1、第第 8 讲讲立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(二二)求空间角求空间角 一、选择题 1.(2016长沙模拟)在正方体 A1B1C1D1ABCD 中， AC 与 B1D 所成的角的大小为 () A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 解析建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体边长为 1， 则 A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0). AC (1，1，0)，B1D (1，1，1)， AC B1D 1(1)110(1)0， AC B1D ， AC 与 B1D 所成的角为 2 . 答案D 2.(2017郑州调研)在正方体 ABCDA1B1C1D1中，BB1与
2、平面 ACD1所成角的正 弦值为() A. 3 2 B. 3 3 C.3 5 D.2 5 解析设正方体的棱长为 1， 以 D 为坐标原点， DA， DC， DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如 图所示.则 B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(1，0，0)，C(0，1， 0)，D1(0，0，1)， 所以BB1 (0，0，1)，AC (1，1，0)，AD1 (1，0，1). 令平面 ACD1的法向量为 n(x，y，z)，则 nAC xy0，nAD1 xz 0，令 x1，可得 n(1，1，1)， 所以 sin|cosn， BB1 | 1 31 3 3 . 答案
3、B 3.在正方体 ABCDA1B1C1D1中， 点E 为 BB1的中点， 则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为() A.1 2 B.2 3 C. 3 3 D. 2 2 解析以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz，设棱长为 1， 则 A1(0，0，1)， E 1，0，1 2 ，D(0，1，0)， A1D (0，1，1)， A1E 1，0，1 2 ， 设平面A1ED的一个法向量为n1(1， y， z)， 所以有 A1D n10， A1E n10， 即 yz0， 11 2z0， 解得 y2， z2. n1(1，2，2). 平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0
4、，0，1)， cosn1，n2 2 31 2 3. 即所成的锐二面角的余弦值为2 3. 答案B 4.(2017西安调研)已知六面体ABCA1B1C1是各棱长均等于a的正 三棱柱，D 是侧棱 CC1的中点，则直线 CC1与平面 AB1D 所成的 角为() A.45B.60 C.90D.30 解析如图所示，取 AC 的中点 N，以 N 为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则 A 0，a 2，0，C 0，a 2，0，B1 3a 2 ，0，a ，D 0，a 2， a 2 ， C1 0，a 2，a， AB1 3a 2 ，a 2，a，AD 0，a，a 2 ，CC1 (0，0，a). 设平面 AB1D 的法向
5、量为 n(x，y，z)， 由 nAB1 0，nAD 0，可取 n( 3，1，2). cosCC1 ，n CC1 n |CC1 |n| 2a a2 2 2 2 ， 直线 CC1与平面 AB1D 所成的角为 45. 答案A 5.设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， 则点 D1到平面 A1BD 的距离是() A. 3 2 B. 2 2 C.2 2 3 D.2 3 3 解析如图建立坐标系.则 D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，B(2，2， 0)，D1A1 (2，0，0)，DB (2，2，0)， 设平面 A1BD 的一个法向量 n(x，y，z)，则 nDA1 0， nDB 0， 2x2
6、z0， 2x2y0，令 z1，得 n(1，1，1). D1到平面 A1BD 的距离 d|D1A1 n| |n| 2 3 2 3 3 . 答案D 二、填空题 6.(2017昆明月考)如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1 底面 ABC，ABBCAA1，ABC90，点 E，F 分别是棱 AB，BB1的中点，则直线 EF 和 BC1所成的角是_. 解析以 BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB1为 z 轴，建立空间直角 坐标系.设 ABBCAA12， 则 C1(2，0，2)，E(0，1，0)，F(0，0，1)， 则EF (0，1，1)，BC1 (2，0，2)，EF BC1 2， cosE
7、F ， BC1 2 22 2 1 2， EF 和 BC1所成的角为 60. 答案60 7.在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的 正弦值等于_. 解析以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设 AA1 2AB2，则 D(0，0，0)，C(0，1，0)，B(1，1，0)，C1(0，1， 2)，则DC (0，1，0)，DB (1，1，0)，DC1 (0，1，2). 设平面 BDC1的一个法向量为 n(x， y， z)， 则 nDB ， nDC1 ， 所以有 xy0， y2z0，令 y2，得平面 BDC 1的一个法向量为 n (2，2，1).
