1、【学而思高中数学讲义】 知识内容 一随机抽样 1随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方 法： 简单随机抽样：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽 取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样 抽出办法：抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法 随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张 数表表中每一位置出现各个数字的可能性相同 随机数表法是对样本进行编号后， 按照一定的规律从随机数表中读数， 并取出相应的样本的 方法 简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法 系统抽样：将总
2、体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个 个体，得到所需要的样本的抽样方法 抽出办法：从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本，如果总体容量能被样本容量整 除，设 N k n ，先对总体进行编号，号码从1到N，再从数字1到k中随机抽取一个数s作 为起始数，然后顺次抽取第2(1)sksksnk， ，个数，这样就得到容量为n的样 本如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样 方法进行抽样 系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样 分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使 总体中各个
3、个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按 层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样 分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法， 应用广泛 2简单随机抽样必须具备下列特点： 简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限的 简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N 简单随机样本是从总体中逐个抽取的 简单随机抽样是一种不放回的抽样 简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为 n N 3系统抽样时，当总体个数N恰好是样本容量n的整数倍时，取 N k n ； 若 N n 不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余
4、的个体数能被样本容 板块一.随机抽样 【学而思高中数学讲义】 量n整除因为每个个体被剔除的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍 然相等，为 N n 二频率直方图 列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤： 计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差； 决定组距与组数：取组距，用 极差 组距 决定组数； 决定分点：决定起点，进行分组； 列频率分布直方图：对落入各小组的数据累计，算出各小数的频数，除以样本容量，得 到各小组的频率 绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以 频率 组距 的值为纵坐标绘制直方图， 知小长方形的面积组距 频率 组距 频率 频率分布折线图： 将频
5、率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来， 就得到频率分 布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义 总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布 直方图可以用一条光滑曲线( )yf x来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线总体密度 曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律 三茎叶图 制作茎叶图的步骤： 将数据分为“茎”、“叶”两部分； 将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线； 将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处同行列出 四统计数据的数字特征 用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计
6、总体标准差 数据的离散程序可以用极差、方差或标准差来描述 极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度； 样本方差描述了一组数据平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根 一般地，设样本的元素为 12n xxx， ， ，样本的平均数为x， 定义样本方差为 222 212 ()()() n xxxxxx s n ， 样本标准差 222 12 ()()() n xxxxxx s n 简化公式： 22222 12 1 () n sxxxnx n 五独立性检验 1两个变量之间的关系； 常见的有两类：一类是确定性的函数关系；另一类是变量间存在关系，但又不具备函数关系 所要求
7、的确定性，它们的关系是带有一定随机性的当一个变量取值一定时，另一个变量的 取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 2散点图：将样本中的n个数据点()(1 2) ii xyin， ， ，描在平面直角坐标系中，就得到 【学而思高中数学讲义】 了散点图 散点图形象地反映了各个数据的密切程度， 根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两个 变量的关系 3如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；此时， 散点图中的点在从左下角到右上角的区域 反之，一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关此时，散点 图中的点在从左上角到右下角的区域 散点图可以
8、判断两个变量之间有没有相关关系 4统计假设：如果事件A与B独立，这时应该有()( ) ( )P ABP A P B，用字母 0 H表示此式， 即 0: ()( ) ( )HP ABP A P B，称之为统计假设 5 2 （读作“卡方”）统计量： 统计学中有一个非常有用的统计量，它的表达式为 2 211221221 1212 ()n n nn n n n n n ，用它的大小可以 用来决定是否拒绝原来的统计假设 0 H如果 2 的值较大，就拒绝 0 H，即认为A与B是有 关的 2 统计量的两个临界值：3.841、6.635；当 2 3.841时，有95%的把握说事件A与B有 关；当 2 6.63
