1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1基本计数原理 加法原理 分类计数原理:做一件事,完成它有n类办法,在第一类办法中有 1 m种不同的方法,在第 二类办法中有 2 m种方法,在第n类办法中有 n m种不同的方法那么完成这件事共有 12n Nmmm种不同的方法又称加法原理 乘法原理 分步计数原理:做一件事,完成它需要分成n个子步骤,做第一个步骤有 1 m种不同的方法, 做第二个步骤有 2 m种不同方法,做第n个步骤有 n m种不同的方法那么完成这件事 共有 12n Nmmm种不同的方法又称乘法原理 加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数时,
2、使用分类 计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事 才告完成,那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、 组合问题的基本思想方法, 这两个原理十分重要必须认真学好, 并正确地灵活加以应用 2 排列与组合 排列: 一般地, 从n个不同的元素中任取()m mn个元素, 按照一定的顺序排成一列, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 (其中被取的对象叫做元素) 排列数:从n个不同的元素中取出()m mn个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的排列数,用符号Am
3、 n 表示 排列数公式:A(1)(2)(1) m n n nnnm,mn N,并且mn 全排列:一般地,n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列 n的阶乘:正整数由1到n的连乘积,叫作n的阶乘,用!n表示规定:0!1 组合:一般地,从n个不同元素中,任意取出m ()mn个元素并成一组,叫做从n个 元素中任取m个元素的一个组合 组合数:从n个不同元素中,任意取出m ()mn个元素的所有组合的个数,叫做从n个 不同元素中,任意取出m个元素的组合数,用符号Cm n 表示 加法原理 【学而思高中数学讲义】 组合数公式: (1)(2)(1)! C !()! m n n nnnmn m
4、m nm ,,m n N,并且mn 组合数的两个性质:性质 1:CC mn m nn ;性质 2: 1 1 CCC mmm nnn (规定 0 C1 n ) 排列组合综合问题 解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是 分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法: 1特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; 2分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做 到分类明确,层次清楚,不重不漏 3排除法,从总体中排除
5、不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法 4捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元 素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列 5插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空 6插板法:n个相同元素,分成()m mn组,每组至少一个的分组问题把n个元 素排成一排,从1n 个空中选1m 个空,各插一个隔板,有 1 1 m n C 7分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序)有等分、不等分、部分等分之别一 般地平均分成n堆(组),必须除以n!,如果有m堆(组)元素个数相等, 必须除以m! 8错位法:编号为 1 至n的n个小球放入编号为 1
6、 到n的n个盒子里,每个盒子放一个 小球,要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当2n ,3,4,5 时的错位数各为 1,2,9,44关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算,可以用剔除法 转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题 1排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途 径: 元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; 位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; 间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组 合数 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或
7、组合问题; 再通过分析确定运用分类计 数原理还是分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式 子计算作答 2具体的解题策略有: 对特殊元素进行优先安排; 理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏; 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复; 对于元素相邻的条件, 采取捆绑法; 对于元素间隔排列的问题, 采取插空法或隔板法; 顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理; 对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面 对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型 【学而思高中数学讲义】 典例分析 加法原理 【例 1】 高二年级一班有女生18人,男生38人,从中选取一名学生作代表,参加学校组织 的调查团,问选取代表的方法有几种 【例 2】 若a、b是正整数,且6ab,则以(),ab为坐标的点共有多少个? 【例 3】 用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为() A324B328 C360D648 【例 4】 用数字12345, , , ,组成的无重复数字的四位偶数的个数为() A8B24C48D120 【例 5】 用0 1 2 3 4 5, , , ,这6个数字,可以组成_个大于3000,小于5421的数字不重 复的四位数