1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a， 求异面直线 1 BD与 11 BC所成的角的余弦值 ? A ? B ? C ? D ? B ? 1 ? C ? 1 ? D ? 1 ? A ? 1 【例 2】在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，M和N分别为 11 AB和 1 BB的中点，那 么直线AM与CN所成角的余弦值是（） A 3 2 B 10 10 C 3 5 D 2 5 【例 3】（2008 年全国10） 已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则 AESD，所成的角的余弦值为（） A 1 3 B
2、2 3 C 3 3 D 2 3 ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? S 【例 4】（2006 天津）如图，PA 平面ABC，90ACB且PAACBCa，则异 板块三.异面直线所成的角 【学而思高中数学讲义】 面直线PB与AC所成角的正切值等于 ? A ? B ? C ? P 【例 5】正六棱柱 111111 ABCDEFABC D E F的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的 侧面对角线 1 E D与 1 BC所成的角是（） A90B60C45D30 【例 6】（2008 崇文一模） 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，M是 1 C C的中点，O是底面ABCD的中
3、心， P是 11 AB上的任意点，则直线BM与OP所成的角为_ ? M ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? P ? O ? D ? C ? B ? A 【例 7】如图长方体 1 AC中，12AB ，3BC ， 1 4AA ，N在 11 AB上，且 1 4B N ，求 1 BD于 1 C N所成角的余弦值 ? F ? 1 ? E ? 1 ? F ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A ? E ? N 【例 8】如图所示，正方体 1111 ABCDABC D中， 11 1111 4 AB B ED F， 求 1
4、 BE与 1 DF所成 角的余弦值 【学而思高中数学讲义】 【例 9】（2004 天津， 6） 如图， 在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，O是底面ABCD 的中心，E、F分别是 1 CC、AD的中点，那么异面直线OE和 1 FD所成的角的 余弦值等于（） A 10 5 B 15 5 C 4 5 D 2 3 ? E ? F ? D ? C ? B ? A ? O ? A ? 1 ? D ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 【例 10】长方体 1111 ABCDABC D中， 2 2 BC ， 14 2 CD ， 1 5DD ， 则 1 AC和 11 B D 所成角的大小为
5、? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【例 11】如图， 在正方体 1111 ABCDABC D中，E、F、G、H分别为 1 AA、AB、 1 BB、 1 BC的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（） A45B60 C90D120 ? H ? G ? F ? E ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A 【学而思高中数学讲义】 【例 12】如图，已知不共面的直线a，b，c相交于O点，M，P是直线a上两点， N，Q分别是b，c上两点求证：MN和PQ是异面直线 ? c ? b ? a
6、 ? N ? M ? P ? Q ? O 【例 13】（20102010 年二模年二模宣武宣武理理题题 11） 如图，,AB C D为空间四点，ABC是等腰三角形，且90ACB ，ADB 是等边三角形则AB与CD所成角的大小为 ? D ? C ? B ? A 【例 14】如图，已知空间四边形ABCD的对角线14ACBD，MN，分别是 AB CD，的中点，7 3MN ， 求异面直线AC与BD所成的角 P M N D B C A 【学而思高中数学讲义】 【例 15】如图，在正方体 1111 ABCDABC D中： 求AC与 1 BC所成的角； M，N分别是 11 AB， 1 BB的中点，求异面直线
7、AM和CN所成角的余弦值 ? A ? 1 ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? D ? C ? B ? A ? M ? N 【例 16】如图，在正方体 1111 ABCDABC D中： 求AC与 1 BC所成的角； E，F，G分别是 1 AA，AB， 1 CC的中点求EF与 1 AG所成的角 ? F ? D ? 1 ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? D ? C ? B ? A ? E ? G 【例 17】如图， 在直三棱柱 111 ABCABC中， 1 ABBCAA，90ABC ， 求直线 1 AB 和 1 BC所成的角 【例 18】如图，在直三棱柱 111 A
8、BCABC中，90ABC， 点,D F分别是 11 AC， 11 BC 的中点，若 1 ABBCCC 求AD与CF所成角的余弦值 【学而思高中数学讲义】 ? N ? F ? D ? A ? 1 ? B ? C ? C ? 1 ? B ? 1 ? A 【例 19】（05-浙江-12）设M N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E（如 图） 现将ADE沿DE折起， 使二面角ADEB为45， 此时点A在平面BCDE 内的射影恰为点B，求M、N的连线与AE所成角的正切值 【例 20】Rt ABC的90C ，60A ， 2AC ， 以A的平分线AD为轴对折，AC 边落在AB边上，点C落在AB边上的点E，然后使ACD所在的平面垂直于 ABD所在的平面 求异面直线AD，CE的夹角；求CE的长 【例 21】如图所示， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 从它的12条棱和各面上的12条对 角线共24条中选出m条，命名得其中任何两条直线段所在的直线都是异面直 线，则m的最大值是（） A2B3C4D5 【学而思高中数学讲义】 ? D ? C ? B ? A ? A ? 1 ? D ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1
