1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 题型一：正比例、反比例和一次函数型 【例 1】某商人将彩电先按原价提高 40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多 赚 144 元，那么每台彩电原价是元. 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】 1200 【例 2】某商品降价 10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是. 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】 100 % 9 【例 3】某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况， 进行了连续 5 年的观测，并
2、将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给 的信息进行预测： （1）如果不采取任何措施，那么到 2010 年底，该地区的沙 漠面积将大约变为多少万公顷； （2）如果从 2000 年底后采取植树造林等措施， 每年改造 0.6 万公顷沙漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到 90 万公 顷？ 观测时间1996年 底 1997年 底 1998年 底 1999年 底 2000年底 该地区沙漠比原有面积增 加数（万公顷） 0.20000.40000.60010.79991.0001 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】（1） 由表观察知， 沙漠面积增加
3、数 y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为一次 板块三.函数的零点 【学而思高中数学讲义】 函数ykxb的图象。 将 x=1，y=0.2 与 x=2，y=0.4，代入 y=kx+b， 求得 k=0.2，b=0， 所以 y=0.2x（xN） 。 因为原有沙漠面积为 95 万公顷，则到 2010 年底沙漠面积大约为 95+0.515=98（万公顷） 。 （2）设从 1996 年算起，第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷，由题意 得 95+0.2x0.6(x5)=90， 解得 x=20（年） 。 故到 2015 年年底，该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。 点评：初中我们学习过的正比
4、例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们 要牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好。 【答案】 （1）98（万公顷） （2）2015 年年底，该地区沙漠面积减少到 90 万公顷 【例 4】已知函数 f x在 R 上有定义，对任何实数0a 和任何实数x，都有 f axaf x （）证明 00f； （）证明 ,0 ,0 kx x f x hx x 其中k和h均为常数； 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】2006 年，安徽理，高考 【解析】（）令0 x ，则 00faf，0a ， 00f。 （）令xa，0a ，0 x ，则 2
5、 f xxf x。 假设0 x 时，( )f xkx()kR，则 22 f xkx，而 2 xf xx kxkx， 2 f xxf x，即( )f xkx成立。 令xa ，0a ，0 x ， 2 fxxf x 假设0 x 时，( )f xhx()hR，则 22 fxhx ，而 2 xf xx hxhx ， 2 fxxf x ，即( )f xhx成立。 ,0 ,0 kx x f x hx x 成立。 点评：该题应用了正比例函数的数字特征，从而使问题得到简化。而不是一味 的向函数求值方面靠拢。 【答案】 （）令0 x ，则 00faf，0a ， 00f。 （）令xa，0a ，0 x ，则 2 f
6、xxf x。 【学而思高中数学讲义】 假设0 x 时，( )f xkx()kR，则 22 f xkx，而 2 xf xx kxkx， 2 f xxf x，即( )f xkx成立。 令xa ，0a ，0 x ， 2 fxxf x 假设0 x 时，( )f xhx()hR，则 22 fxhx ， 而 2 xf xx hxhx ， 2 fxxf x ，即( )f xhx成立。 ,0 ,0 kx x f x hx x 成立。 【例 5】某市的一家报刊摊点，从报社买进晚报的价格是每份 0.20 元，卖出价是每 份 0.30 元，卖不掉的报纸可以以每份 0.05 元价格退回报社在一个月（以 30 天计）里
7、，有 20 天每天可卖出 400 份，其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每 天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月 所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？ 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】设摊主每天从报社买进 x 份，显然当 x250，400时，每月所获利润才能最 大于是每月所获利润 y 为 200.3100.3250100.05250300.20.5625yxxxx，x250， 400 因函数 y 在250，400上为增函数，故当 x = 400 时，y 有最大值 825 元. 【答案】当 x