8、设 CD 与平面 BDC1所成的角为，则 sin|cosn， DC | nDC |n|DC |2 3. 答案 2 3 8.已知点 E， F 分别在正方体 ABCDA1B1C1D1的棱 BB1， CC1上， 且 B1E2EB， CF2FC1，则平面 AEF 与平面 ABC 所成的二面角的正切值等于_. 解析延长 FE，CB 相交于点 G，连接 AG，如图所示. 设正方体的棱长为 3，则 GBBC3，作 BHAG 于点 H， 连接 EH，则EHB 为所求二面角的平面角. BH3 2 2 ，EB1，tanEHBEB BH 2 3 . 答案 2 3 三、解答题 9.(2015全国卷)如图，四边形 AB
9、CD 为菱形，ABC 120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面 ABCD，DF平面 ABCD，BE2DF，AEEC. (1)证明：平面 AEC平面 AFC， (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. (1)证明如图，连接 BD，设 BDACG，连接 EG， FG，EF. 在菱形 ABCD 中，不妨设 GB1.由ABC120，可得 AGGC 3. 由 BE平面 ABCD，ABBC，可知 AEEC. 又 AEEC， 所以 EG 3，且 EGAC. 在 Rt EBG 中，可得 BE 2，故 DF 2 2 . 在 Rt FDG 中，可得 FG 6 2 . 在直角梯形 BDFE
10、 中，由 BD2，BE 2，DF 2 2 ，可得 EF3 2 2 ， 从而 EG2FG2EF2，所以 EGFG. 又 ACFGG，可得 EG平面 AFC. 因为 EG平面 AEC， 所以平面 AEC平面 AFC. (2)解如图，以 G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为 x 轴，y 轴正方向， |GB |为单位长度，建立空间直角坐标系 Gxyz， 由(1)可得 A(0， 3，0)，E(1，0， 2)，F 1，0， 2 2 ， C(0，3，0). 所以AE (1，3， 2)，CF1， 3， 2 2 . 故 cosAE ， CFAE CF |AE |CF| 3 3 . 所以直线 AE 与直线
11、 CF 所成角的余弦值为 3 3 . 10.(2016全国卷)如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点 的五面体中，平面 ABEF 为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角 D AFE 与二面角 CBEF 都是 60. (1)证明：平面 ABEF平面 EFDC； (2)求二面角 EBCA 的余弦值. (1)证明由已知可得 AFDF，AFEF， 所以 AF平面 EFDC. 又 AF平面 ABEF， 故平面 ABEF平面 EFDC. (2)解过 D 作 DGEF，垂足为 G. 由(1)知 DG平面 ABEF. 以 G 为坐标原点，GF 的方向为 x 轴正方向，|GF |为单位长，建立如图所示的
12、空 间直角坐标系 Gxyz. 由(1)知DFE 为二面角 DAFE 的平面角，故DFE60，则|DF|2， |DG| 3. 可得 A(1，4，0)，B(3，4，0)，E(3，0，0)，D(0，0， 3). 由已知得 ABEF，所以 AB平面 EFDC. 又平面 ABCD平面 EFDCCD， 故 ABCD，CDEF. 由 BEAF，可得 BE平面 EFDC， 所以CEF 为二面角 CBEF 的平面角，CEF60. 从而可得 C(2，0， 3). 所以EC (1，0， 3)，EB(0，4，0)，AC(3，4， 3)，AB(4，0， 0). 设 n(x，y，z)是平面 BCE 的法向量， 则 nEC
13、 0， nEB 0，即 x 3z0， 4y0， 所以可取 n(3，0， 3). 设 m 是平面 ABCD 的法向量，则 mAC 0， mAB 0， 同理可取 m(0，3，4). 则 cosn，m nm |n|m| 2 19 19 . 故二面角 EBCA 的余弦值为2 19 19 . 11.(2017济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱 柱 ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线 BC1与直线 AB1 夹角的余弦值为() A. 5 5 B. 5 3 C.2 5 5 D.3 5 解析不妨令 CB1，则 CACC12，可得 O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0， 2，0)，A
