1、【学而思高中数学讲义】 1椭圆的定义：平面内与两个定点 12 FF，的距离之和等于常数（大于 12 |FF） 的点的轨迹（或集合）叫做椭圆 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距 2椭圆的标准方程： 22 22 1(0) xy ab ab ，焦点是 1( 0)Fc ， 2( 0)F c，且 222 cab 22 22 1(0) yx ab ab ，焦点是 1(0 )Fc， 2(0 )Fc，且 222 cab 3椭圆的几何性质（用标准方程 22 22 1(0) xy ab ab 研究） ： 范围：axa ，byb ； 对称性：以x轴、y轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中
2、 心又叫做椭圆的中心； 椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的 1212 AABB， ， ，； 长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴， 如图中线段的 12 A A；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段 12 B B 椭圆的离心率： c e a ，焦距与长轴长之比，01e，e越趋近于1，椭 圆越扁； 反之，e越趋近于0，椭圆越趋近于圆 4直线l：0AxByC与圆锥曲线C：()0f xy ，的位置关系： 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说， 平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来 板块二.直线与双曲
3、线 【学而思高中数学讲义】 说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切这三种位 置关系的判定条件可归纳为： 设直线l：0AxByC，圆锥曲线C：()0f xy ，由 0 ()0 AxByC f xy ， 消去y（或消去x）得： 2 0axbxc 若0a ， 2 4bac ，0 相交；0 相离；0 相切 若0a ，得到一个一次方程：C为双曲线，则l与双曲线的渐近线平行； C为抛物线，则l与抛物线的对称轴平行 因此直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的 必要条件，但不是充分条件 5连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦 求弦长的一种求法是将直线方程与圆锥曲线的
4、方程联立，求出两交点的坐 标，然后运用两点间的距离公式来求； 另外一种求法是如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分 别为 1122 () ()xyxy，则弦长公式为 2 2 1212 1 |11ABkxxyy k 两根差公式： 如果 12 xx，满足一元二次方程： 2 0axbxc， 则 2 2 2 121212 4 ()44 bcbac xxxxx x aaaa （0 ） 6直线与圆锥曲线问题的常用解题思路有： 从方程的观点出发， 利用根与系数的关系来进行讨论， 这是用代数方法来解 决几何问题的基础要重视通过设而不求与弦长公式简化计算，并同时注意在 适当时利用图形的平面几何性质
5、 以向量为工具，利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题 典例分析 【例 1】 若直线2ykx与双曲线 22 6xy的右支有两个不同的交点， 则k的取值范围是 _ 【例 2】 过双曲线 22 1 12 xy 的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若| 4AB ，则这样的 直线有_条 【学而思高中数学讲义】 【例 3】 过点(0 2)，与双曲线 22 1 916 xy 有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为 _ 【例 4】 直线1yx与双曲线 22 1 23 xy 相交于两点A、B，则AB=_ 【例 5】 若直线1ykx与双曲线 22 4xy没有公共点，求k的取值范围 【例 6】 若直
6、线1ykx与双曲线 22 4xy有且只有一个公共点，求k的的值 【例 7】 若直线1ykx与双曲线 22 4xy有两个相异公共点，求k的取值范围 【例 8】 直线1ykx与双曲线 22 4xy的一支有两个相异公共点，求k的取值范围 【例 9】 若直线1ykx与双曲线 22 4xy的两支各有一个公共点，求k的取值范围 【例 10】若直线1ykx与双曲线 22 4xy的右支有两个相异公共点，求k的取值范 围 【例 11】已知不论b取何实数，直线ykxb与双曲线 22 21xy总有公共点，求实 数k的取值范围 【例 12】直线1yax与双曲线 22 31xy交于A、B两点当a为何值时，A、B 分别在