8、 = 400 时，y 有最大值 825 元 【例 6】某地区上年度电价为 0.8 元/kWh，年用电荷量为 a kWh，本年度计划将电价降 到 0.55 元/ kWh 至 0.75 元/ kWh 之间， 而用户期望电价为 0.4 元/ kWh.经测算， 下调电价后新增的用电荷量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数 为 k).该地区电力的成本价为 0.3 元/ kWh. (1)写出本年度电价下调后，电力部门的受益 y 与实际电价 x 的函数关系式； (2)设 k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增 长 20% (注：受益实际用电量(实际电价成本价)？ 【考点
9、】正比例、反比例和一次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】(1)0.550.75x， 下调电价后新增的用电荷量为 0.4 k x 本年度用电荷量为 0.4 k a x 【学而思高中数学讲义】 受益实际用电量(实际电价成本价)，()(0.3) 0.4 k yax x (2)0.2ka， 0.2 ()(0.3)()(0.3) 0.40.4 ka yaxax xx 上年受益(0.80.3)a， 0.2 ()(0.3)(0.80.3) (120%) 0.4 a yaxa x 解得0.6x 0.55,0.75 即最低电价应定为0.6元/kW h. 答：关系式为()(0.3) 0.4
10、 k yax x ，最低电价为0.6元/kW h. 【答案】 （1）()(0.3) 0.4 k yax x ， （2）最低电价为0.6元/kW h. 【例 7】我国从 1990 年至 2000 年间，国内生产总值（GDP） （单位：亿元）如下表所 示： 年份19901991199219931994199519961997199819992000 生产总值 18598.421662.526651.934560.54667057494.966850.573142.776967.180422.8 89404 根据表中数据，建立能基本反映这一时期国内生产总值变化的函数模型，并利 用所建立的函数模型，预
11、测 2010 年我国的国内生产总值. 【考点】正比例、反比例和一次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】由表中数据作出散点图，如右图所示. 根据散点图，可以看出大致分布在一条直线附近. 选择 1990 年、2000 年的数 据代入yaxb，得 18598.41990 894042000 ab ab ，解得 7080.56 -14071716 a b . 所以，近似的函数模型为7080.5614071716yx. 当 x=2010 时，y=160209.6， 即预测 2010 年我国的国内生产总值为 160209.6 亿元. 点评点评：根据收集到的数据，作散点图，通过观察图象
12、的特征，选用适合的函数 模型，也可以利用计算器或计算机的数据拟合功能，作出具体的函数解析式， 再通过所得到的函数模型解决相应的问题. 本题由两点近似求得直线，如果由 以后的线性回归知识求解，所得模型则更接近实际情况. 【答案】预测 2010 年我国的国内生产总值为 160209.6 亿元 【学而思高中数学讲义】 题型二：二次函数型 【例 8】一辆中型客车的营运总利润 y（单位：万元）与营运年数 x（xN）的变化关 系如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大。 （A）4（B）5（C）6（D）7 x 年468 cbxaxy 2 （万元） 7117 【考点】二次函数型【难度】 3 星
13、【题型】解答 【关键词】无 【解析】表中已给出了二次函数模型 cbxaxy 2 ， 由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7） ， （6，11） ， （8，7） ，则 .887 ,6611 ,447 2 2 2 cba cba cba 。 解得 a=1，b=12，c=-25， 即 2512 2 xxy 。 又 25 12 y x xx 25 12x x 10122 而取“=”的条件为 25 x x ， 即 x=5，故选（B） 。 点评： 一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型， 解决此类问题要充分利 用二次函数的结论和性质，解决好实际问题。 【答案】B 【例 9】行驶中的汽车，在刹
14、车后由于惯性的作用，要继续向前滑行一段距离后才会停 下，这段距离叫刹车距离。为测定某种型号汽车的刹车性能，对这种型号的汽 车在国道公路上进行测试，测试所得数据如下表。在一次由这种型号的汽车发 生的交通事故中，测得刹车距离为 15.13m，问汽车在刹车时的速度是多少？ 刹车时车速 v/km/h153040506080 刹车距离 s/m1.237.3012.218.4025.8044.40 【学而思高中数学讲义】 【考点】二次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】所求问题就变为根据上表数据，建立描述 v 与 s 之间关系的数学模型的问题。 此模型不能由表格中的数据直接看出，因此
15、，以刹车时车速 v 为横轴，以刹车 距离 s 为纵轴建立直角坐标系。根据表中的数据作散点图，可看出应选择二次 函数作拟合函数。假设变量 v 与 s 之间有如下关系式： cbvavs 2 ，因为 车速为 0 时，刹车距离也为 0，所以二次曲线的图象应通过原点（0，0） 。再在 散点图中任意选取两点 A（30，7.30） ，B（80，44.40）代入，解出 a、b、c 于 是 vvs0563. 00062. 0 2 。 （代入其他数据有偏差是许可的） 将 s=15.13 代入得 vv0563. 00062. 013.15 2 ， 解得 v45.07。 所以，汽车在刹车时的速度是 45.07km/h
