1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 1 离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量 如果在试验中， 试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示， 并且X是随着试验的结 果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量随机变量常用大写字母 ,X Y 表示 如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量 离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X所有可能的取值 i x与该取值对应的概率 i p (1, 2,)in列表表示： X 1 x 2 x i x n x P 1 p 2 p i p n p 我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列 2几类典
2、型的随机分布 两点分布两点分布 如果随机变量X的分布列为 X10 P pq 其中01p，1qp ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率 为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布 X10 P 0.80.2 两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分 布又称为伯努利分布 超几何分布超几何分布 一般地， 设有总数为N件的两类物品， 其中一类有M件， 从所有物品中任取n件()nN， 这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概
3、率为 CC () C mn m MNM n N P Xm (0ml，l为n和M中较小的一个) 我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布， 也称X服从参数为N， 二项分布 【学而思高中数学讲义】 M，n的超几何分布在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P Xm，从而列出X的分布列 二项分布二项分布 1独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同在相同 的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独 立 重 复 试 验 n次 独 立 重 复 试 验 中 ， 事 件A恰 好 发
4、生k次 的 概 率 为 ( )C(1) kkn k nn P kpp (0, 1, 2,)kn 2二项分布 若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp ，那么在n次独立重复 试验中，事件A恰好发生k次的概率是()Ck kn k n P Xkp q ，其中0, 1, 2,kn于 是得到X的分布列 X01kn P 00 C n n p q 111 C n n p q Ck kn k n p q 0 Cn n n p q 由于表中的第二行恰好是二项展开式 001110 ()CCCC nnnkkn knn nnnn qpp qp qp qp q 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从
5、参数为n，p的二项分布， 记作( ,)XB np 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则 ()E Xnp，( )D xnpq(1)qp 正态分布正态分布 1概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变 量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个 数a b，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积 2正态分布 定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素 在总体的变化中都只是起
6、着均匀、 微小的作用， 则表示这样的 随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量 正态变量概率密度曲线的函数表达式为 2 2 () 2 1 ( ) 2 x f xe ， xR，其中，是参数，且0， 式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差期望 为、标准差为的正态分布通常记作 2 ( ,)N 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线 标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布 重要结论： 正态变量在区间(,)，(2,2 )，(3 ,3 )内，取值的概率分 别是68.3%，95.4%，99.7% 【学而思高中数
7、学讲义】 正态变量在() ，内的取值的概率为1， 在区间(33 )，之外的取值的概率 是0.3%， 故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内， 这就是正态分布的3原 则 若 2 ()N ，( )f x为其概率密度函数， 则称( )()( ) x F xPxf t dt 为概率分布 函数，特别的， 2 (0 1 )N ，称 2 2 1 ( ) 2 t x xedt 为标准正态分布函数 ()() x Px 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可 3离散型随机变量的期望与方差 1离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机
8、变量X所有可能的取的值是 1 x， 2 x， n x，这些 值对应的概率是 1 p， 2 p， n p，则 1122 ( ) nn E xx px px p，叫做这个离散型随 机变量X的均值或数学期望（简称期望） 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平 2离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是 1 x， 2 x， n x，这些值对应的 概率是 1 p， 2 p， n p，则 222 1122 ()( )( )( ) nn D XxE xpxE xpxE xp叫 做这个离散型随机变量X的方差 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于
9、期望的平均波动的大小 （离散 程度） ()D X的算术平方根( )D x叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随 机变量波动大小的量 3X为随机变量，a b，为常数，则 2 ()()()()E aXbaE XbD aXba D X，； 4 典型分布的期望与方差： 二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二 点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np 二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则()E Xnp， ( )D xnpq(1)qp 超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为NMn， ，的超几何分布， 则() nM E X N ，
10、 2 ()() () (1) n Nn NM M D X NN 4事件的独立性 如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)( )P B AP B， 这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件 如果事件 1 A， 2 A， n A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发 生的概率的积， 即 1212 ()()()() nn P AAAP AP AP A， 并且上式中任意多个事 件 i A换成其对立事件后等式仍成立 【学而思高中数学讲义】 5条件概率 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概 率， 用符号“(|)P
11、 B A”来表示 把由事件A与B的交 （或积） ， 记做DAB（或DAB） 二项分布的概率计算 【例 1】已知随机变量服从二项分布， 1 (4) 3 B，则(2)P等于 【例 2】甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结 束， 假定甲每局比赛获胜的概率均为 2 3 ， 则甲以3:1的比分获胜的概率为 （） A 8 27 B 64 81 C 4 9 D 8 9 【例 3】某篮球运动员在三分线投球的命中率是 1 2 ，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的 概率 （用数值表示） 【例 4】某人参加一次考试，4道题中解对3道则为及格，已知他的解题正确率为0.4， 则他能及