7、双曲线的两支上？当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点？ 【例 13】已知直线10kxy 与双曲线 2 2 1 2 x y相交于两个不同点A、B 求k的取值范围； 若x轴上的点(3 0)M，到A、B两点的距离相等，求k的值 【学而思高中数学讲义】 【例 14】已知直线1ykx与双曲线 22 4xy，记双曲线的右顶点为A，是否存在实 数k， 使得直线与双曲线的右支交于,P Q两点， 且0PA QA ， 若存在， 求出k值： 若不存在，请说明理由 【例 15】已知点( 2 0)M ，(2 0)N，动点P满足条件2 2PMPN，记动点P的 轨迹为C 求C的方程； 若A、B是曲线C上不同的两点，O是
8、坐标原点，求OA OB 的最小值 【例 16】直线:1l ykx与双曲线 22 :21Cxy的右支交不同的A，B两点， 求实数k取值范围； 是否存在实数k，使得以线段AB直径的圆经过双曲线的右焦点若存在，求出 k值：若不存在，请说明理由 【例 17】双曲线C的中心在原点，右焦点为 2 3 , 0 3 F ，渐近线方程为3yx 求双曲线C的方程； 设直线l：1ykx与双曲线C交于A、B两点，问：当k为何值时，以AB为 直径的圆过原点 【例 18】已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，过其右焦点且倾 斜角为45的直线被双曲线截得的弦MN的长为6 求此双曲线的方程； 若直线: l ykx
9、m与该双曲线交于两个不同点A、B，且以线段AB为直径的 圆过原点，求定点(01)Q，到直线l的距离d的最大值，并求此时直线l的方程 【例 19】在PAB中，已知 60A ，、 60B，动点P满足4PAPB 求动点P的轨迹方程； 设点20M ，20N， 过点N作直线l垂直AB， 且l与直线MP交于点Q， 试在x轴上确定一点T，使得PNQT； 在的条件下，设点Q关于x轴的对称点为R，求OP OR 的值 【学而思高中数学讲义】 【例 20】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2 0)，右顶点为( 3 0)， 求双曲线C的方程； 若直线:2l ykx与双曲线C恒有两个不同的交点A和B， 且2OA OB
10、 （其 中O为原点） ，求k的取值范围 【例 21】已知双曲线 2 2 :1 2 x Cy，设过点 3 20A ，的直线l的方向向量 1ek ， 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离； 证明：当k 2 2 时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为 6 【例 22】已知双曲线C的方程为 22 22 100 yx ab ab ，离心率 5 2 e ，顶点到渐 近线的距离为 2 5 5 求双曲线C的方程； 如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别 位于第一、二象限，若APPB ， 1 2 3 ，求AOB面积的取值范围 【例 2
11、3】已知以原点O为中心， 50F，为右焦点的双曲线C的离心率 5 2 e 求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程； 如图，已知过点 11 M xy，的直线 111 :44lx xy y与过点 22 N xy，（其中 2 xx）的直线 222 :44lx xy y的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线 分别交与G、H两点，求OGH的面积 【学而思高中数学讲义】 【例 24】已知动圆P过点 50N，并且与圆 2 2 :516Mxy相外切，动圆圆 心P的轨迹为W，轨迹W与x轴的交点为D 求轨迹W的方程； 设直线l过点(0)m，(2)m 且与轨迹W有两个不同的交点A，B，求直线l的 斜率k的取值范
12、围； 在的条件下，若0DA DB ，证明直线l过定点，并求出这个定点的坐标 【例 25】已知点 100 ()P xy，为双曲线 22 22 1 8 xy bb （b为正常数）上任一点， 2 F为双 曲线的右焦点， 过 1 P作右准线的垂线， 垂足为A， 连接 2 F A并延长交y轴于 2 P 求线段 1 P 2 P的中点P的轨迹E的方程； 设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点 111 (0)Q xyy （， ），直线QB， QD分别交y轴于MN，两点求证：以MN为直径的圆过两定点 （焦点在x轴上的标准双曲线的准线方程为 2 a x c ） 【例 26】已知双曲线 22 22 :100 xy Cab ab ，的离心率为3，右准线方程为 3 3 x 求双曲线2的方程； 【学而思高中数学讲义】 设直线l是圆 22 :2O xy上动点 0000 0P xyx y ，处的切线，l与双曲线C 交于不同的两点AB，证明AOB的大小为定值