16、。 【答案】汽车在刹车时的速度是 45.07km/h 【例 10】某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每 月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. （1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多 少？ 【考点】二次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】2003 年，北京，高考春 【解析】（1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，未租出的车辆数为： 50 3
17、0003600 =12，所以这时租出了 88 辆车. （2） 设每辆车的月租金定为 x 元， 则租赁公司的月收益为： f （x） = （100 50 3000 x ） （x150） 50 3000 x 50， 整理得： f （x） = 50 2 x +162x21000= 50 1 （x4050） 2+307050.所以，当 x=4050 时，f（x）最大，其最大值为 f（4050）=307050.即当每 辆车的月租金定为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为 307050 元. 点评：本题贴近生活。要求考生读懂题目，迅速准确建立数学模型，把实际问题转 化为数学问题并加以解决。 【
18、答案】 （1）租出了 88 辆， （2）当每辆车的月租金定为 4050 元时，租赁公司的月收益最 大，最大收益为 307050 元 【学而思高中数学讲义】 【例 11】某工厂今年 1 月、 2 月、 3 月生产某产品分别为 1 万件、1.2万件、1.3万件， 为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据，用一个函数模拟 产品的月产量 y 与月份数 x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 x yabc(其中 a，b，c 为常数)，已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，请 问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由. 【考点】二次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】
19、无 【解析】(1)利用二次函数模型，设 2 ( )(0)f xaxbxc a 由已知条件可得方程组： 1 421.2 931.3 abc abc abc ， 解得0.05,0.35,0.7abc 2 ( )0.050.350.7f xxx 把 4 月份代入可得(4)1.3f (2)用模型 2，即指数模型 x yabc( )u x 把 1，2，3 月分别代入可得方程组如下： 2 3 1 1.2 1.3 abc abc ab 解方程组可得：0.8,0.5,1.4abc ，( )0.8u x (0.5)x1.4 (4)1.35u，综上可知用模型( )0.8u x (0.5)x1.4好. 答：用模型(
20、 )0.8u x (0.5)x1.4作为模拟函数较好. 【答案】用模型( )0.8u x (0.5)x1.4作为模拟函数较好 【例 12】一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比，已知当航速为每小时 a 海里时，每小时所耗燃料费为 b 元；此外，该海轮航行中每小时的其它费用为 c 元(与航速无关)， 若该海轮匀速航行 d 海里， 问航速应为每小时多少海里才能 使航行的总费用最省？此时的总费用为多少？ 【考点】二次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】本题的问题求的是匀速航行的速度为多少总费用最省，那么就要找到总费用和 航速的关系， 总费用等于燃料费和其它费用的总和， 燃料
21、费与时间和航速有关， 而其它费用只和时间有关，而时间又是由航速确定的，所以本题的一切变量都 可以用航速表达出来，从而可以列出函数关系求最值. 由题意设所耗燃料费与其航速的平方的比例系数为 k，则： 2 bka， 2 b k a 设航速为每小时x海里使最省，则：航行的总费用为 2 2 bdd Sxc axx 当 2 bdcd x ax ，即 a xbc b 时取最小值. 【学而思高中数学讲义】 答：当航速满足 a bc b 时，费用最小，其最小值为 2d bc a . 【答案】当航速满足 a bc b 时，费用最小，其最小值为 2d bc a 【例 13】有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得
22、的利润依次是 p 万元和 q 万 元，它们与投入的资金 x 万元的关系有经验公式：p= 1 10 x，q= 2 5 x. 现有资金 9 万元投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品 的资金分别投入多少万元能获取最大利润？ 【考点】二次函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】设对乙商品投入 x 万元，则对甲商品投入 9x 万元. 设利润为 y 万元，0,9x. y= 12 (9) 105 xx= 1 (49) 10 xx = 2 1 ( (2)13) 10 x， 当x=2,即 x=4 时，ymax=1.3. 所以，投入甲商品 5 万元，乙商品 4 万元时，
