1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】如图，已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形， ADBC ， 90BCD ， PAPB ，PC PD 证明：CD与平面PAD不垂直； 证明：平面PAB 平面ABCD； 如果CDADBC，二面角PBCA等于60，求二面角PCDA的大小 ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? P 【例 2】（2008 山东） 如图， 已知四棱锥PABCD， 底面ABCD为菱形，PA 平面ABCD，60ABC， EF，分别是BCPC，的中点 证明：AEPD； 若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切为 6 2 ，求二面角 EAFC的余弦值
2、 ? P ? F ? E ? D ? C ? B ? A 板块六.证明与计算（角度） 【学而思高中数学讲义】 【例 3】如图， 正ABC的边长为3， 过其中心G作BC的平行线， 分别交AB、AC于 1 B、 1 C，将 11 ABC沿 11 BC折起到 111 ABC的位置，使点 1 A在平面 11 BBC C上的射影恰 是线段BC的中点M求： 二面角 111 ABCM的大小； 异面直线 11 AB与 1 CC所成角的余弦值的大小 【例 4】（2009 福建） 如图， 四边形ABCD是边长为1的正方形，MD 平面ABCD，NB 平面ABCD，且1MDNB，E为BC的中点 求异面直线NE与AM所
3、成角的余弦值； 在线段AN上是否存在点S，使得ES 平面AMN？若存在，求线段AS的长； 若不存在，请说明理由 ? E ? N ? M ? D ? C ? B ? A 【例 5】（2009 浙江文） 如图，DC 平面ABC，EBDC，22ACBCEBDC，120ACB ，P， Q分别为AE，AB的中点 证明：PQ平面ACD； 求AD与平面ABE所成角的正弦值 【学而思高中数学讲义】 ? Q ? P ? E ? D ? C ? B ? A 【例 6】如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，ADCD，ACBDH， 且H为AC的中点，又E为PC的中点，1ADCD，2 2DB ? H ? E
4、? D ? C ? B ? A ? P 证明：PA平面BDE； 证明：AC 平面PBD； 求直线BC与平面PBD所成的角的正切值 【例 7】如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD 平面ABCD， 2PDAB，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点 求证：PA平面EFG； 求GA与平面PEF所成角的正切值 ? P ? G ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 8】（2009 朝阳一模）朝阳一模） 如图如图， 在直三棱柱在直三棱柱ABCA B C 中中，4290AAACBCACB ，D是是AB 的中点的中点 【学而思高中数学讲义】 求证：求证：CD AB ； 求二
5、面角求二面角AABC的大小；的大小； 求直线求直线B D与平面与平面AB C所成角的正弦值所成角的正弦值 ? D ? C ? ? B ? ? A ? ? C ? B ? A 【例 9】（2007 东城期末理）如图，在长方体东城期末理）如图，在长方体ABCD 1111 ABC D中，棱中，棱3ADDC， 1 4DD ，过点，过点 D作作 1 DC的垂线交的垂线交 1 CC于点于点E，交，交 1 DC于点于点F 求证：求证： 1 ACBE； 求二面角求二面角EBDC的大小；的大小； 求求BE与平面与平面 11 ADC所成角的正弦值所成角的正弦值 ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ?
6、A ? 1 ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 10】如图， 在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，ADCD，ACBDH， 且H为AC的中点，又E为PC的中点，1ADCD，2 2DB ? H ? E ? D ? C ? B ? A ? P 证明：PA平面BDE； 证明：AC 平面PBD； 求直线BC与平面PBD所成的角的正切值 【学而思高中数学讲义】 【例 11】如图所示，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD 平面ABCD， 2PDAB，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点 求证：PA平面EFG； 求GA与平面PEF所成角的正切值 ? P ? G ? F ?
7、E ? D ? C ? B ? A 【例 12】（2006 江苏江苏-19）在正在正ABC中中，EFP、 、分别是分别是ABACBC、边上的点边上的点， 满足满足:AE EB:CF FACP1:2PB ，将，将AEF沿沿EF折起到折起到 1 AEF的位置，使的位置，使 二面角二面角 1 AEFB成直二面角，连结成直二面角，连结 11 ABAP、 求证求证： 1 AE 平面平面BEP 求直线求直线 1 AE与平面与平面 1 ABP所成角的大小所成角的大小 求二面角求二面角 1 BAPF的的余弦值余弦值大小大小 ? F ? E ? C ? P ? A ? 1 ? B ? P ? F ? E ? D
8、 ? C ? B ? A 【例 13】（07 湖南理湖南理 18）如如图图 1，E，F分别是矩形分别是矩形ABCD的边的边ABCD，的中点的中点， G是是EF上的一点上的一点，将将GAB，GCD分别沿分别沿ABCD，翻折成翻折成 1 G AB， 2 G CD， 并连结并连结 12 GG，使得平面，使得平面 1 G AB平面平面ABCD， 12 GGAD，且，且 12 GGAD连结连结 2 BG，如图，如图 2 2 【学而思高中数学讲义】 ? A ? B ? C ? D ? E ? F ? G ? 图1 ? A ? E ? B ? C ? F ? D ? G ? 1 ? G ? 2 ? 图2 证
9、明：平面证明：平面 1 G AB平面平面 12 G ADG； 当当12AB ，25BC ，8EG 时，求直线时，求直线 2 BG和平面和平面 12 G ADG所成的角；所成的角； 【例 14】（2007 东城期末理东城期末理） 如图如图， 在长方体在长方体ABCD 1111 ABC D中中， 棱棱3ADDC， 1 4DD ，过点，过点 D作作 1 DC的垂线交的垂线交 1 CC于点于点E，交，交 1 DC于点于点F 求证：求证： 1 ACBE； 求二面角求二面角EBDC的大小；的大小； 求求BE与平面与平面 11 ADC所成角的正弦值所成角的正弦值 ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ?
