1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 【例 1】a，b，c是三角形的三边，0m .求证： abc ambmcm ； 【例 2】已知abc，求证 111 abbcac . 【例 3】已知abc，求证： 114 abbcac 不等式的证明 【学而思高中数学讲义】 【例 4】已知0a ，0b ，且1ab求证： 1125 4 ab ab 【例 5】若abc R、 、，且1abc，求证： 111 1118 abc 【例 6】设, ,a b c R，求证： 11 ()()4abc abc 【例 7】已知, ,a b c R，求证： 222 abc abc bca 【学而思高中数学讲义】 【例 8】已知, ,x
2、 y z R，且1xyz，求证：3xyz 【例 9】若半径为1的圆内接ABC的面积是 1 4 ，三边长分别为， ，a b c，求证： 1abc ； 111 abc abc 【例 10】已知abc、 、是互不相等的正数， 求证： 222222 ()()()6a bcb acc ababc 【例 11】已知, ,a b c是一个三角形的三边之长， 求证：(1)(1)(1)8 abcabcabc bcacababc 【学而思高中数学讲义】 【例 12】若abc R、 、，且1abc，求证： 111 1118 abc 【例 13】已知, ,a b cR，求证： 222 abcabbcca 若0a ，0
3、b ，且1ab，求证： 11 4 ab 【例 14】设x，y，z均为正数，求证： 222222 xxyyyyzzzzxx. 【学而思高中数学讲义】 【例 15】已知a，b，c均为正数， 求证： 222222 2abbccaabc. 【例 16】已知锐角ABC的三边长分别为a，b，c，且a边上的高为h，求证： 22 4bcah 【例 17】设a、b、c是 正 实 数 ， 且 满 足1abc ， 证 明 ： 111 1111abc bca 【学而思高中数学讲义】 【例 18】证明下列不等式： 若,xyzR，,abc R（ R为正实数） ，则 222 2() bccaab xyzxyyzzx abc
4、 若x，y，z R（ R为 正 实 数 ）， 且xyzxyz， 则 2 111 2 yzzxxy xyzxyz 【例 19】设0ab，求证： 22 111 222 11 log ()log (1)log (1) 22 abab 【学而思高中数学讲义】 【例 20】已知正数, ,a b c满足1abc，证明： 222 333 3 abc abc 【例 21】设0(12) i xin， ，且 12 1 n xxx，nN，n2 求证 1212131311232311 1 ()()()()() 4 nnnnnn x x xxx x xxx xxxx x xxxxxx 【学而思高中数学讲义】 【例 22】证明柯西不等式： 2 1 122nn a ba ba b 222222 1212nn aaabbb,1,2 ii abR in 等号当且仅当 12 0 n aaa或 ii bka时成立（k为常数，1,2in） 【例 23】设 2 0f xaxbxc a，若(0)1f，(1)f1，( 1)1f ， 试证明：对于任意11x ，有 5 4 f x
