1、1 第第 5 讲讲 立体几何中的范围与最值问题立体几何中的范围与最值问题 一、单选题一、单选题 1 （2021浙江衢州市高二期末）如图，在三棱锥DABC中，,1,1ADBC BCAD且 2ABBDACCD，则四面体ABCD的体积的最大值为（） A 1 4 B 2 12 C 3 6 D 5 24 2（2021山东高三专题练习） 如图所示， 在三棱锥PABC 中，BC平面PAC，PAAB， 4PAAB ， 且E为PB的中点，AFPC于F，当AC变化时，则三棱锥PAEF体积的最大值是（） A 2 2 3 B 2 C 4 2 3 D 5 2 3 3 （2021合肥市第六中学高二期末 （理） ） 如图，
2、 正方体 1111 ABCDABC D的棱长为1，,E F分别是棱 1 AA， 1 CC的中点，过点,E F的平面分别与棱 1 BB， 1 DD交于点 G，H，给出以下四个命题： 2 平面EGFH与平面ABCD所成角的最大值为 45； 四边形EGFH的面积的最小值为1； 四棱锥 1 CEGFH的体积为定值 1 6 ； 点 1 B到平面EGFH的距离的最大值为 6 3 . 其中正确命题的序号为（） ABCD 4 （2021安徽黄山市高二期末（理） ）长方体 1111 ABCDABC D中， 2AB ，1BC ， 1 2AA ，P为 该正方体侧面 11 CC D D内（含边界）的动点，且满足tan
3、 tan2 2PADPBC .则四棱锥PABCD 体积的取值范围是（） A 2 0, 3 B 2 2 , 33 C 4 0, 3 D 2 4 , 33 5 （2021江西南昌市南昌十中高二期末（文） ）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，,E F分别是线 段AB、 1 BD上的动点，若/ /EF平面 11 ADD A，则三棱锥 1 AEFB的最大体积为（） A 3 12 B 1 12 C 1 24 D 1 8 6 （2021浙江高三月考）已知正方体ABCDABC D 的棱长为 1，点M，N分别为线段 AB ，AC上 的动点，点T在平面BCC B 内，则MT NT 的最小值是（
4、） A 2 B 2 3 3 C 6 2 D1 3 7 （2021浙江丽水市高二期末）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，E为线段 1 BC的中点，F是 棱 11 C D上的动点，若点P为线段 1 BD上的动点，则PE PF的最小值为（） A 5 2 6 B1 2 2 + C 6 2 D 3 2 2 8 （2021安徽六安市六安一中高二开学考试（理） ）正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，点M在棱AB 上，且1AM ，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线 11 AD的距离与点P到 点M的距离的平方差为 16，则动点P到B点的最小值是（）
5、A 7 2 B2 2C6 D 2 9 （2021四川资阳市高二期末（文） ）如图，棱长为 3 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，P 为正方体表面 BCC1B1 上的一个动点，E，F 分别为 BD1的三等分点，则|PEPF的最小值为（） A3 3B 5 2 2 C1 6 D 11 10 （2021全国高三专题练习（理） ）已知直三棱柱 111 ABCABC的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三 角形，用一平面截此棱柱，与侧棱 111 ,AA BB CC，分别交于三点,M N Q，若MNQ为直角三角形，则 该直角三角形斜边长的最小值为（） A2 2B3 C2 3D4 11 （2021台州市书生
6、中学高二开学考试）等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD侧棱，直角 4 边AE绕斜边AB旋转，则在旋转的过程中，则下列说法错误的是（） A四面体EBCD的体积有最大值和最小值； B存在某个位置，使得AEBD； C设二面角DABE的平面角为，则DAE； DAE的中点M与AB的中点N连线交平面BCD于点P，则点P的轨迹为椭圆. 12 （2021浙江高一期末）三棱锥 PABC 中，PA、PB、PC 两两垂直，且 PA3，PB2，PC1，设 M 是 底面ABC 内一点，定义 f（M）（m，n，p） ，其中 m，n，p 分别是三棱锥 MPAB，三棱锥 MPBC， 三棱锥 MPCA 的体积.若
7、f（M）（ 1 2 ，x，y） ，且 1 8 a xy 恒成立，则正实数 a 的最小值为（） A1B134 3 C94 2 D2 二、多选题二、多选题 13 （2021山东高三专题练习）已知边长为 2 的等边ABC，点D、E分别是边AC、AB上的点，满足 /DE BC且 AD AC （0,1） ，将ADE沿直线DE折到A DE的位置，在翻折过程中，下列结论 成立的是（） 5 A在边A E上存在点F，使得在翻折过程中，满足/BF平面ACD B存在 1 0 2 ,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC平面BCDE C若 1 2 ，当二面角ADEB 等于 60时， 7 2 A B D在翻折过
8、程中，四棱锥A BCDE 体积的最大值记为 f， f的最大值为 2 3 9 14 （2021江苏南通市高三期末）如图，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，P 为线段 11 B D上一动 点（包括端点） ，则以下结论正确的有（） A三棱锥 1 PABD的体积为定值 1 3 B过点 P 平行于平面 1 ABD的平面被正方体 1111 ABCDABC D截得的多边形的面积为 3 2 C直线 1 PA与平面 1 ABD所成角的正弦值的范围为 36 , 33 D当点 P 与 1 B重合时，三棱锥 1 PABD的外接球的体积为 3 2 15 （2021全国高三专题练习） 如图所示， 在
