1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1基本计数原理 加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有 1 m种不同的方法，在第 二类办法中有 2 m种方法，在第n类办法中有 n m种不同的方法那么完成这件事共有 12n Nmmm种不同的方法又称加法原理 乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有 1 m种不同的方法， 做第二个步骤有 2 m种不同方法，做第n个步骤有 n m种不同的方法那么完成这件事 共有 12n Nmmm种不同的方法又称乘法原理 加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，
2、使用分类 计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事 才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、 组合问题的基本思想方法， 这两个原理十分重要必须认真学好， 并正确地灵活加以应用 2 排列与组合 排列： 一般地， 从n个不同的元素中任取()m mn个元素， 按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n个不同的元素中取出()m mn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的排列数，用符号Am
3、 n 表示 排列数公式：A(1)(2)(1) m n n nnnm，mn N，并且mn 全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列 n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用!n表示规定：0!1 组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m ()mn个元素并成一组，叫做从n个 元素中任取m个元素的一个组合 组合数：从n个不同元素中，任意取出m ()mn个元素的所有组合的个数，叫做从n个 不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cm n 表示 排列组合问题的常见模型 1 【学而思高中数学讲义】 组合数公式： (1)(2)(1)! C !()! m n
4、n nnnmn mm nm ，,m n N，并且mn 组合数的两个性质：性质 1：CC mn m nn ；性质 2： 1 1 CCC mmm nnn （规定 0 C1 n ） 排列组合综合问题 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是 分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做 到分类明确，层次清楚，不重不漏 3排
5、除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元 素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列 5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空 6插板法：n个相同元素，分成()m mn组，每组至少一个的分组问题把n个元 素排成一排，从1n 个空中选1m 个空，各插一个隔板，有 1 1 m n C 7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一 般地平均分成n堆（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等， 必须除以m！ 8错位法：编号为 1 至n的n个
6、小球放入编号为 1 到n的n个盒子里，每个盒子放一个 小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n ，3，4，5 时的错位数各为 1，2，9，44关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法 转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题 1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途 径： 元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； 位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； 间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组 合数 求解时应注意先把具体问题
7、转化或归结为排列或组合问题； 再通过分析确定运用分类计 数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式 子计算作答 2具体的解题策略有： 对特殊元素进行优先安排； 理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； 对于元素相邻的条件， 采取捆绑法； 对于元素间隔排列的问题， 采取插空法或隔板法； 顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； 对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面 对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型 【学而思高中数学讲义】 典例分析 排队问题 【例 1
8、】 三个女生和五个男生排成一排 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ 【例 2】6个人站成一排： 其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？ 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？ 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法？ 其中甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？ 【例 3】 7 名同学排队照相 若分成两排照，前排 3 人，后排 4 人，有多少种不同的排法？ 若排成两排照，前排 3 人，后排 4 人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排， 有多少种不同的排法？ 若排成一排照，甲、乙
9、、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ 若排成一排照，7 人中有 4 名男生，3 名女生，女生不能相邻，有多少种不同 【学而思高中数学讲义】 的排法？ 【例 4】6个队员排成一排， 共有多少种不同的排法？ 若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？ 若甲不能站排头，也不能站排尾，问有多少种不同的排法？ 【例 5】ABCDE五个字母排成一排，若ABC的位置关系必须按 A 在前、B 居中、C 在后 的原则，共有_种排法（用数字作答） 【例 6】 用 1 到 8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 与 2 相邻，3 与 4 相邻， 5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻，这样的八位数共有_个（用数字作
10、答） 【例 7】记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相 邻但不排在两端，不同的排法共有（） A1440种B960种C720种D480种 【学而思高中数学讲义】 【例 8】12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到 前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（） A 22 83 C AB 26 86 C AC 22 86 C AD 22 85 C A 【例 9】 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但 不排在两端，不同的排法共有（） A1440 种B960 种C720 种D480 种
11、 【例 10】在数字123， ，与符号，五个元素的所有全排列中， 任意两个数字都不相邻 的全排列个数是（） A6B12C18D24 【例 11】计划展出 10 幅不同的画， 其中 1 幅水彩、 4 幅油画、 5 幅国画， 排成一列陈列， 要求同一品种的画必须连在一起， 并且水彩画不放在两端， 那么不同的陈列方式有 _种 【例 12】6 人站一排，甲不站在排头，乙不站在排尾，共有_种不同的排法（用 数字作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 13】一条长椅上有 7 个座位，4 人坐，要求 3 个空位中，有 2 个空位相邻，另一个 空位与 2 个相邻位不相邻，共有几种坐法？ 【例 14】3位男生和3
