmax322210，故选 C. 3(2020浙江卷)若实数 x，y 满足约束条件 x3y10， xy30， 则 zx2y 的取值范围是(B) A(，4B4，) C5，)D(，) 解析：由约束条件画出可行域如图阴影部分所示，易知 zx2y 在点 A(2,1)处取得最小值 4，无最大值，所以 z x2y 的取值范围是4，)故选 B 4在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所
3、得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影由区域 x20， xy0， x3y40 中的点在 直线 xy20 上的投影构成的线段记为 AB，则|AB|(C) A2 2B4 C3 2D6 解析：由不等式组画出可行域，如图中阴影部分所示因为直线 xy20 与直线 xy0 平行，所以可行域 内的点在直线 xy20 上的投影构成的线段的长|AB|即为|CD|.易得 C(2，2)，D(1,1)，所以|AB|CD| 2122123 2.故选 C. 5(2021河北邯郸一模)已知 x，y 满足约束条件 xy0， 2xy6， xy2， 若实数满足 yx，则正数的取值范围为 (B) A. 2 3，B 0，2 3 C
4、. 1 2，D 0，1 2 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示易得 A，B，C 的坐标分别为(1,1)，(2,2)，(4，2)， 由 yx，得 y(x1)，由可行域可知，x1，所以 y x1，而 y x1表示过点(x，y)和 D(1,0)的直线的斜率， 又 kBD2 3，k CD2 5，所以 2 5 2 3，又0，故 0 2 3. 6(2021郑州预测)设变量 x，y 满足约束条件 y2， xy1， xy1， 则目标函数 z 1 3 3xy的最大值为( C) A. 1 3 11 B 1 3 3 C3D4 解析：可行域如图中阴影部分所示，目标函数 z 1 3 3xy，设 u3x
5、y，欲求 z 1 3 3xy的最大值，等价于求 u 3xy 的最小值u3xy 可化为 y3xu，该直线的纵截距为 u，作出直线 y3x 并平移，当直线 y3xu 经过点 B(1,2)时，纵截距 u 取得最小值 umin3(1)21，所以 z 1 3 3xy的最大值 zmax 1 3 13.故选 C. 7某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品 1 件需消耗 A 原料 1 千克，B 原料 2 千克；生产乙产品 1 件需消耗 A 原料 2 千克，B 原料 1 千克；每件甲产品的利润是 300 元，每件乙产品的利润是 400 元，公司在生产这两种产品的 计划中，要求每天消耗 A，B 原料都不超过 12
6、千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共 可获得的最大利润是(C) A1 800 元B2 400 元 C2 800 元D3 100 元 解析：设每天生产甲产品 x 件，乙产品 y 件，依题意有 x2y12， 2xy12， x，yN， 目标函数 z 300 x400y，作出不等式组表示的可行域，其中 A(0,6)，B(4,4)，C(6,0)，如图所示由 z300 x400y 得 y3 4x z 400，由图可知，目标函数在点 B(4,4)取得最大值，最大值为 2 800.所以公司共可获得的最大利润是 2 800 元故选 C. 8(2021湖北联考)若不等式组 xy20， kx
7、y20k0，b0)的最大值为 12，则2 a 3 b的最小值为( A) A.25 6 B8 3 C.11 3 D4 解析：作出约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，由图可知当直线 axbyz(a0，b0)过直线 xy20 与直线 3xy60 的交点(4,6)时，目标函数 zaxby(a0，b0)取得最大值 12，即 4a6b12，即 2a3b6.因 为2 a 3 b 2 a 3 b 2a3b 6 13 6 b a a b 13 6 225 6 ，当且仅当 ab6 5时，等号成立，所以 2 a 3 b的最小值是 25 6 ，故选 A. 10(2021湖北八校联考)已知点 P 为不等式组 3xy0
8、， xy20， y0 所表示的可行域内任意一点，点 A(1， 3)，O 为坐标原点，则OA OP |OP | 的最大值为(B) A. 3B1 C2D1 2 解析：作出不等式组所表示的可行域，如图阴影部分所示， A( 1 ，3 ) ， P在 可 行 域 内 运 动 ， 设 OA 与 OP 的 夹 角 为 ， 由 图 可 知 ： 3 2 3 当 P 在 OC 上时2 3 ，当 P 在 OB 上时 3 ， OA OP |OP | |OA |OP |cos |OP | 2cos， 又 3， 2 3 ，12cos1， 最大值为 1.故选 B 二、填空题 11若 x，y 满足约束条件 xy0， xy20，
