1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1基本计数原理 加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有 1 m种不同的方法，在第 二类办法中有 2 m种方法，在第n类办法中有 n m种不同的方法那么完成这件事共有 12n Nmmm种不同的方法又称加法原理 乘法原理 分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个子步骤，做第一个步骤有 1 m种不同的方法， 做第二个步骤有 2 m种不同方法，做第n个步骤有 n m种不同的方法那么完成这件事 共有 12n Nmmm种不同的方法又称乘法原理 加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，
2、使用分类 计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事 才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、 组合问题的基本思想方法， 这两个原理十分重要必须认真学好， 并正确地灵活加以应用 2 排列与组合 排列： 一般地， 从n个不同的元素中任取()m mn个元素， 按照一定的顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 （其中被取的对象叫做元素） 排列数：从n个不同的元素中取出()m mn个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的排列数，用符号Am
3、 n 表示 排列数公式：A(1)(2)(1) m n n nnnm，mn N，并且mn 全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列 n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫作n的阶乘，用!n表示规定：0!1 组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m ()mn个元素并成一组，叫做从n个 元素中任取m个元素的一个组合 组合数：从n个不同元素中，任意取出m ()mn个元素的所有组合的个数，叫做从n个 不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号Cm n 表示 组合数公式： (1)(2)(1)! C !()! m n n nnnmn mm nm ，,m n N，并且mn
4、 排列数组合数的计算与证明 【学而思高中数学讲义】 组合数的两个性质：性质 1：CC mn m nn ；性质 2： 1 1 CCC mmm nnn （规定 0 C1 n ） 排列组合综合问题 解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是 分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法： 1特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； 2分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做 到分类明确，层次清楚，不重不漏 3排除
5、法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 4捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元 素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列 5插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空 6插板法：n个相同元素，分成()m mn组，每组至少一个的分组问题把n个元 素排成一排，从1n 个空中选1m 个空，各插一个隔板，有 1 1 m n C 7分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一 般地平均分成n堆（组），必须除以n！，如果有m堆（组）元素个数相等， 必须除以m！ 8错位法：编号为 1 至n的n个小
6、球放入编号为 1 到n的n个盒子里，每个盒子放一个 小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n ，3，4，5 时的错位数各为 1，2，9，44关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算，可以用剔除法 转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排列的问题 1排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途 径： 元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； 位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置； 间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组 合数 求解时应注意先把具体问题转
7、化或归结为排列或组合问题； 再通过分析确定运用分类计 数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式 子计算作答 2具体的解题策略有： 对特殊元素进行优先安排； 理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏； 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复； 对于元素相邻的条件， 采取捆绑法； 对于元素间隔排列的问题， 采取插空法或隔板法； 顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理； 对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面 对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型 【学而思高中数学讲义】 典例分析 排列数组合数的简单计
8、算 【例 1】 对于满足13n的正整数n， 56 .12nnn（） A 7 12 AnB 7 5 AnC 8 5 AnD 12 5 An 【例 2】计算 3 7 _ 【例 3】 计算 3 10 A， 6 6 A； 【例 4】 计算 2 7 C _， 5 7 C _ 【例 5】 计算 3 10 C， 6 8 C； 【例 6】 计算 3 7 A， 4 10 A， 3 7 C， 48 50 C， 23 1919 CC 【例 7】 已知 43 21 140 nn ，求n的值 【例 8】 解不等式 2 88 6 xx AA 【学而思高中数学讲义】 【例 9】 证明： 9878 9878 A9A8AA 【
9、例 10】解方程 32 2 A100A xx 【例 11】解不等式 2 88 A6A xx 【例 12】解方程： 32 1 11C24C xx 【例 13】解不等式： 1 88 C3C mm 【例 14】设 x表示不超过x的最大整数（如22， 5 1 4 ） ，对于给定的n N，定 义 (1)(1) C (1)(1) x n n nnx x xxx ，1x ，则当 3 3 2 x ，时，函数 8 Cx的值域是 （） 【学而思高中数学讲义】 A 16 , 28 3 B 16 , 56 3 C 28 4, 3 28, 56D 1628 4, 28 33 【例 15】组合数Cr n 1nrnrZ ，
10、 、恒等于（） A 1 1 1 C 1 r n r n B 1 1 11 Cr n nr C 1 1 Cr n nr D 1 1 Cr n n r 【例 16】已知 12 222 C:C:C3:5:5 mmm nnn ，求m、n的值 排列数组合数公式的应用 【例 17】已知 3221 2020212221 CCCCC nnnn ，求 21 Cn的值 【例 18】若 262 2020 CC,() nn n N，则n _ 【例 19】若 11 CCC3 4 5 mmm nnn ，则nm 【学而思高中数学讲义】 【例 20】证明： 1 C(1)CC kkk nnn nkk 【例 21】证明： 1 1
11、 00 11 CC 11 nn ii nn ii in 【例 22】求证： 112 11 AA(1)A mmm nnn m 【例 23】证明： 1 0 2 n kn n k kCn 【例 24】证明： 12301 23() 2 nn nnnnnnn n CCCnCCCC 【例 25】求证： 1 121 CCCCC nnnnn nnnn mn m ； 【学而思高中数学讲义】 【例 26】计算： 23 9999 CC， 0129 45613 CCCC 【例 27】证明： 011220 C CC CC CC CC kkkkk mnmnmnmnn m （其中min，kmn） 【例 28】解方程 122 5333 3 CCC 4 xxx xxxx 【例 29】确定函数 3 Ax的单调区间 【例 30】规定A(1)(1) m x x xxm，其中xR，m为正整数，且 0 A1 x ，这是排 【学而思高中数学讲义】 列数Am n （,nm是正整数，且mn）的一种推广 求 3 15 A的值； 排列数的两个性质： 1 1 AA mm nn n ， 1 1 AAA mmm nnn m （其中,mn是正整 数） 是否都能推广到Am x （xR，m是正整数）的情形?若能推广，写出推广的 形式并给予证明；若不能，则说明理由