14、(2，0，0)，B1(0，2，1)， BC1 (0，2，1)，AB1 (2，2，1)， cosBC1 ， AB1 BC1 AB1 |BC1 |AB1 | 41 5 9 1 5 5 5 0. BC1 与AB1 的夹角即为直线 BC1与直线 AB1的夹角， 直线 BC1与直线 AB1夹角的余弦值为 5 5 . 答案A 12.在正四棱锥 SABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱 SD 的中点， 且 SOOD，则直线 BC 与平面 PAC 所成的角是() A.30B.45C.60D.90 解析如图，以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz. 设 ODSOOAOBOCa.则 A(a，0，0
15、)，B(0，a，0)， C(a，0，0)，P 0，a 2， a 2 . 则CA (2a，0，0)，AP a，a 2， a 2 ， CB (a，a，0)， 设平面 PAC 的一个法向量为 n(x，y，z)， 则 nCA 0， nAP 0，解得 x0， yz， 可取 n(0，1，1)， 则 cosCB ，nCB n |CB |n| a 2a2 2 1 2， 又CB ，n(0，180)，CB，n60， 直线 BC 与平面 PAC 所成的角为 906030. 答案A 13.如图所示，二面角的棱上有 A，B 两点，直线 AC，BD 分别 在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4， AC
16、6， BD8， CD2 17， 则该二面角的大小为_. 解析CD CA ABBD ， CA BD |CA |BD | cosCA ， BD 24. cosCA ， BD 1 2. 又所求二面角与CA ， BD 互补， 所求的二面角为 60. 答案60 14.(2016四川卷)如图，在四棱锥 PABCD 中，ADBC， ADCPAB90， BCCD1 2AD.E为棱AD的中点， 异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90. (1)在平面 PAB 内找一点 M，使得直线 CM平面 PBE，并说明理由； (2)若二面角 PCDA 的大小为 45，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦 值. 解(
17、1)在梯形 ABCD 中，AB 与 CD 不平行. 延长 AB，DC，相交于点 M(M平面 PAB)，点 M 即为 所求的一个点.理由如下： 由已知，知 BCED，且 BCED. 所以四边形 BCDE 是平行四边形. 从而 CMEB. 又 EB平面 PBE，CM平面 PBE， 所以 CM平面 PBE. (说明：延长 AP 至点 N，使得 APPN，则所找的点可以是直线 MN 上任意一 点) (2)法一由已知，CDPA，CDAD，PAADA， 所以 CD平面 PAD. 从而 CDPD. 所以PDA 是二面角 PCDA 的平面角. 所以PDA45. 设 BC1，则在 RtPAD 中，PAAD2.
18、过点 A 作 AHCE，交 CE 的延长线于点 H，连接 PH. 易知 PA平面 ABCD，从而 PACE. 于是 CE平面 PAH. 所以平面 PCE平面 PAH. 过 A 作 AQPH 于 Q， 则 AQ平面 PCE. 所以APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角. 在 RtAEH 中，AEH45，AE1， 所以 AH 2 2 . 在 RtPAH 中，PH PA2AH23 2 2 ， 所以 sinAPHAH PH 1 3. 法二由已知，CDPA，CDAD，PAADA， 所以 CD平面 PAD. 于是 CDPD. 从而PDA 是二面角 PCDA 的平面角. 所以PDA45. 由 PAAB，
19、可得 PA平面 ABCD. 设 BC1，则在 RtPAD 中，PAAD2. 作 AyAD，以 A 为原点，以AD ，AP 的方向分别为 x 轴，z 轴的正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系 Axyz，则 A(0，0，0)，P(0，0，2)，C(2，1，0)， E(1，0，0)， 所以PE (1，0，2)，EC(1，1，0)，AP(0，0，2)， 设平面 PCE 的一个法向量为 n(x，y，z)， 由 nPE 0， nEC 0，得 x2z0， xy0， 设 x2，解得 n(2，2，1). 设直线 PA 与平面 PCE 所成角为， 则 sin |nAP | |n|AP | 2 2 22（2）212 1 3. 所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为1 3.