10、1 ? A ? 1 ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 15】（2009 朝阳一模）朝阳一模） 如图如图， 在直三棱柱在直三棱柱ABCA B C 中中，4290AAACBCACB ，D是是AB 的中点的中点 求证：求证：CD AB ； 求二面角求二面角AABC的大小；的大小； 求直线求直线B D与平面与平面AB C所成角的正弦值所成角的正弦值 ? D ? C ? ? B ? ? A ? ? C ? B ? A 【学而思高中数学讲义】 【例 16】如图，四棱锥PABCD的底面是2AB ，2BC 的矩形，侧面PAB是 等边三角形，且侧面PAB 底面ABCD 证明：BC 侧面PAB
11、； 证明：侧面PAD侧面PAB； 求侧棱PC与底面ABCD所成角的大小 ? D ? C ? B ? A ? P 【例 17】（05-湖南-17）如图，已知ABCD是上，下底边长分别为2和6，高为3的 等腰梯形，将它沿对称轴 1 OO折成直二面角 证明：AC 1 BO；求二面角 1 OACO的正弦值 【例 18】（08 浙江卷 18）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直， BECF，90BCFCEF ，3AD ，2EF 求证：AE平面DCF； 当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为60？ ? E ? H ? D ? F ? C ? B ? A 【学而思高中数学讲义】 【例 19】
12、球O的截面BCD到球心的距离等于球的半径的一半，BC是截面圆的直径， D是圆周上的一点，CA是球的直径 求证：平面ABD平面ADC 如果:3:2BD DC ，求二面角BACD的大小 ? D ? C ? B ? A ? O ? O ? 1 【例 20】如图所示，正三棱柱 111 ABCABC的底边长为2，高为4，过AB作一截面 交侧棱 1 CC于P，截面与底面成60角，求截面PAB的面积 ? P ? B ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? A 【例 21】（06 重庆-理-19）如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，DAB 为直角，ABCD，2ADCDAB，E、
13、F分别为PC、CD中点 试证：CD 平面BEF； 高PAk AB，且二面角EBDC的平面角大于30，求k的取值范围 ? F ? E ? A ? C ? B ? D ? P 【例 22】如图，已知边长为a的正ABC，以它的高AD为折痕，把它折成一个二面 角BADC 求 AB 和面B CD所成的角； 若二面角BADC 的平面角为120，求出二面角AB CD的余弦值 【学而思高中数学讲义】 ? M ? A ? B ? C ? D ? B ? 【例 23】三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示， 截面为 111 ABC， 90BAC ， 1 A A 平面ABC， 1 3A A ，2AB
14、，2AC ， 11 1AC ， 1 2 BD DC 证明：平面 1 A AD 平面 11 BCC B； 求二面角 1 ACCB的大小 ? D ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? B ? A 【例 24】已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，/ /90，ABDCABCBCD ， 2ABBCPBPCCD，侧面PBC 底面ABCD 求证：PABD 求二面角PBDC的正切值 ? P ? D ? C ? B ? A 【例 25】（2009 北京）如图，三棱锥PABC中，PA 底面ABC，PAAB， 60ABC，90BCA点，DE分别在棱PB，PC上，且DEBC 求证：BC 平面P
15、AC； 当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小； 是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由 【学而思高中数学讲义】 【例 26】（2009 天津） 如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M 为EC的中点， 1 2 AFABBCFEAD 求异面直线BF与DE所成的角的大小； 证明平面AMD 平面CDE； 求二面角ACDE的余弦值 ? M ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 27】（东城一模） 如图，三棱锥PABC中，PC 平面ABC，2PCAC，ABBC，D是PB 上一点，且CD 平面PAB 求证：AB 平面PCB；
16、 求异面直线AP与BC所成角的大小； 求二面角CPAB的大小 ? P ? D ? C ? B ? A 【例 28】（东城二模） 已知四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA 平面ABCD，1APAD， 2AB ，E、F分别是AB、PD的中点 证：AF 平面PEC； 求PC与平面ABCD所成角的大小； 求二面角PECD的大小 ? A ? E ? D ? B ? F ? C ? P 【学而思高中数学讲义】 【例 29】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形已知3AB ，2AD ， 2PA ，2 2PD ，60PAB 证明AD 平面PAB； 求异面直线PC与AD所成的角的大小； 求二面角
17、PBDA的大小 ? P ? D ? C ? B ? A 【例 30】如图，在四棱锥PABCD中，PA 底面ABCD，ABAD，ACCD， 60ABC，PAABBC，E是PC的中点 证明CDAE； 证明PD 平面ABE； 求二面角APDC的大小 ? A ? B ? C ? D ? E ? P 【例 31】已知平面 平面，交线为AB，C，D，4 3ABACBC， E为BC的中点，ACBD，8BD 求证：BD 平面； 求证：平面AEDBCD 平面； 求二面角BACD的正切值 ? E ? D ? C ? B ? A 【例 32】（2008 山东）如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA 平
18、 【学而思高中数学讲义】 面ABCD，60ABC，EF，分别是BCPC，的中点 证明：AEPD； 若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角 EAFC的余弦值 ? P ? F ? E ? D ? C ? B ? A 【例 33】四棱锥ABCDE中， 底面BCDE为矩形， 侧面ABC 底面BCDE，2BC ， 2CD ，ABAC 证明：ADCE； 设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角CADE的余弦值 ? E ? D ? C ? B ? A 【例 34】四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，边长为a，F为对角线AC与 BD的交点，E为PC中点，PDa，2PAPCa， 求证：EF平面PAD； 求证：PD平面ABCD，PBAC； 求二面角PACD的正切值 ? F ? B ? E ? A ? C ? D ? P