12、格的概率为_（保留到小数点后两位小数） 【例 5】接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有 5 人接种了该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的概率为 （精确到0.01） 【例 6】从一批由 9 件正品，3 件次品组成的产品中，有放回地抽取 5 次，每次抽一件， 求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2位有效数字） 典例分析 【学而思高中数学讲义】 【例 7】一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000， 有四台这种型 号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有2台机床需要工人照看的概 率是（） A0.1536B0.1808C0.5632D0.9728 【例 8】设在 4 次
13、独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一 次的概率等于 65 81 ，求事件A在一次试验中发生的概率 【例 9】我舰用鱼雷打击来犯的敌舰，至少有2枚鱼雷击中敌舰时，敌舰才被击沉如 果每枚鱼雷的命中率都是0.6，当我舰上的8个鱼雷发射器同是向敌舰各发射l 枚鱼雷后，求敌舰被击沉的概率（结果保留2位有效数字） 【例 10】某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中的任意连续 取出 2 件，求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 11】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学 生的创业方案进行评审假设评审结果为
14、“支持”或“不支持”的概率都是 1 2 若 某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给 予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助求： 该公司的资助总额为零的概率； 该公司的资助总额超过15万元的概率 【例 12】某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买根据以往资 料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一 次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元 求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率； 求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率 【例 13】某万国
15、家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得 奖券一张， 每张奖券中奖的概率为 1 5 ， 若中奖， 则家具城返还顾客现金200元 某 顾客消费了3400元，得到 3 张奖券 求家具城恰好返还该顾客现金200元的概率； 求家具城至少返还该顾客现金200元的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 14】某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株设甲、乙两种大树移 栽的成活率分别为 5 6 和 4 5 ，且各株大树是否成活互不影响求移栽的 4 株大树 中： 至少有 1 株成活的概率； 两种大树各成活 1 株的概率 【例 15】一个口袋中装有n个红球（5n且*nN）和5个白球，一
16、次摸奖从中摸 两个球，两个球颜色不同则为中奖 试用n表示一次摸奖中奖的概率p； 若5n ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率； 记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P当n取多少时，P最 大？ 【例 16】袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率 是 1 3 ，从B中摸出一个红球的概率为p 从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止 求恰好摸 5 次停止的概率； 记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为，求随机变量的分布 若A B，两个袋子中的球数之比为1:2，将A B，中的球装在一起后，从中摸出一 个红球的概率是 2 5
17、，求p的值 【学而思高中数学讲义】 【例 17】设飞机A有两个发动机，飞机B有四个发动机，如有半数或半数以上的发 动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p是t的函 数1 t pe ，其中t为发动机启动后所经历的时间，为正的常数，试讨论飞 机A与飞机B哪一个安全？（这里不考虑其它故障） 【例 18】假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1P，且各发动机互不影 响如果至少50%的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行问对于多大 的P而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？ 【例 19】一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各 个交通岗遇到红灯的事
18、件是相互独立的，并且概率都是 1 3 设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列； 设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列； 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 20】一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且 与正面向上恰为2次的概率相同 令既约分数 i j 为硬币在5次抛掷中有3次正面 向上的概率，求ij 【例 21】某气象站天气预报的准确率为80%， 计算 （结果保留到小数点后面第 2 位） 5 次预报中恰有2次准确的概率； 5次预报中至少有2次准确的概率； 5 次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率； 【例
19、 22】某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18 19 20， ，层可以停靠 若该电梯 在底层载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 1 3 ，求 至少有两位乘客在 20 层下的概率 【例 23】10 个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n次才取得 ()k kn次红球的概率 【学而思高中数学讲义】 【例 24】某车间为保证设备正常工作，要配备适量的维修工设各台设备发生的故 障是相互独立的，且每台设备发生故障的概率都是0.01试求： 若由一个人负责维修 20 台，求设备发生故障而不能及时维修的概率； 若由 3 个人共同负责维修 80 台设备，求设备发生故障而
20、不能及时维修的概率， 并进行比较说明哪种效率高 【例 25】A B，是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验每个试验 组由 4 只小白鼠组成，其中 2 只服用 A，另 2 只服用 B，然后观察疗效若在 一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验 组为甲类组 设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 2 3 ， 服用 B 有效的概率为 1 2 观 察 3 个试验组，求至少有 1 个甲类组的概率 （结果保留四位有效数字） 【例 26】已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受 影响，求投篮 3 次甲胜乙的概率 （保留两位有效数字） 【
21、学而思高中数学讲义】 【例 27】若 甲 、 乙 投 篮 的 命 中 率 都 是0.5p ， 求 投 篮n次 甲 胜 乙 的 概 率 （1nnN， ） 【例 28】省工商局于某年 3 月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结 果显示，某种刚进入市场的x饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会， 选用6瓶x饮料，并限定每人喝2瓶，求： 甲喝2瓶合格的x饮料的概率； 甲，乙，丙3人中只有1人喝2瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01） 【例 29】在一次考试中出了六道是非题，正确的记“”号，不正确的记“”号若某 考生随手记上六个符号，试求：全部是正确的概率； 正确解答不少于 4 道的概
22、率； 至少答对2道题的概率 【例 30】某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛， 校队的实力比系队强， 当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6 现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：双方各出3人；双方各 出5人；双方各出7人三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利问： 对系队来说，哪一种方案最有利？ 【学而思高中数学讲义】 二项分布的期望与方差 【例 31】已知(10 0.8)XB，求()E X与()D X 【例 32】已知()XB np，()8E X ，()1.6D X ，则n与p的值分别为（） A10和0.8B20和0.4 C10和0.2D100和0.