9、 y0， 则 z3x4y 的最小值为1. 解析：画出约束条件所表示的可行域，如图中阴影部分所示(包括边界)可得目标函数 z3x4y 在点 A(1,1)处 取得最小值，zmin31411. 12已知实数 x，y 满足 x2y40， 2xy20， 3xy30， 则 x2y2的取值范围是 4 5，13. 解析：画出不等式组 x2y40， 2xy20， 3xy30 表示的可行域，如图中阴影部分 由 x2y40 及 3xy30 得 A(2,3)， 由 x2y2表示可行域内的点(x， y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2y2)max 223213，(x2y2)mind2 2 5 24 5，其中 d 表
10、示点(0,0)到直线 2xy20 的距离，所以 x 2y2的取值范围为 4 5，13. 13已知实数 x，y 满足约束条件 y2， xy1， y2x2. 若 zxty(t0)的最大值为 11，则实数 t4. 解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，易得 A(3,2)，B(1,2)，C 5 3， 2 3 ，目标函数 zxty(t0) 的最大值为 11，即直线 y1 t xz t的纵截距的最大值为 11 t ，由图知，当 y1 t xz t过点 A 时，纵截距取得最大值， 故 1132t，解得 t4. 14(2021湖北襄阳检测)已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M 1，1 2 ，N(
11、0,1)，Q(2,3)，动点 P(x，y)满足不等式 0OP OM 1,0OP ON 1，则 wOQ OP 的最大值为 4. 解析：O(0,0)，M 1，1 2 ，N(0,1)，Q(2,3)，P(x，y)， OP (x，y)，OM 1，1 2 ，ON (0,1)， 又0OP OM 1,0OP ON 1， 0 x1 2y1， 0y1， 又 wOP OQ (x，y)(2,3)2x3y， 问题转化为 x，y 满足约束条件 0 x1 2y1， 0y1， 求线性目标函数 w2x3y 的最大值，作出可行域如图阴影 部分所示由 x1 2y1， y1， 可得 x1 2， y1， 因此 A 1 2，1. 当 w
12、2x3y 过点 A 时，w 最大，wmax21 2314. 15(2021湖南湘潭模拟)太极图被称为“中华第一图”，从孔庙大成殿梁柱，到楼观台，三茅宫标记物；从道袍、 卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上，这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在 一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为 A(x，y)x2(y1)21 或 x2y24， x2y121， x0 ，设点(x，y)A，则 z2xy 的最大值与最小值之和是(B) A12 5B1 5 C1 5D12 5 解析：如图，作直线 2xy0，当直线上移与圆 x2(y1)21 相切时，z2xy
13、取最大值，此时，圆心(0,1)到 直线 z2xy 的距离等于 1，即|1zmax| 5 1，解得 zmax 51.当下移与圆 x2y24 相切时，z2xy 取最小值，同 理，|zmin| 5 2，即 zmin2 5，所以 z2xy 的最大值与最小值之和是 1 5.故选 B 16(2021湖南四校联考)已知变量 x，y 满足约束条件 y0， x2y80， 2xy60， 在实数 x，y 中插入 7 个实数，使这 9 个数构成等差数列an的前 9 项，则 a1x，a9y，则数列an的前 13 项和的最大值为221 6 . 解析：画出约束条件表示的可行域，如图阴影部分所示， 解方程组 x2y80， 2xy60， 得 x4 3， y10 3 ， 即 A 4 3， 10 3 .设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn， 则 dyx 91 1 8(yx)，所以数列a n的前 13 项和为 S1313a 1a13 2 13a713(a16d) 13 x6yx 813 4 (x3y) 由图形可知， 当直线 x3yz 经过点 A 时， 在 y 轴上的截距取得最大值， z 也最大， 所以 S13的最大值为13 4 4 310 221 6 .