23、能获得最大利润 1.3 万元. 【例 14】某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为 40 元/个，出厂价为 60 元/个，日销售量 为 1000 个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕 成本增加的百分率为 x(0 x70， 得 n9.4，取 n=10。 所以到 2010 年可以收回全部投资款。 点评：分段函数是根据实际问题分类讨论函数的解析式，从而寻求在不同情况 下实际问题的处理结果。 【答案】到 2010 年可以收回全部投资款 【例 18】某蔬菜基地种植西红柿， 由历年市场行情得知， 从二月一日起的 300 天内， 西红柿市场售价与上市时间的关系用图 210 中（1）的一条折线
24、表示；西红 柿的种植成本与上市时间的关系用图 210 中（2）的抛物线表示. 图 210 （1）写出图中（1）表示的市场售价与时间的函数关系式 Pf（t） ； 写出图中（2）表示的种植成本与时间的函数关系式 Qg（t） ； （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大? （注：市场售价和种植成本的单位：元102，g，时间单位：天） 【考点】分段函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】2000 年，全国，高考 【解析】（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为 f（t） ;300200,3002 ,2000 ,300 tt tt 由图（2）可得种植成本与时间的函
25、数关系为 g（t） 200 1 （t150）2100，0t300 （2）设 t 时刻的纯收益为 h（t） ，则由题意得 h（t）f（t）g（t） ， 【学而思高中数学讲义】 即 h（t） .300200, 2 1025 2 7 200 1 ,2000 , 2 175 2 1 200 1 2 2 ttt ttt 当 0t200 时，配方整理得 h（t） 200 1 （t50）2100， 所以，当 t50 时，h（t）取得区间0，200上的最大值 100； 当 200t300 时，配方整理得 h（t） 200 1 （t350）2100， 所以，当 t300 时，h（t）取得区间（200，300上的
26、最大值 87.5. 综上，由 100875 可知，h（t）在区间0，300上可以取得最大值 100， 此时 t50，即从二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大. 点评： 本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题.考查运 用所学知识解决实际问题的能力. 【答案】 （1）f（t） ;300200,3002 ,2000 ,300 tt tt g（t） 200 1 （t150）2100，0t300 （2）从二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大 【例 19】某商店将进货价每个 10 元的商品按每个 18 元出售时，每天可卖出 60 个， 商店经理到市场上做了
27、一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个 18 元的 基础上)每提高一元，则日销量就减少 5 个；若将这种商品的售价(在每个 18 元 的基础上)每降低 1 元，则日销量就增加 10 个.为了每日获得最大利润，此商品 的售价应定为每个多少元？ 【考点】分段函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】设此商品每个售价为 x 元，日利润为 y 元，则： 当18x时：605(18)(10)yxx 2 5(20)500 x 即商品按 20 元每个售出时最大日利润为 500 元； 当018x时：6010(18)(10)yxx 2 10(17)490 x 此时商品按每个 17 元售出时获得
28、最大日利润为 490 元. 答：定价为 20 元可获日最大利润. 【学而思高中数学讲义】 【答案】定价为 20 元可获日最大利润 【例 20】中国青年报 2001 年 3 月 19 日报道： 中国移动通信将于 3 月 21 日开始在所 属 18 个省、 市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”， 这个： “套 餐”的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法. 具体方案如下： 方案代号基本月租（元） 免费时间（分钟）超过免费时间的话费（元/分钟） 13048060 298170060 3168330050 4268600045 53881000040 65681700035 778
29、82588030 原计费方案的基本月租为 50 元，每通话一分钟付 0.4 元，请问： （1）“套餐”中第 4 种收费方式的月话费 y 与月通话量 t（月通话量是指一个月内 每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为 3 分 20 秒，按 4 分钟计通话用时）的函数关系式； （2）取第 4 种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱； （3）据中国移动 2000 年公布的中期业绩，每户通话平均为每月 320 分钟，若一 个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由. 【考点】分段函数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】2002 年