12、位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中 有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A360B288C216D96 【例 15】古代“五行”学说认为： “物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木 克土，土克水，水克火，火克金”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列 中属性相克的两种物质不相邻， 则这样的排列方法有种 （结果用数值表示） 【例 16】在1 2 3 4 5 6 7， ， ， ， ， ，的任一排列 1234567 ， ， ， ， ， ，aaaaaaa中，使相邻两数都 互质的排列方式共有（）种 A288B576C864D1152 【例 17】从集合P QRS，
13、， ，与0 1 2 3 4 5 6 7 8 9， ， ， ， ， ， ， ，中各任取 2 个元素排成 一排 （字母和数字均不能重复） 每排中字母Q和数字0至多只能出现一个的不 【学而思高中数学讲义】 同排法种数是_ （用数字作答） 【例 18】从集合OP QRS， ， ， ，与0 1 2 3 4 5 6 7 8 9， ， ， ， ， ， ， ，中各任取2个元素排 成一排（字母和数字均不能重复） 每排中字母O Q，和数字0至多只能出现一 个的不同排法种数是_ （用数字作答） 【例 19】6个人坐在一排10个座位上，问 空位不相邻的坐法有多少种? 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种? 4个空位至多
14、有2个相邻的坐法有多少种? 【例 20】3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中 有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A360B288C216D96 【例 21】12 名同学合影，站成了前排 4 人后排 8 人，现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整的方法的总数有（） 【学而思高中数学讲义】 A 22 83 C AB 26 86 C AC 22 86 C AD 22 85 C A 【例 22】两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本将 它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是_
15、【例 23】2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃 紧为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电 煤某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成 两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组如果甲所在小组3列列车 先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（） A36种B108种C216种D432种 数字问题 【例 24】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次， 可能组成多少个四位数？可能组成多少个四位奇数？ 可能组成多少个四位偶数？可能组成多少个自然数？ 【例 25】用 0 到 9 这 10 个数字，可组成多
16、少个没有重复数字的四位偶数？ 【学而思高中数学讲义】 【例 26】在 1，3，5，7，9 中任取 3 个数字，在 0，2，4，6，8 中任取两个数字， 可组成多少个不同的五位偶数 【例 27】用1 2 3 4 5， ， ， ，排成一个数字不重复的五位数 12345 aaaaa， ， ， ，满足 12233445 aaaaaaaa，的五位数有多少个？ 【例 28】用0 1 29， ， ，这十个数字组成无重复数字的四位数， 若千位数字与个位数字 之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？ 【例 29】用数字0123456， ， ， ， ， ，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位 和百位上的数
17、字之和为偶数的四位数共有_个（用数学作答） 【学而思高中数学讲义】 【例 30】有4张分别标有数字1 2 3 4， ， ，的红色卡片和4张分别标有数字1 2 3 4， ， ，的蓝 色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标数字之 和等于10，则不同的排法数一共有种 432； 【例 31】有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片 排成3行2列，要求3行中仅有 中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排 法共有（） A1344种B1248种C1056种D960种 【例 32】有4张分别标有数字1 2 3 4， ， ，的红色卡片和4张分别标有数字
18、1 2 3 4， ， ，的蓝 色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标数字之 和等于10，则不同的排法共有_种（用数字作答） 【例 33】用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字） ，要求任何相邻两个数字的 奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是_（用数字作答） 【例 34】用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有 （） A48个B36个 C24个D18个 【学而思高中数学讲义】 【例 35】从1238910， ， ， ， ，这6个数中，取出两个，使其和为偶数，则共可得到 个这样的不同偶数？ 【例 36】
19、求无重复数字的六位数中，能被3整除的数有_个 【例 37】用数字0123456， ， ， ， ， ，组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位 和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个（用数学作答） 【例 38】从0 1 2 3 4 5， ， ， ，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复 数字的四位数的个数为（） A300B216C180D162 【例 39】从0 1 2 3 4 5， ， ， ，这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复 数字的四位数的个数为（） A300B216C180D162 【学而思高中数学讲义】 【例 40】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：
20、能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数 有几个？ 上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？ 中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ 其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？ 【例 41】用0到9这九个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 【例 42】有4张分别标有数字1 2 3 4， ， ，的红色卡片和4张分别标有数字1 2 3 4， ， ，的蓝 色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标数字之 和等于10，则不同的排法共有_种（用数字作答） 【例 43】在由数字1 2 3 4 5， ， ， ，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于
21、23145且 小于43521的数共有（）个 A56个B57个C58个D60个 【学而思高中数学讲义】 【例 44】由 0，1，2，3，4 这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大 的顺序排成一个数列 n a，则 19 a_ A2014B2034C1432D1430 【例 45】从数字 0、1、3、5、7 中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一 元二次方程 2 0axbxc，其中有实数根的有几个？ 【例 46】从321 0 1 2 3 4， ， ， ，中 任 选 三 个 不 同 元 素 作 为 二 次 函 数 2 yaxbxc的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三 象限的抛物线?
