1、函数函数 一、函数的定义：一、函数的定义： 1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x， 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA （1）其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域； （2）与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 2函数的三要素：定义域、值域、对应法则 3函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域 （2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线
2、、直线、折线、 离散的点等等。 （3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。 4、函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点 P(x，y) 的集合 C，叫做函数y=f(x),(xA)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反 过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。 （3）函数图像平移变换的特点： 1）加左减右只对 x 2）上减下加只对 y 3）函数 y=
3、f(x)关于 X 轴对称得函数 y=-f(x) 4）函数 y=f(x)关于 Y 轴对称得函数 y=f(-x) 5）函数 y=f(x)关于原点对称得函数 y=-f(-x) 6）函数 y=f(x)将 x 轴下面图像翻到 x 轴上面去，x 轴上面图像不动得 函数 y=| f(x)| 7）函数 y=f(x)先作 x0 的图像，然后作关于 y 轴对称的图像得函数 f(|x|) 二、函数的基本性质二、函数的基本性质 1、函数解析式子的求法 （1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应 法则，二是要求出函数的定义域. （2）、求函数的解析式的主要方法有：
4、1）代入法： 2）待定系数法： 3）换元法： 4)拼凑法： 2定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么， 它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成 的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）定义域一致(两点必须同时
5、备) 4、区间的概念： （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示 5、值域 （先考虑其定义域） （1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； （2）反表示法：针对分式的类型，把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 关于 Y 的函数关系式，由 X 的范围类似 求 Y 的范围。 (3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。 (4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。 6.分段函数 （1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 （2）各部分的自变量的取
6、值情况 （3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 （4）常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数 7映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x， 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A（原象）B（象）” 对于映射f：AB来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合
7、A中都有原象。 注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定 的函数 8 8、函数的单调性、函数的单调性( (局部性质局部性质) )及最值及最值 （1 1）、增减函数）、增减函数 （1）设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. （2）如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在
8、这 个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种 （2 2）、）、 图象的特点图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单 调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. （3 3）、函数单调区间与单调性的判定方法）、函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取 x1，x2D，且 x11，且nN * 当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n 次方根是一个负数。此时，a 的
9、n 次方根用符号表 示。 当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数 a 的正的 n 次方根用符号表示， 负的 n 的次方根用符号表示。正的 n 次方根与负的 n 次方根可以合并成（a0）。 注意：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00 n 。 当n是奇数时，aa nn ，当n是偶数时， )0( )0( | a a a a aa nn 式子 n a叫做根式，这里 n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 3、分数指数幂 正数的分数指数幂的 ) 1, 0( * nNnmaaa nm n m ，) 1, 0( 11 * nNnma a a a nm n m n
10、 m 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 4、有理数指数米的运算性质 （1） r a srr aa ), 0(Rsra； （2） rssr aa)( ), 0(Rsra； （3） srr aaab)( ), 0(Rsra 5、无理数指数幂 一般的，无理数指数幂 a a（a0,a 是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指 数幂。 （二）、指数函数的性质及其特点（二）、指数函数的性质及其特点 1、指数函数的概念：一般地，函数) 1, 0(aaay x 且叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负
11、数、零和 1为什么？ 2、指数函数的图象和性质 a10a1 时，若 X1X2,则有 f(X1)10a1 ? 3 ? 2.5 ? 2 ? 1.5 ? 1 ? 0.5 ? -0.5 ? -1 ? -1.5 ? -2 ? -2.5 ? -1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 0 1 1 ? 3 ? 2.5 ? 2 ? 1.5 ? 1 ? 0.5 ? -0.5 ? -1 ? -1.5 ? -2 ? -2.5 ? -1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 0 1 1 定义域 x0定义域 x0 值域为 R值域为 R 在 R 上递增在 R 上递减 函
12、数图象都过定点（1，0）函数图象都过定点（1，0） 幂函数幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如 xy )(Ra的函数称为幂函数，其中为常数 2、幂函数性质归纳 （1）所有的幂函数在（0，+）都有定义并且图象都过点（1，1）； （2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间), 0 上是增函数特别地，当1时，幂函数的图象下 凸；当10时，幂函数的图象上凸； （3）0时，幂函数的图象在区间), 0( 上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴 右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴 四、函数的应用四、函数的应用 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点
13、 1、函数零点的概念：对于函数 ，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：方程有实数根，函 数的图象与坐标轴有交点，函数有零点 3、函数零点的求法： （1）（代数法）求方程 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点： （1）0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点 （2）0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零 点 （3）0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点