30、，北京，高中数学知识应用竞赛 【解析】(1) 268 0600 2680.45(600) 600 t y tt （2）当 0t600 时，解不等式 50+0.4t268，得 545t600（tN） ， 当 t600 时，解不等式 50+0.4t268+0.45(t-600)，得 600( )g x( )h xB.( )g x( )f x( )h x C.( )g x( )h x( )f xD.( )f x( )h x( )g x 【考点】指数、对数型【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】B 【例 31】如图,能使不等式 2 2 log2xxx成立的自变量x的取值范围是（
31、）. A.0 x B.2x C.2x D.02x 【考点】指数、对数型【难度】2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】D 【例 32】某林场计划第一年造林 10000 亩，以后每年比前一年多造林 20，则第四 年造林（）. A. 14400 亩B. 172800 亩C. 17280 亩D. 20736 亩 【考点】指数、对数型【难度】 2 星【题型】解答 【学而思高中数学讲义】 【关键词】无 【解析】 【答案】C 【例 33】某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长 10.4%，那么， 经过 x 年，绿色植被面积可增长为原来的 y 倍，则函数( )yf x的大致图象为
32、（） 【考点】指数、对数型【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】D 【例 34】某人 2003 年 1 月 1 日到银行存入一年期存款 a 元，若按年利率为 x，并按 复利计算，到 2008 年 1 月 1 日可取回款（）. A. a(1+x)5元B. a(1+x)6元C. a(1+x5)元D. a(1+x6)元 【考点】指数、对数型【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】A 【例 35】老师今年用 7200 元买一台笔记本. 电子技术的飞速发展， 计算机成本不断 降低，每隔一年计算机的价格降低三分之一. 三年后老师这台笔记本还 值. 【考点】指数
33、、对数型【难度】 2 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】 【答案】 6400 3 【例 36】有一个湖泊受污染，其湖水的容量为 V 立方米，每天流入湖的水量等于流 出湖的水量。现假设下雨和蒸发平衡，且污染物和湖水均匀混合。 用)0()0()( pe r p g r p tg t v r ，表示某一时刻一立方米湖水中所含污染物 的克数（我们称其湖水污染质量分数） ，)0(g表示湖水污染初始质量分数。 （1）当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染初始质量分数； 【学而思高中数学讲义】 （2）分析 r p g)0(时，湖水的污染程度如何。 【考点】指数、对数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键
34、词】无 【解析】（1）设 21 0tt ， 因为)(tg为常数，)()( 21 tgtg，即0)0( 21 t v r t v r ee r p g， 则 r p g)0(； （2）设 21 0tt ， )()( 21 tgtg)0( 21 t v r t v r ee r p g = 21 12 )0( tt v r t v r t v r e ee r p g 因为0)0( r p g， 21 0tt ，)()( 21 tgtg。污染越来越严重。 点评：通过研究指数函数的性质解释实际问题。我们要掌握底数1, 10aa两 种基本情况下函数的性质特别是单调性和值域的差别，它能帮我们解释具体问题
35、。 譬如向题目中出现的“污染越来越严重”还是“污染越来越轻” 【答案】 （1） r p g)0(， （2）污染越来越严重 【例 37】现有某种细胞 100 个，其中有占总数 1 2 的细胞每小时分裂一次，即由 1 个 细胞分裂成 2 个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超 过 10 10个？（参考数据：lg30.477,lg20.301）. 【考点】指数、对数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】现有细胞 100 个，先考虑经过 1、2、3、4 个小时后的细胞总数， 1 小时后，细胞总数为 113 100100 2100 222 ； 2 小时后，细胞总数为 1
36、3139 100100 2100 22224 ； 3 小时后，细胞总数为 191927 100100 2100 24248 ； 【学而思高中数学讲义】 4 小时后，细胞总数为 12712781 100100 2100 282816 ； 可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为： 3 100 2 x y ， xN 由 10 3 10010 2 x ，得 8 3 10 2 x ，两边取以 10 为底的对数，得 3 lg8 2 x， 8 lg3lg2 x ， 88 45.45 lg3lg20.4770.301 ， 45.45x . 答：经过 46 小时，细胞总数超过 10 10个。 点评：对