9、5时，有99%的把握说事件A与B有关；当 2 3.841时，认为事件A与B 是无关的 独立性检验的基本思想与反证法类似， 由结论不成立时推出有利于结论成立的小概率事件发 生，而小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，所以认为结论在很大程度上是成立的 1独立性检验的步骤：统计假设： 0 H；列出22联表；计算 2 统计量；查对临界值表， 作出判断 2几个临界值： 222 ()0.10(3.841)0.05(6.635)0.01PPP2.706， 22联表的独立性检验： 如果对于某个群体有两种状态，对于每种状态又有两个情况，这样排成一张22的表，如 下： 状态B 状态B 合计 状态A 11 n 1
10、2 n 1 n 状态A 21 n 22 n 2 n 1 n 2 nn 如果有调查得来的四个数据 11122122 nnnn， 并希望根据这样的4个数据来检验上述的两种 状态A与B是否有关，就称之为22联表的独立性检验 六回归分析 1回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分 析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性 回归直线： 如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近， 就称这两个变量之间具有线性 相关关系，这条直线叫做回归直线 2最小二乘法： 记回归直线方程为： y abx，称为变量Y对变量x的回归直线方程，其中a b，叫做回归 系数 y 是为了区分
11、Y的实际值y，当x取值 i x时，变量Y的相应观察值为 i y，而直线上对应于 i x 【学而思高中数学讲义】 的纵坐标是i i yabx 设x Y，的一组观察值为() ii xy，1 2in， ， ，且回归直线方程为 y abx， 当x取值 i x时，Y的相应观察值为 i y，差 ( 1 2) ii yy in， ， ，刻画了实际观察值 i y与回归 直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度，称这些值为离差 我们希望这n个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点 记 2 1 () n ii i Qyabx ，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那条 这种使“离差平方和为最小”的方法
12、，叫做最小二乘法 用最小二乘法求回归系数a b，有如下的公式： 1 22 1 n ii i n i i x ynxy b xnx ， a ybx，其中a b，上方加“”，表示是由观察值按最小二乘法求得的 回归系数 3线性回归模型：将用于估计y值的线性函数abx作为确定性函数；y的实际值与估计 值之间的误差记为，称之为随机误差；将yabx称为线性回归模型 产生随机误差的主要原因有： 所用的确定性函数不恰当即模型近似引起的误差； 忽略了某些因素的影响，通常这些影响都比较小； 由于测量工具等原因，存在观测误差 4线性回归系数的最佳估计值： 利用最小二乘法可以得到 a b，的计算公式为 11 222
13、11 ()() ()( ) nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy b xxxn x ， a ybx，其中 1 1 n i i xx n ， 1 1 n i i yy n 由此得到的直线yabx 就称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程其中 a ，b 分 别为a，b的估计值， a 称为回归截距，b 称为回归系数， y 称为回归值 5相关系数： 11 222222 1111 ()() ()()( ) )( ) ) nn iiii ii nnnn iiii iiii xxyyx ynxy r xxyyxn xyn y 6相关系数r的性质： |1r ； |r越接近于 1，xy
14、，的线性相关程度越强； |r越接近于 0，xy，的线性相关程度越弱 可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关 7转化思想： 根据专业知识或散点图，对某些特殊的非线性关系，选择适当的变量代换，把非线性方程转 化为线性回归方程，从而确定未知参数 8一些备案 回归 （regression） 一词的来历： “回归”这个词英国统计学家 Francils Galton 提出来的 1889 年，他在研究祖先与后代的身高之间的关系时发现，身材较高的父母，他们的孩子也较高， 但这些孩子的平均身高并没有他们父母的平均身高高； 身材较矮的父母， 他们的孩子也较矮， 【学而思高中数学讲义】 但这
15、些孩子的平均身高却比他们父母的平均身高高 Galton 把这种后代的身高向中间值靠近 的趋势称为“回归现象”后来，人们把由一个变量的变化去推测另一个变量的变化的方法称 为回归分析 回归系数的推导过程： 22222 ()222 iiiiiiii Qyabxyaynabx yabxbx 2222 2 ()2 iiiiii naa bxybxbx yy ， 把上式看成a的二次函数， 2 a的系数0n ， 因此当 2() 2 iiii bxyybx a nn 时取最小值 同理， 把Q的展开式按b的降幂排列， 看成b的二次函数， 当 2 iii i x yax b x 时取最小值 解得： 1 2 22
16、1 ()() () n ii ii i n i i i x ynxy xxyy b xx xnx ，aybx， 其中 1 i yy n ， 1 i xx n 是样本平均数 9 对相关系数r进行相关性检验的步骤： 提出统计假设 0 H：变量xy，不具有线性相关关系； 如果以95%的把握作出推断，那么可以根据10.950.05与2n （n是样本容量）在相 关性检验的临界值表中查出一个r的临界值 0.05 r（其中10.950.05称为检验水平） ； 计算样本相关系数r； 作出统计推断：若 0.05 |rr，则否定 0 H，表明有95%的把握认为变量y与x之间具有线 性相关关系；若 0.05 |rr
17、，则没有理由拒绝 0 H，即就目前数据而言，没有充分理由认为变 量y与x之间具有线性相关关系 说明： 对相关系数r进行显著性检验，一般取检验水平0.05，即可靠程度为95% 这里的r指的是线性相关系数，r的绝对值很小，只是说明线性相关程度低，不一定不相 关，可能是非线性相关的某种关系 这里的r是对抽样数据而言的有时即使| 1r ，两者也不一定是线性相关的故在统计 分析时，不能就数据论数据，要结合实际情况进行合理解释 题型一 系统抽样 【例 1】已知某商场新进 3000 袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样 的方法从中抽取 150 袋检查，若第一组抽出的号码是 11，则第六十一组抽出
18、的 号码为 【例 2】某校高三年级 195 名学生已编号为 1，2，3，195，为了解高三学生的饮食情 况，要按1 5的比例抽取一个样本，若采用系统抽样方法进行抽取，其中抽取 3 名学生的编号可能是（） A3，24，33B31，47，147C133，153，193D102， 典例分析 【学而思高中数学讲义】 132，159 【例 3】从编号为1 50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射 实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹 的编号可能是（） A 5 10 15 20 25， ， ， ，B 3 13 23 33 43， ， ， ， C 1 2