9、长方体 1111 ABCDABC D中， 1 1,2,ABBCAAP是 1 AB 6 上的一动点，则下列选项正确的是() ADP的最小值为 3 5 5 BDP的最小值为5 C 1 APPC的最小值为 6 D 1 APPC的最小值为 170 5 16（2021山东济南市高二期末） 已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为2， 点E，F在平面 1111 DCBA内， 若|5AE ，ACDF，则（） A点E的轨迹是一个圆 B点F的轨迹是一个圆 CEF的最小值为 2 1 DAE与平面 1 ABD所成角的正弦值的最大值为 2 1530 15 17 （2021全国高三其他模拟）已知正方体 1111
10、 ABCDABC D的棱长为 2，点E，F分别是棱AB， 11 AB 的中点，点P在四边形ABCD内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（） A若P是线段BC的中点，则平面 1 AB P 平面DEF 7 B若P在线段AC上，则 1 D P与 11 AC所成角的取值范围为, 4 2 C若 1/ PD平面 11 AC E，则点P的轨迹的长度为 2 D若/PF平面 11 BCD，则线段PF长度的最小值为 6 2 三、双空题三、双空题 18 （2021全国高三其他模拟）如图，在正方体 1111 ABCDABC D中， 1 3AA ，点 M，N 分别在棱AB和 1 BB上，且 1 DMMN，则线段BN的
11、长度的最大值为_，此时，三棱锥 1 MACD的体积为 _. 19 （2021江苏常州市高三期末）矩形ABCD中，3,1ABBC，现将ACD沿对角线AC向上翻 折，得到四面体DABC，则该四面体外接球的体积为_；设二面角DACB的平面角为， 当在, 32 内变化时，BD的范围为_. 20 （2021全国高三专题练习）如图所示，在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别是正方 形 1111 DCBA和正方形 11 ADD A的中心，P为线段EF上的点（P异于E，F） ，则EF和BC所成的角的大 小是_，三棱锥 1 PABC的体积为_. 8 21（2021浙江绍兴市高二期末）
12、 已知正四面体ABCD 的棱长为 3， 平面BCD内一动点P满足 2 2AP ， 则|BP的最小值是_；直线AP与直线BC所成角的取值范围为_. 四、填空题四、填空题 22 （2020浙江高二期末）在矩形ABCD中，=1AD，点E为线段CD中点，如图 3 所示，将AED沿着 AE翻折至AED（点D不在平面ABCD内） ，记线段 CD 中点为F，若三棱锥FAED体积的最大 值为 5 15 ，则线段AB长度的最大值为_. 23 （2017河北邢台市高三月考（文） ）在Rt ABC中，ACBC，3BC ，5AB ，点DE、分别在 ACAB、边上， 且/DEBC， 沿着DE将ADE折起至A DE的位置
13、， 使得平面A DE平面BCDE， 其中点A为点A翻折后对应的点，则当四棱锥ABCDE的体积取得最大值时，AD的长为_. 24 （2020浙江高二专题练习）在斜边长为 4 的等腰直角三角形ABC中，点D在斜边AC（不含端点）上 运动，将ABD沿线段BD折到PBD位置，则三棱锥PBCD体积的最大值是_. 9 25 （2017全国高考真题（理） ）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的 中心为 O.D，E，F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形沿 虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，E
14、CA，FAB，使得 D，E，F 重合，得到三棱锥当 ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为_ 26 （2021浙江高一期末）已知正四棱锥VABCD可绕着AB任意旋转，/ /CD平面，若2AB ， 5VA ，则正四棱锥VABCD在面内的投影面积的取值范围是_ 27 （2021浙江丽水市高三月考）如图，在ABC中， 1 2 BMMC ，1ABAC， 2 3 BM ，点 D 在线段BM上运动，沿AD将ADB折到ADB，使二面角B ADC 的度数为60，若点 B 在平面 ABC内的射影为 O，则OC的最小值为_ 10 28 （2021湖北随州市高二期末）在ABC中，90BAC，
15、6AB ，8AC ，D 是斜边上一点，以 AD为棱折成 60二面角CADB，则线段BC最小值为_ 29 （2021浙江高一期末）已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，点 E 是棱AD的中点，点,F G在平 面 1111 DCBA内，若5EF ，CEBG，则FG的最小值为_ 30 （2021安徽淮北市高三一模（理） ）在棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D中，E是CD的中点，F 是 1 CC上的动点，则三棱锥A DEF外接球表面积的最小值为_. 31 （2021江苏南京市高二期末）如图，在ABC中，1AB ， 2 2BC ， 4 B ，将ABC绕边AB 翻转至ABP，使
16、面ABP 面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，则当PC与DQ所成 角取得最小值时，线段AQ的长度为_. 11 32 （2021浙江高一期末）已知正ABC的顶点A在平面上，顶点B、C在平面的同一侧，D为BC 的中点，若ABC在平面上的投影是以A为直角顶点的三角形，则直线AD与平面所成角的正弦值 的最小值为_. 33 （2021河南驻马店市高一期末（理） ）如图，已知在正方体 1111 ABCDABC D中， 4AB ，点E为棱 1 CC上的一个动点，平面 1 BED与棱 1 AA交于点F，给出下列命题： 无论E在 1 CC如何移动，四棱锥 11 BBED F的体积恒为定值； 截面四边形 1 BED F的周长的最小值是8 5； 当E点不与C， 1 C重合时，在棱AD上恒存在点G，使得/CG平面 1 BED； 存在点E，使得 1 BD 平面 1 AD E；其中正确的命题是_