37、于指数函数、对数函数要熟练应用近似计算的知识，来对事件进行合 理的解析。 【答案】46 小时 【例 38】本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区 2 a m的老房子进行平改坡 （“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并 对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮 行为） ，且每年平改坡面积的百分比相等. 若改造到面积的一半时，所用时间需 10 年. 已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的 2 2 . （1）求每年平改坡的百分比； （2）问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？ （3）若通过技术创新，至少保留 2 4 a m的老房子开辟新
38、的改造途径. 今后最多 还需平改坡多少年？ 【考点】指数、对数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】（1）设每年平改坡的百分比为(01)xx，则 10 1 (1) 2 axa，即 1 10 1 1( ) 2 x，解得 1 10 1 1( )0.06706.70 2 x . （2） 设到今年为止， 该工程已经进行了 n 年， 则 2 (1) 2 n axa， 即 1 102 11 ( )( ) 22 n ， 解得 n=5. 所以，到今年为止，该工程已经进行了 5 年. （3）设今后最多还需平改坡 m 年，则 5 1 (1) 4 m axa ，即 5 2 10 11 ( )( )
39、22 m ，解 【学而思高中数学讲义】 得 m=15. 所以，今后最多还需平改坡 15 年. 点评点评：以房屋改造为背景，从中抽象出函数模型，结合两组改造数据及要求， 通过三个等式求得具有实际意义的底数或指数. 体现了代入法、方程思想等数 学方法的运用. 【答案】 （1）6.70%， （2）5 年， （3）15 年 【例 39】1992 年底世界人口达到 54.8 亿，若人口的平均增长率为 x%，2008 年底世 界人口数为 y（亿）. （1）写出 1993 年底、1994 年底、2000 年底的世界人口数； （2） 求 2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式. 如果要使 200
40、8 年的人口 数不超过 66.8 亿，试求人口的年平均增长率应控制在多少以内？ 【考点】指数、对数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】（1）1993 年底的世界人口数为54.8(1)x ； 1994 年底的世界人口数为 2 54.8(1)x ； 2000 年底的世界人口数为 8 54.8(1)x . （2）2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式为 18 54.8(1)yx . 由 18 54.8(1)yx 66.8， 解得 18 66.8 100(1)1.1 54.8 x . 所以，人口的年平均增长率应控制在 1.1%以内 【答案】 （1）1993 年底的世界人
41、口数为54.8(1)x ； 1994 年底的世界人口数为 2 54.8(1)x ； 2000 年底的世界人口数为 8 54.8(1)x （2）人口的年平均增长率应控制在 1.1%以内 【例 40】光线通过一块玻璃,其强度要损失10%,把几块这样的玻璃重叠起来,设光线 原来的强度为a,通过x块玻璃后强度为y. （1）写出y关于x的函数关系式； （2）通过多少块玻璃后，光线强度减弱到原来的 1 3 以下?(lg30.4771) 【考点】指数、对数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】（1）(1 10%) (). x yaxN （2） 111 ,(1 10%),0.9, 333 xx
42、 yaaa 0.9 1lg3 log10.4, 32lg3 1 x 【学而思高中数学讲义】 11x . 【答案】 （1）(1 10%) (). x yaxN （2）11 【例 41】1995 年我国人口总数是 12 亿，如果人口的年自然增长率控制在 1.25， 问哪一年我国人口总数将超过 14 亿？ 【考点】指数、对数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】设 x 年后人口总数超过 14 亿. 由题意得12(10.0125)14 x ，即 7 1.0125 6 x . 两边取常用对数，得lg1.0125lg7lg6x. lg7lg6 12.4 lg1.0125 x . 所以，13
43、 年后，即 2008 年我们人口总数超过 14 亿. 【答案】2008 年我们人口总数超过 14 亿. 【例 42】某公司拟投资 100 万元， 有两种获利的可能提供选择： 一种是年利率 10， 按单利计算，5 年后收回本金和利息；另一种是年利率 9，按每年复利计算， 5 年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5 年后，这种有利的投资比另一 种投资可多得利息多少元？ 【考点】指数、对数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】100 万元， 按单利计算， 年利率 10， 5 年后的本利和为100(1 105)150 （万元）. 100 万元，按复利计算，年利率 9，5 年后的本利和