19、3 4 5， ， ， ， D2 4 6 16 32， ， ， ， 【例 4】有40件产品，编号从1至40，现在从中抽取4件检验，用系统抽样法所抽的编 号可能为（） A5 10 15 20， ， ，B2 12 22 32， ， ， C2 14 26 38， ， ，D5 8 31 36， ， ， 【例 5】采用系统抽样法，从121人中抽取一个容量为12人的样本，写出抽样的步骤， 并求每人被抽取的机率 【例 6】用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生随机地 从 1160 编号，按编号顺序平均分成 20 组（18号，9 16号，153160 号） ，若第 16
20、组抽出的号码为 126，则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是 _ 【例 7】某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为 n的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本 容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则样本容 量为_ 【例 8】一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，99，依编号顺序平均分成 10个小组，组号依次为1，2，3，10现用系统抽样方法抽取一个容量 为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的 号码个位数字与mk的个位数字相同，若6m ，则在第7组中抽取的号码 【学而思
21、高中数学讲义】 是 题型二 分层抽样 【例 9】（2010 朝阳二模） 某校共有学生 2000 名，各年级男、女学生人数如下表，已知在全校学生中随机抽 取 1 名，抽到二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校学生中抽取 64 人，则应在三年级抽取的学生人数为（） 一年级二年级三年级 女生385 a b 男生375360 c A24B18C16D12 【例 10】（2010 湖北高考） 将参加夏令营的 600 名学生编号为：001，002， ，600采用系统抽样疗法抽取一个容量 为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300 在第
22、 1 营区，从 301 到 495 在第营区，从 496 到 600 在第营区三个营区被抽中的 人数依次为 A26，16，8B25，17，8C25，16，9D24，17， 9 【例 11】某城市有学校500所，其中大学10所，中学200所现在取50所学校作为 一个样本进行一项调查，用分层抽样进行抽样，应该选取大学_所 【例 12】某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别 有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全 检测若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数 之和是（） A4B5C6D7 【例 13】(北京市西城区
23、 2009 年 4 月高三一模抽样测试) 某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人. 为了调查他们的身体情况， 用分层抽样的方法从他们中抽取了n个人进行体检，其中有6名老年人，那么 n . 【例 14】某中学高中部有三个年级，其中高一有学生400人，采用分层抽样抽取一 【学而思高中数学讲义】 个容量为45的样本，高二年级抽取15人，高三年级抽取10人，问高中部共有 多少学生？ 【例 15】某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容 量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数 是 【例 16】（2009 天津文） 为了了解某市工厂开展
24、群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从， ，ABC 三个区中抽取7个工厂进行调查 已知， ，ABC区中分别有182718，个工厂 求 从， ，ABC区中应分别抽取的工厂个数； 【例 17】某校高三年级一共有900个学生，其中女生400人为了解该年级学生的 健康情况，使用分层抽样法进行抽样调查已知从男生中任意抽取了25人，则 需要从女生中任意抽取_人进行调查 【例 18】某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2 3 5. 现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本， 样本中A种型号产品有16件.那么 此样本的容量n . 【例 19】某校有500名学生，A型血的有125人，B型
25、血的有125人，AB型血的有50 人，为了研究血型与色弱的关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样， O型血应抽取的人数为_人 【例 20】某校1000名学生中，O型血有400人，A型血有250人，B 型血有250人， AB型血有100人，为了研究血型与性格的关系，按照分层抽样的方法从中抽取 样本 如果从A型血中抽取了10人，则从AB型血中应当抽取的人数 为 【例 21】某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15:3:2为了 了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样 本中业务人员人数为30，则此样本的容量n为（） A20B30 C40D80 【学而
26、思高中数学讲义】 【例 22】某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品， 产品数量之比依次为2 3 5 现 用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本， 样本中A种型号产品有 16 件 那么 此样本的容量n 【例 23】（2009 湖南） 一个总体分为，A B两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样方法从总体中抽取 一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为 1 28 ，则总体中的 个体数为 【例 24】（05 年湖南）某工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙三条 生产线为检查产品的质量，决定采用分层抽样法进行抽样已知甲、乙、丙 三条生产线抽取的个数成等差数列，则乙生产了_件产品