23、8 【例 33】已知随机变量X服从参数为6 0.4，的二项分布，则它的期望()E X ， 方差()D X 【例 34】已知随机变量X服从二项分布，且( )2.4E，( )1.44D，则二项分布的 参数n，p的值分别为， 【例 35】一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后 放回，取4次，则取到新球的个数的期望值是 【例 36】同时抛掷4枚均匀硬币80次， 设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向 上的次数为，则的数学期望是（） A20B25 C30D40 【例 37】某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每 个服务对象一天中需要服务的可能性是
24、p，则该部门一天中平均需要服务的对 象个数是（） A(1)nppBnp CnD(1)pp 【例 38】一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其 中含红球个数的数学期望是_ （用数字作答） 【例 39】同时抛掷4枚均匀硬币80次， 设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向 【学而思高中数学讲义】 上的次数为，则的数学期望是（） A20B25 C30D40 【例 40】某批数量较大的商品的次品率是5%，从中任意地连续取出10件，X为所 含次品的个数，求()E X 【例 41】甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是 121 352 ， ， 现 3 人各投篮 1 次，求 3
25、人都没有投进的概率； 用表示乙投篮 3 次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望 【例 42】抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功 求一次试验中成功的概率； 求在4次试验中成功次数X的分布列及X的数学期望与方差 【例 43】某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指 定时间来领取假设任一客户去领奖的概率为4%问：寻呼台能否向每一位 顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少 礼品？ 【学而思高中数学讲义】 【例 44】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业 能力，每名下岗人员可以选择参加一
26、项培训、参加两项培训或不参加培训，已 知参加过财会培训的有%60，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训 项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响 任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； 任选 3 名下岗人员，记为 3 人中参加过培训的人数，求的分布和期望 【例 45】设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的 概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品 也是相互独立的记表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中 的一种的人数，求的分布及期望 【例 46】某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（mn）
27、个人过生日的天 数为X，求X的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值 【例 47】购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在 购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金假定在一年度内有 10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一 年度内至少支付赔偿金10000元的概率为 4 10 10.999 求一投保人在一年度内出险的概率p； 设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000元， 为保证盈利的期望 不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元） 【学而思高中数学讲义】 【例 48】某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进
28、行安全检查 （简称安检） 若安检不 合格，则必须进行整改若整改后复查仍不合格，则强行关闭设每家煤矿安 检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后 安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01） 恰好有两家煤矿必须整改的概率； 平均有多少家煤矿必须整改； 至少关闭一家煤矿的概率 【例 49】设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工 作若一周 5 个工作日里均无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障可获利 润 5 万元，只发生两次故障可获利润 0 万元，发生三次或三次以上故障就要亏 损 2 万元求一周内期望利润是多少？（精确到0.001）
29、 【例 50】在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中，武警官兵准备用射击的方 法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐已知只有5发子弹，第一次 命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆每次射击是相互独立的，且命中 的概率都是 2 3 【学而思高中数学讲义】 求油罐被引爆的概率； 如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求的分布列及E 【例 51】某商场准备在国庆节期间举行促销活动， 根据市场调查， 该商场决定从2种 服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动 试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率； 商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售， 即在该商品现
30、价的基础上将价 格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则 每次中奖都获得数额为m的奖金假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 1 2 ， 请问：商场应将每次中奖奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有 利? 【例 52】将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由 下落 小球在下落的过程中， 将3次遇到黑色障碍物， 最后落入A袋或B袋中 已 知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概 率都是 1 2 求小球落入A袋中的概率( )P A； 在容器入口处依次放入4个小球，记为落入A袋中 的小球个数，试求3的概率和的数学期望 【例 5
31、3】一个袋中有大小相同的标有 1，2，3，4，5，6 的 6 个小球，某人做如下游 【学而思高中数学讲义】 戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回） ，记下标号若拿出球的标号是 3 的倍 数，则得 1 分，否则得1分 求拿 4 次至少得 2 分的概率； 求拿 4 次所得分数的分布列和数学期望 【例 54】某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数 12345 Aa a a a a， 其中A的各位数中， 1 1a ，(2 3 4 5) k a k ， ， ，出现0的概率为 1 3 ，出现1的概率 为 2 3 记 12345 aaaaa，当程序运行一次时， 求3的概率； 求的概率分布和期望 【例 55】某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独 立的，遇到红灯的概率都是 1 3 ，遇到红灯时停留的时间都是 2 min 求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率； 求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望