44、为 5 100(19153.86 （万元）. 由此可见，按年利率 9的复利计算投资，要比年利率 10的单利计算投资更 有利，5 年后可多的利息 3.86 万元. 点评点评：利率问题考察的函数模型是一次函数和幂函数，要理解“单利”和“复利” 的实际意义. 【答案】按年利率 9的复利计算投资，要比年利率 10的单利计算投资更有利，5 年后 可多的利息 3.86 万元 【例 43】某人有资金 2000 元，拟投入在复利方式下年报酬为 8%的投资项目，大约 经过多少年后能使现有资金翻一番？（下列数据供参考：lg2=0.3010， lg5.4=0.7324，lg5.5=0.7404，lg5.6=0.74
45、82）. 【考点】指数、对数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】设经过 x 年后能使现有资金翻一番，则2000(18)4000 x ，即1.082 x . 【学而思高中数学讲义】 两边取对数，有 lg2lg2lg20.3010 9.01 5.4 lg1.08lg5.4(1lg2)0.732410.3010 lg 5 x . 所以，经过 10 年后才能使现有资金翻一番. 【答案】经过 10 年后才能使现有资金翻一番 【例 44】家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量 Q 呈指数 函数型变化，满足关系式 400 0 t QQ e ，其中 0 Q是臭氧的初始量.
46、（1）随时间 的增加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消 失？ 【考点】指数、对数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】（1） 0 0Q ，0 400 t ，1e ， 400 0 t QQ e 为减函数. 随时间的增加，臭氧的含量是减少. （2）设 x 年以后将会有一半的臭氧消失，则 400 00 1 2 x Q eQ ，即 400 1 2 x e ， 两边去自然对数， 1 ln 4002 x ，解得400ln2278x . 287年以后将会有一半的臭氧消失. 【答案】 （1）随时间的增加，臭氧的含量是减少， （2）287 年后有一半的臭氧消失 【例
47、 45】某自来水厂的蓄水池存有 400 吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨， 同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120 6t吨， （024t ）.从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是 多少吨? 【考点】指数、对数型【难度】3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】设t小时后蓄水池中的水量为y吨，则40060120 6ytt. 令6tx，则 2 6xt，即 2 40010120yxx 2 10(6)40,0,12xx. 当6x ，即6t 时， min 40y， 所以，从供水开始到第 6 小时时，蓄水池水量最少，只有 40 吨. 点评点评：运用二次函数
48、的模型，常解决一些最大（小）值的问题，对生产生活等 问题进行优化. 【答案】第 6 小时时，蓄水池水量最少，只有 40 吨 【例 46】近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快2002 年全球太阳电池的年生产 量达到 670 兆瓦，年生产量的增长率为 34%以后四年中，年生产量的增长率 【学而思高中数学讲义】 逐年递增 2%（如，2003 年的年生产量的增长率为 36%） （1）求 2006 年 全球太阳电池的年生产量（结果精确到 0.1 兆瓦） ；（2）目前太阳电池产业 存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006 年的实际安装量为 1420 兆 瓦 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长
49、率保持在 42%， 到 2010 年， 要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的 95%） ，这 四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少 （结果精确到 0.1%） ？ 【考点】指数、对数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】2007 年，上海，高考 【解析】（1）由已知得 2003，2004，2005，2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次 为36%，38%，40%，42%则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 670 1.36 1.38 1.40 1.422499.8(兆瓦) （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x，则 4 4 1420(1) 95
50、% 2499.8(142%) x ，解 得0.615x 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到61.5% 【答案】 （1）2499.8(兆瓦)，（2）61.5% 【例 47】1650 年世界人口为 5 亿，当时的年增长率为 3，用指数增长模型计算什 么时候世界人口达到 10 亿（实际上 1850 年前已超过 10 亿）. 1970 年世界人口 为36 亿， 年增长率为 2.1， 用指数增长模型预测什么时候世界人口会翻一番？ 【考点】指数、对数型【难度】 3 星【题型】解答 【关键词】无 【解析】由 1650 年世界人口数据，把 0 5y ，0.003r 代入马尔萨斯人口模型，得