27、 【例 25】某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容 量为n的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果 样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则样 本容量为_ 【例 26】（2009 广东 12） 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统 抽样法，将全体职工随机按1 200编号，并按编号顺序平均分为40组（1 5号， 6 10号，196 200号） 若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应 是若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取_人 【例 27】（北京市朝阳区 2009
28、年 4 月高三一模理） 从6名女生，4名男生中， 按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组， 则不同的抽取方法种数为 A 32 64 CCB 23 64 CCC 5 10 CD 32 64 AA 【学而思高中数学讲义】 【例 28】（2008 广东 19） 某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 初一年级初二年级初三年级 女生373x y 男生377370z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19 求x的值； 现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ 已知245y，245z，求初三年级中女生比男生多的概率 【例 29】
29、（2009 山东文） 一汽车厂生产， ，A B C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的 产量如下表（单位：辆） ： 轿车A轿车B轿车C 舒适型100150z 标准型300450600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆 求z的值 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本 将该样本看成一个总 体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率； 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4， 8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中 任取一个数，求该数与样本平
30、均数之差的绝对值不超过0.5的概率 【学而思高中数学讲义】 题型三 抽样方法选择及其他 【例 30】（04 湖南）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180 个、150个销售点，公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取 一个容量为100的样本，记这项调查为；在丙地区中有20个特大型销售点， 要从中抽取7个调查其销售收入和销后服务等情况，记这项调查为则完成 、这两项调查采用的抽样方法依次是_ 【例 31】 某社区有400户家庭，其中高收入家庭25户，中收入家庭280户，低收 入家庭95户，为了了解社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的 样本； 从10
31、名职工中抽取3名参加座谈会； 一个年级有10个班，每个班有50名同学，随机编为1至50号，为了了解他 们的学习情况，要求每个班的30号同学留下来进行问卷调查 以上问题各对应哪种随机抽样方法？ 【例 32】下列抽样问题中最适合用系统抽样方法抽样的是（） A从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动 B 一个城市有210家百货商店， 其中大型商店20家， 中型商店40家， 小型商店150 家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本 C从参加模拟考试的1200名考生中随机抽取100人分析试题作答情况 D从参加模拟考试的1200名考生中随机抽取10人了解某些情况 【例 33】某学校有
32、职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员 21人为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本以下的抽 样方法中，依简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序的是 方法1：将140人从1140编号，然后制作出有编号1140的140个形状、大小 相同的号签， 并将号签放入同一箱子里进行均匀搅拌， 然后从中抽取20 个号签，编号与签号相同的20个人被选出 方法2：将140人分成20组，每组7人，并将每组7人按1 7编号，在第一组 采用抽签法抽出k号(17)k，则其余各组k号也被抽到，20个人被 选出 方法3：按20:1401:7的比例，从教师中抽取13人，从教辅行政人员中抽取
33、4 人，从总务后勤人员中抽取3人，从各类人员中抽取所需人员时，均采 用随机数表法，可抽到20个人 A方法2，方法1，方法3B方法2，方法3，方法1 C方法1，方法2，方法3D方法3，方法1，方法2 【学而思高中数学讲义】 【例 34】某工厂有工人1021人，其中高级工程师20人，现抽取普通工人40人，高 级工程师4人组成代表队参加某项活动，怎样抽取较好？ 【例 35】现有以下两项调查：某装订厂平均每小时大约装订图书361册，要求检 验员每小时抽取40册图书，检查其装订质量状况；某市有大型、中型与小型 的商店共1500家， 三者数量之比为1:5:9 为了调查全市商店每日零售额情况， 抽取其中15
34、家进行调查 完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是（） A简单随机抽样法，分层抽样法B分层抽样法，简单随机抽样法 C分层抽样法，系统抽样法D系统抽样法，分层抽样法 【例 36】某校有40个班，每班有50人，每班选派3人参加“学代会” ，在这个问题 中样本容量是（） A40B50C120D150 【例 37】为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况， 从中抽取100名运动员； 就这个问题，下列说法中正确的有（）个 2000名运动员是总体； 每个运动员是个体； 所抽取的100名运动员是一个样本； 样本容量为100； 这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样； 每个运动员被抽到的概率相等 A1B2C3D4 【例 38】（2008 湖南 12） 从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示： 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_人 【例 39】一个总体含有 100 个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量 为 5 的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为. 男女 能178278 不能2321 性 别 人 数 生活能否自理 【学而思高中数学讲义】
